1. Các kiến thức cần nhớ a. Bình phương của một tổng \({\left( {A + B} \right)^2}\) \(= {A^2} + 2AB + {B^2}\) với \(A,\,B\) là các biểu thức tùy ý. Ví dụ: \({\left( {x + 2} \right)^2} \) \(= {x^2} + 2.x.2 + {2^2} \) \(= {x^2} + 4x + 4\) b. Bình phương của một hiệu \({\left( {A - B} \right)^2} \) \(= {A^2} - 2AB + {B^2}\) với \(A,\,B\) là các biểu thức tùy ý. Ví dụ: \({\left( {2x - 1} \right)^2}= {\left( {2x} \right)^2} - 2.2x.1 + {1^2} \) \(= 4{x^2} - 4x + 1\) c. Hiệu hai bình phương \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) với \(A,\,B\) là các biểu thức tùy ý. Ví dụ: \({x^2} - 4 = {x^2} - {2^2} = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\) d. Lập phương của một tổng \({\left( {A + B} \right)^3} \) \(= {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) Ví dụ: \({\left( {x + 2} \right)^3} = {x^3} + 3{x^2}.2 + 3x{.2^2} + {2^3} \) \(= {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8\) e. Lập phương của một hiệu \({\left( {A - B} \right)^3} \) \(= {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\) Ví dụ: \({\left( {x - 2} \right)^3} = {x^3} - 3{x^2}.2 + 3x{.2^2} - {2^3} \) \(= {x^3} - 6{x^2} + 12x - 8\) f. Tổng hai lập phương \({A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right) \left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\) Ví dụ: \({x^3} + 8 = {x^3} + {2^3} = \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\) g. Hiệu hai lập phương \({A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) Ví dụ: \({x^3} - 8 = {x^3} - {2^3} = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\) 2. Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Rút gọn biểu thức Phương pháp: Sử dụng các hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để biến đổi. Dạng 2: Tìm \({\bf{x}}\) Phương pháp: Sử dụng các hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để biến đổi để đưa về dạng tìm \(x\) thường gặp Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Phương pháp: Sử dụng hẳng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho Chú ý: \({\left( {A + B} \right)^2} + m \ge m\,\,;\, \) \(m - {\left( {A + B} \right)^2} \le m\) với mọi \(A,B\) . Dấu “=” xảy ra khi \(A = - B\) \({\left( {A - B} \right)^2} + m \ge m\,\,;\, \) \(m - {\left( {A - B} \right)^2} \le m\) với mọi \(A,B\) . Dấu “=” xảy ra khi \(A = B\) Dạng 4: So sánh hai số Phương pháp: Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi và so sánh. Thông thường ta sử dụng \(\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} - {B^2}\) để biến đổi. Dạng 5: Tính giá trị biểu thức tại \(x = {x_0}\) hoặc tính giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Dùng hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để biến đổi biểu thức cho trước Thay \(x = {x_0}\) vào biểu thức rồi tính giá trị của nó hoặc sử dụng điều kiện của giả thiết.
