Bài 1 trang 17 sgk toán hình học lớp 10. Cho hình bình hành \(ABCD\). Chứng mỉnh rằng: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{AD}= 2\overrightarrow{AC}\). Giải \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{AC}\) Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AC}\) (quy tắc hình bình hành của tổng) \(\Rightarrow \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AC} =2\overrightarrow{AC}\) Bài 2 trang 17 sgk hình học lớp 10. Cho \(AK\) và \(BM\) là hai trung tuyến của tam giác \(ABC\). Hãy phân tích các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AC} \) theo hai vectơ sau \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AK} ,\overrightarrow v = \overrightarrow {BM} \) Giải Gọi \(G\) là giao điểm của \(AK, BM\) thì \(G\) là trọng tâm của tam giác. Ta có : \(\eqalign{ & \overrightarrow {AG} = {2 \over 3}\overrightarrow {AK} \Rightarrow \overrightarrow {AG} = {2 \over 3}\overrightarrow u \cr & \overrightarrow {GB} = - \overrightarrow {BG} = - {2 \over 3}\overrightarrow {BM} = - {2 \over 3}\overrightarrow v \cr} \) Theo quy tắc \(3\) điểm đối với tổng vec tơ: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} \Rightarrow \overrightarrow {AB} = {2 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v = {2 \over 3}(\overrightarrow u - \overrightarrow v )\) \(AK\) là trung tuyến thuộc cạnh \(BC\) nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AK} \Rightarrow {2 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow u \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = {4 \over 3}\overrightarrow u + {2 \over 3}\overrightarrow v \Rightarrow \overrightarrow {CA} = - {4 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v \) \(BM\) là trung tuyến thuộc đỉnh \(B\) nên \(\eqalign{ & \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BM} \Rightarrow - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v \cr & \Rightarrow \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v + {2 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v = {2 \over 3}\overrightarrow u + {4 \over 3}\overrightarrow v \cr} \) Bài 3 trang 17 sgk hình học lớp 10. Trên đường thẳng chứa cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC\) lấy một điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow {AM} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow v = \overrightarrow {AC} \) Giải Trước hết ta có \(\eqalign{ & \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \Rightarrow \overrightarrow {MB} = 3.(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} ) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {BC} \cr & \Rightarrow - 2\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {BC} \cr & \Rightarrow \overrightarrow {BM} = {3 \over 2}\overrightarrow {BC} \cr} \) mà \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \) nên \(\overrightarrow {BM} = {3 \over 2}(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )\) Theo quy tắc \(3\) điểm, ta có \(\eqalign{ & \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + {3 \over 2}(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ) = - {1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {3 \over 2}\overrightarrow {AC} \cr &\text{ Hay } \overrightarrow {AM} = - {1 \over 2}\overrightarrow u + {3 \over 2}\overrightarrow v \cr} \) Bài 4 trang 17 sgk hình học lớp 10. Gọi \(AM\) là trung tuyến của tam giác \(ABC\) và \(D\) là trung điểm của đạn \(AM\). Chứng minh rằng: a) \(2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \) b) \(2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OD} \), với \(O\) là điểm tùy ý. Giải a) Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên: Ta có: \(\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {DM} \) Mặt khác, do \(D\) là trung điểm của đoạn \(AM\) nên \(\overrightarrow {DM} = - \overrightarrow {DA} \) Khi đó: \(2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {DA} + 2\overrightarrow {DM} = 2\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DM} } \right) = \overrightarrow 0 \) b) Ta có: \(\eqalign{ & 2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OD} \cr & \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OD} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OD} } \right) + \left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow 0 \cr & \Leftrightarrow 2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \cr} \) (Đúng theo câu a) Vậy: \(2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OD} \), với \(O\) là điểm tùy ý Bài 5 trang 17 sgk hình học lớp 10. Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\) và \(CD\) của tứ giác \(ABCD\). Chứng minh rằng: \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \) Giải \(N\) là trung điểm của \(CD\): \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \) (1) Theo quy tắc 3 điểm, ta có: \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} \) (2) \(\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} \) (3) Từ (1), (2), (3) ta có: \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} \) \(= \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \) Chứng minh tương tự, ta có: \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \) Bài 6 trang 17 sgk hình học lớp 10. Cho hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\). Tìm điểm \(K\) sao cho \(3\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}\). Giải Ta có: \(3\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}\)\( \Rightarrow 3\overrightarrow{KA}= -2 \overrightarrow{KB}\) \( \Rightarrow \overrightarrow{KA} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{KB}\) Đẳng thức này chứng tỏ hi vec tơ \(\overrightarrow{KA},\overrightarrow{KB}\) là hai véc tơ ngược hướng, do đó \(K\) thuộc đoạn \(AB\) Ta lại có: \(\left | \overrightarrow{KA} \right |= \frac{2}{3}\left | \overrightarrow{KB} \right |\)\( \Rightarrow KA = \frac{2}{3} KB\) Vậy \(K\) là điểm chia trong đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(\frac{2}{3}\). Bài 7 trang 17 sgk hình học lớp 10. Cho tam giác \(ABC\). Tìm điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) Giải Gọi \(D\) là trung điểm của cạnh \(AB\), ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MD} \) Đẳng thức đã cho trở thành: \(2\overrightarrow {MD} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) \(\Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) Đẳng thức này chứng tỏ \(M\) là trung điểm của \(CD\) Bài 8 trang 17 sgk hình học lớp 10. Cho lục giác \(ABCDEF\). Gọi \(M, N, P, Q, R, S\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DE, EF, FA\). Chứng minh rằng hai tam giác \(MPR\) và \(NQS\) có cùng trọng tâm. Giải \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \) Tương tự ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\overrightarrow {CE} \cr & \overrightarrow {RS} = {1 \over 2}\overrightarrow {EA} \cr} \) \(\eqalign{ & \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right) = {1 \over 2}\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0 (1) \cr & \cr} \) Gọi \(G\) là trong tâm của tam giác \(MPR\), ta có: \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} = \overrightarrow 0 (2)\) Mặt khác : \(\eqalign{ & \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GN} \cr & \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GQ} \cr & \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GS} \cr} \) \(\Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} } \right) + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} (3)\) Từ (1),(2), (3) suy ra: \(\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow 0 \) Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(NQS\) Bài 9 trang 17 sgk hình học lớp 10. Cho tam giác đều \(ABC\) có trọng tâm \(O\) và \(M\) là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi \(D,E,F\) lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ \(M\) đến \(BC, AC, AB\). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = {3 \over 2}\overrightarrow {MO} \) Giải Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác $A_1B_1 // AB; A_2C_