Tóm tắt lý thuyết 1. Định lí côsin trong tam giác Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: Ta đã biết rằng: \(BC^2=AB^2+AC^2\) hay \(\vec {BC}^2=\vec {AB}^2+\vec {AC}^2\) Chứng minh ngắn gọn theo tích vô hướng của hai vectơ ở bài học trước ta có được điều trên. Như vậy, ta có phát biểu về định lí côsin trong tam giác: Trong tam giác ABC, gọi \(Ab=c;AC=b;BC=a\), ta có: \(a^2=b^2+c^2-2bc.cosA\) \(b^2=a^2+c^2-2ac.cosB\) \(c^2=a^2+b^2-2ab.cosC\) Từ đó, ta có hệ quả sau: \(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\) \(cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\) \(cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\) 2. Định lí sin trong tam giác Cho hình vẽ: Ta dễ dàng nhận thấy rằng: \(a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC\) Chứng minh tương tự với tam giác thường, hệ thức trên vẫn đúng! Ta rút ra được định lí sau: Với mọi tam giác ABC, ta có: \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R\) 3. Tổng bình phương hai cạnh và độ dài đường trung tuyến của tam giác Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Gọi \(m_a;m_b;m_c\) lần lượt là các đường trung tuyến ứng với các cạnh a, b, c. Khi đó: \(m_{a}^{2}=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}\) \(m_{b}^{2}=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\) \(m_{c}^{2}=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}\) 4. Diện tích tam giác Ngoài kiến thức tính diện tích đã học ở cấp dưới là bằng nửa tích cạnh đáy nhân với chiều cao tương ứng, ta còn được biết thêm với các công thức sau: Với tam giác ABC, kí hiệu \(h_a;h_b;h_c\) lần lượt là các đường cao ứng với các cạnh a, b, c. R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC, \(p=\frac{1}{2}(a+b+c)\) là nửa chu vi của tam giác, ta có các công thức tính diện tích S của tam giác ABC như sau: \(S=\frac{1}{2}a.h_a=\frac{1}{2}b.h_b=\frac{1}{2}c.h_c\) \(S=\frac{1}{2}ab.sinC=\frac{1}{2}ac.sinB=\frac{1}{2}bc.sinA\) \(S=\frac{abc}{4R}\) \(S=pr\) \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) 5. Giải tam giác và ứng dụng thực tế Giải tam giác là tính độ dài các cạnh và số đo các góc của tam giác dựa trên điều kiện cho trước. Ví dụ: Cho hình vẽ sau: Hãy giải tam giác ABC. Ta có: \(a^2=b^2+c^2-2bc.cosA\) \(\Leftrightarrow 6^2=5^2+3,61^2-2.5.3,61.cosA\) \(\Leftrightarrow 36=25+13,03-36,1.cosA\) \(\Rightarrow cosA=0,056\) \(\Rightarrow \widehat{A}\approx 86,77^o\) Tương tự: \(b^2=a^2+c^2-2ac.cosB\) \(\Leftrightarrow 3,61^2=6^2+5^2-2.6.5.cosB\) \(\Rightarrow cosB=0,779\) \(\Rightarrow \widehat{B}\approx 36,92^o\) \(\Rightarrow \widehat{C}=180^o-\widehat{A}-\widehat{B}\approx 56,3^o\) Bài tập minh họa Bài tập cơ bản Bài 1: Cho tam giác ABC có \(\widehat{A}=60^o, \widehat{B}=80^o,a=6\). Tính hai cạnh a và c. Hướng dẫn: Dễ dàng tìm được \(\widehat{C}=180^o-60^o-80^o=40^o\) Ta sẽ tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R: \(\frac{a}{sinA}=2R=\frac{6}{sin60^o}=4\sqrt{3}\) Vậy: \(\frac{b}{sinB}=4\sqrt{3}\Rightarrow b=sinB.4\sqrt{3}=6,823\) \(\frac{c}{sinC}=4\sqrt{3}\Rightarrow c=sinC.4\sqrt{3}=4,45\) Bài 2: Tam giác ABC có \(a=10,b=11,c=14\). Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính độ dài AM. Hướng dẫn: Ta có: \(AM^2=\frac{AB^2+AC^2}{2}-\frac{BC^2}{4}=\frac{11^2+14^2}{2}-\frac{10^2}{4}=11,55\) Bài tập nâng cao Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 cạnh a, b, c lần lượt là 5, 7 ,10. Cạnh của hình vuông có diện tích bằng diện tích tam giác ABC là bao nhiêu? Hướng dẫn: Áp dụng công thức Hê rông tính diện tích, ta có: \(p=\frac{a+b+c}{2}=11\) \(S=\sqrt{11(11-5)(11-10)(11-7)}=16,24(dvdt)\) Vậy cạnh của hình vuông có cùng diện tích trên là: \(a=\sqrt{S}=4,03\) Bài 2: Cho hình vẽ sau, biết \(AD=5, BD=15\) và các góc cho trước. Tính độ dài BC. Hướng dẫn: Xét tam giác ADB vuông tại D, ta có: \(AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=5\sqrt{10}\) Ta có: \(tanABD=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}\Rightarrow \widehat{ABD}=18,43^o\) \(\Rightarrow \widehat{ABC}=90^o-\widehat{ABD}=71,57^o\) \(\Rightarrow \widehat{ACB}=180^o-\widehat{ABC}-\widehat{BAC}=63,43^o\) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có: \(R=\frac{AB}{2sinACB}=8,84\) Mặc khác, \(R=\frac{BC}{2sinBAC}=8,84\Rightarrow BC=2R.sinBAC=12,5\)
