Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa của một vectơ và một số Xem hình vẽ minh họa và ta có các nhận xét sau: Xét hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) ta nhận thấy rằng: Chúng có giá song song với nhau và cùng hướng, độ lớn về chiều dài của \(\vec{b}\) gấp 2 lần độ lớn chiều dài của \(\vec{a}\) Lúc đó, ta viết rằng: \(\vec{b}=2\vec{a}\) Xét đến hai vectơ \(\vec{c}\) và \(\vec{d}\) ta có nhận xét: Chúng có giá song song và ngược hướng, độ lớn về chiều dài của \(\vec{d}\) gấp 3 lần độ lớn chiều dài của \(\vec{c}\) Lúc đó, ta viết rằng: \(\vec{d}=-3\vec{c}\) Định nghĩa: Tích của vectơ \(\vec{a}\) với số thực k là một vectơ, kí hiệu là \(k\vec{a}\), được xác định như sau: Nếu \(k\geq 0\) thì vectơ \(k\vec{a}\) cùng hướng với vectơ \(\vec{a}\). Nếu \(k<0\) thì vectơ \(k\vec{a}\) ngược hướng với vectơ \(\vec{a}\). Độ dài của vectơ \(k\vec{a}\) bằng \(|k|.|\vec{a}|\). 2. Các tính chất của phép nhân vectơ với số 3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương Chúng ta cùng xem qua hình ảnh sau: Một cách tổng quá, ta có: Vectơ \(\vec{b}\) cùng phương với vectơ \(\vec{a}\neq \vec{0}\) khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho \(\vec{b}=k\vec{a}\) Ứng dụng vào ba điểm thẳng hàng: Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là có số k sao cho \(\vec{AB}=k\vec{AC}\) 4. Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương Dựa vào hình trên, ta có định lí sau: Cho hai vectơ không cùng phương \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\). Khi đó mọi vectơ \(\vec{x}\) đều có thể hiển thị một cách duy nhất qua hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\), nghĩa là có cặp số duy nhất m và n sao cho: \(\vec{x}=m\vec{a}+n\vec{b}\) Bài tập minh họa Bài 1: Cho tam giác OAB vuông cân với \(OA=OB=a\). Tính độ dài của các vectơ \(\vec{OA}+\vec{OB}\); \(3\vec{OA}+4\vec{OB}\) Hướng dẫn: Do tam giác OAB vuông cân tại O có cạnh là a. Dễ dàng tính được \(\vec{OA}+\vec{OB}\) theo quy tắc hình bình hành, \(\vec{OA}+\vec{OB}=\vec{OD}\) Độ lớn của \(|\vec{OD}|\)=\(a\sqrt{2}\) Tương tự, ta tính \(3\vec{OA}+4\vec{OB}\) Nhận thấy rằng \(3|\vec{OA}|=3a;4|\vec{OB}|=4a\) Theo quy tắc hình bình hành và theo hình vẽ, ta có \(3\vec{OA}+4\vec{OB}=\vec{OC}\) Độ lớn của \(|\vec{OC}|=5a\) theo định lý Pytago. Bài 2: Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kì, ta luôn có hệ thức: \(\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{CB}-\vec{CD}\) Hướng dẫn: Đề yêu cầu cần chứng minh \(\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{CB}-\vec{CD}\) Ta viết lại: \(\Leftrightarrow \vec{AB}+\vec{DA}=\vec{CB}+\vec{DC}=\vec{DB}\Rightarrow dpcm\) Bài 3: Cho hình chữ nhật có \(AB=5cm\), \(BC=10cm\). Tính \(|\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}|\). Hướng dẫn: Như hình trên, chúng ta có thể viết lại như sau: \(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}=\vec{DC}+\vec{AC}+\vec{AD}=\vec{AC}+\vec{AC}=2\vec{AC}\) Vậy \(|\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}|=2|\vec{AC}|\) Bằng Pytago, ta dễ dàng tính toán được \(2|\vec{AC}|=10\sqrt{5}(cm)\) Bài 4: Cho tam giác ABC. M là điểm thuộc đoạn BC sao cho \(MB=2MC\). Chứng minh rằng: \(\vec{AM}=\frac{1}{3}\vec{AB}+\frac{2}{3}\vec{AC}\) Hướng dẫn: Theo giả thiết, \(MB=2MC\). Trên AB lấy điểm D sao cho \(AD=\frac{1}{3}AB\), trên AC lấy điểm E sao cho \(CE=\frac{1}{3}AC\) Vậy, theo đề được viết lại như sau: \(\frac{1}{3}\vec{AB}=\vec{AD};\frac{2}{3}\vec{AC}=\vec{AE}\) Cần chứng minh ADME là hình bình hành. Thật vậy, với tỷ lệ đề cho, ta tìm được các cặp cạnh đối song song nhờ định lí Thales đảo. Vậy: \(\left\{\begin{matrix} AD//ME\\ AE//DM \end{matrix}\right.\) hay ADME là hình bình hành Nên \(\vec{AM}=\frac{1}{3}\vec{AB}+\frac{2}{3}\vec{AC}\).
