Hình học 10 cơ bản - Chương 1 - Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 1 trang 12 sgk hình học lớp 10. Cho đoạn thẳng \(AB\) và điểm \(M\) nằm giữa \(A\) và \(B\) sao cho \(AM > MB\). Vẽ các vectơ \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MB}\) và \(\overrightarrow{MA}\)- \(\overrightarrow{MB}\)

    Giải

    Trên đoạn thẳng \(AB\) ta lấy điểm \(M'\) để có \(\overrightarrow{AM'}\)= \(\overrightarrow{MB}\)

    [​IMG]

    Như vậy \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MB}\)= \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{AM'}\) = \(\overrightarrow{MM'}\) ( quy tắc 3 điểm)

    Vậy vec tơ \(\overrightarrow{MM'}\) chính là vec tơ tổng của \(\overrightarrow{MA}\) và \(\overrightarrow{MB}\)

    \(\overrightarrow{MM'}\) = \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MB}\) .

    Ta lại có \(\overrightarrow{MA}\) - \(\overrightarrow{MB}\) = \(\overrightarrow{MA}\) + (- \(\overrightarrow{MB}\))

    \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{MA}\) - \(\overrightarrow{MB}\) = \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{BM}\) (vectơ đối)

    Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ ta có

    \(\overrightarrow{MA}\) +\(\overrightarrow{BM}\) = \(\overrightarrow{BM}\) + \(\overrightarrow{MA}\) = \(\overrightarrow{BA}\) (quy tắc 3 điểm)

    Vậy \(\overrightarrow{MA}\) - \(\overrightarrow{MB}\) = \(\overrightarrow{BA}\)



    Bài 2 trang 12 sgk hình học lớp 10. Cho hình bình hành \(ABCD\) và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MC}\) = \(\overrightarrow{MB}\) + \(\overrightarrow{MD}\).

    Giải

    Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng vectơ:

    \(\overrightarrow{MA}\) = \(\overrightarrow{MB}\) + \(\overrightarrow{BA}\)

    \(\overrightarrow{MC}\) = \(\overrightarrow{MD}\) + \(\overrightarrow{DC}\)

    \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MC}\) = \(\overrightarrow{MB}\) +\(\overrightarrow{MD}\)+ (\(\overrightarrow{BA}\) +\(\overrightarrow{DC}\))

    \(ABCD\) là hình bình hành nên hai vec tơ \(\overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{DC}\) là hai vec tơ đối nhau nên:

    \(\overrightarrow{BA}\) +\(\overrightarrow{DC}\) = \(\overrightarrow{0}\)

    Suy ra \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MC}\) = \(\overrightarrow{MB}\) + \(\overrightarrow{MD}\).

    Cách 2. Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vec tơ

    \(\overrightarrow{AB}\)= \(\overrightarrow{MB}\) - \(\overrightarrow{MA}\)

    \(\overrightarrow{CD}\) = \(\overrightarrow{MD}\) - \(\overrightarrow{MC}\)

    \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{CD}\) = (\(\overrightarrow{MB}\) +\(\overrightarrow{MD}\)) - (\(\overrightarrow{MA}\) +\(\overrightarrow{MC}\)).

    \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) là hai vec tơ đối nhau, cho ta:

    \(\overrightarrow{AB}\) +\(\overrightarrow{CD}\) = \(\overrightarrow{0}\)

    Suy ra: \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MC}\) = \(\overrightarrow{MB}\) + \(\overrightarrow{MD}\).



    Bài 3 trang 12 sgk hình học lớp 10. Chứng minh rằng đối với tứ giác \(ABCD\) bất kì ta luôn có

    a) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}= \overrightarrow{0}\);

    b) \(\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}\).

    Giải

    a) Theo quy tắc 3 điểm của tổng vec tơ, ta có

    \(\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}\); \(\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}= \overrightarrow{CA}\)

    Như vậy

    \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{DA}= ( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}) = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA}\)

    mà \(\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}\).

    Vậy \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{DA}= \overrightarrow{0}\)

    b) Theo quy tắc 3 điểm của hiệu vec tơ, ta có

    \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{DB}\) (1)

    \(\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DB}\) (2)

    Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{CB} -\overrightarrow{CD}\).




    Bài 4 trang 12 sgk hình học lớp 10. Cho tam giác \(ABC\). Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành \(ABIJ, BCPQ, CARS\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS}= \overrightarrow{0}\)

    Giải

    Ta xét tổng:

    \(\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{JI} +\overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PS}+ \overrightarrow{SR} = \overrightarrow{RR}= \overrightarrow{0}\)(1)

    Mặt khác, ta có \(ABIJ, BCPQ\) và \(CARS\) là các hình bình hành nên:

    \(\overrightarrow{JI}\) = \(\overrightarrow{AB}\)

    \(\overrightarrow{QP}\) = \(\overrightarrow{BC}\)

    \(\overrightarrow{SR}\) = \(\overrightarrow{CA}\)

    \(\Rightarrow \overrightarrow{JI}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{SR}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}= \overrightarrow{AA}= \overrightarrow{0}\)(2)

    Từ (1) và (2) suy ra : \(\overrightarrow{RJ}\) + \(\overrightarrow{IQ}\) + \(\overrightarrow{PS}\)= \(\overrightarrow{0}\) (đpcm)

    [​IMG]




    Bài 5 trang 12 sgk hình học lớp 10. Cho tam giác \(ABC\) cạnh \(a\). Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{BC}\)

    Giải

    [​IMG]

    Ta có \(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}\)

    \(\left | \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right | = \left | \overrightarrow{AC} \right |= a\)

    Ta có: \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CB}\).

    Trên tia \(CB\), ta dựng \(\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{CB}\)

    \( \Rightarrow \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BE}= \overrightarrow{AE}\)

    Tam giác \(EAC\) vuông tại \(A\) (vì có đường trung tuyến \(AB\) bằng nửa cạnh \(CE\)) có : \(AC = a, CE = 2a\) , suy ra \(AE = \sqrt {C{E^2} - A{C^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \)

    Vậy \(\left | \overrightarrow{AB } -\overrightarrow{BC}\right | = \left | \overrightarrow{AE} \right | = a\sqrt3\)




    Bài 6 trang 12 sgk hình học lớp 10. Cho hình bình hành \(ABCD\) có tâm \(O\). Chứng minh rằng:

    a) \(\overrightarrow{CO} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}\);

    b) \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DB}\);

    c) \(\overrightarrow{DA} -\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}\);

    d) \(\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}\).

    Giải

    [​IMG]

    a) Ta có, theo quy tắc ba điểm của phép trừ:

    \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA}- \overrightarrow{OB}\) (1)

    Mặt khác, \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CO}\) (2)

    Từ (1) và (2) suy ra:

    \(\overrightarrow{BA}= \overrightarrow{CO} - \overrightarrow{OB}\).

    b) Ta có : \(\overrightarrow{DB}= \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}\) (1)

    \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) (2)

    Từ (1) và (2) cho ta:

    \(\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{BC}\).

    c) Ta có :

    \(\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{BA}\) (1)

    \(\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CD}\) (2)

    \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}\) (3)

    Từ (1), (2), (3) suy ra

    \(\overrightarrow{DA} -\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}\) đpcm.

    d) \(\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = (\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB}) + \overrightarrow{DC}\)

    \(= \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{0}\) ( vì \(\overrightarrow{DC}= \overrightarrow{AB}) \).



    Bài 7 trang 12 sgk hình học lớp 10. Cho \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) là hai vectơ khác\(\overrightarrow{0}\). Khi nào có đẳng thức

    a) \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |\) + \(\left | \overrightarrow{b} \right |\);

    b) \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |= \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\).

    Giải

    a) Ta có \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |\) + \(\left | \overrightarrow{b} \right |\)

    Nếu coi hình bình hành \(ABCD\) có \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}= \overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{AD}= \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{b}\) thì \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |\) là độ dài đường chéo \(AC\) và \(\left | \overrightarrow{a} \right |= AB\); \(\left | \overrightarrow{b} \right |= BC\).

    Ta lại có: \(AC = AB + BC\)

    Đẳng thức xảy ra khi điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(A, C\).

    Vậy \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |+ \left | \overrightarrow{b} \right |\) khi hai vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng.

    b) Tương tự, \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |\) là độ dài đường chéo \(AC\)

    \(\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\) là độ dài đường chéo \(BD\)

    \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | =\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\) \(\Rightarrow AC = BD\).

    Hình bình hành \(ABCD\) có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, ta có \(AD \perp AB\) hay \(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\).





    Bài 8 trang 12 sgk hình học lớp 10.
    Cho \(\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |= 0\). So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\)

    Giải

    Từ \(\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right | = 0\), ta có \(\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b} = 0\) \(\Rightarrow \overrightarrow{a} = -\overrightarrow{b}\)

    Điều này chứng tỏ hai vectơ có cùng độ dài \(\left | \overrightarrow{a} \right | = \left | \overrightarrow{b} \right |\), cùng phương và ngược hướng.




    Bài 9 trang 12 sgk hình học lớp 10. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}\) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) trùng nhau.

    Giải

    Ta chứng minh hai mệnh đề.

    a) Cho \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\) thì \(AD\) và \(BC\) có trung điểm trùng nhau. Gọi \(I\) là trung điểm của \(AD\) ta chứng minh \(I\) cũng là trung điểm của \(BC\).

    Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có

    \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}\);

    \(\overrightarrow{CD}= \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\)

    Vì \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) nên \(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\)

    \(\Rightarrow \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}\)

    \(\Rightarrow\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}\) (1)

    Vì \(I\) là trung điểm của \(AD\) nên \(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}\) (2)

    Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{0}\) (3)

    Đẳng thức (3) chứng tỏ \(I\) là trung điểm của \(BC\).

    b) \(AD\) và \(BC\) có chung trung điểm \(I\), ta chứng minh \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\).

    \(I\) là trung điểm của \(AD\) \(\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} =\overrightarrow{0}\)

    \(I\) là trung điểm của \(BC\) \(\Rightarrow \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}= \overrightarrow{0}\) \(\Rightarrow \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{0}\)

    Suy ra \(\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID}= \overrightarrow{CI}- \overrightarrow{IB}\)

    \(\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\) \(\Rightarrow \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}\) (đpcm)




    Bài 10 trang 12 sgk hình học lớp 10. Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một vât tại điểm \(M\) và đứng yên. Cho biết cường độ của \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) đều là \(100N\) và \(\widehat {AMB} = {60^0}\)

    Tìm cường độ và hướng của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \)

    Giải

    [​IMG]

    Theo đề bài cường độ của \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) đều là \(100N\) nên \(MA=MB\). Mặt khác \(\widehat {AMB} = {60^0}\) nên tam giác \(ABM\) đều.

    Do đó \( MI={{AM\sqrt 3 } \over 2} = {{100\sqrt 3 } \over 2} = 50\sqrt 3 \)

    \(MC=2MI=2.50\sqrt 3=100\sqrt 3 \)

    \(\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} \)

    Do đó \(\overrightarrow {{F_3}} \) có hướng là tia phân giác trong của góc \(\widehat {AMB} \) và có độ lớn là \(100\sqrt 3 N\)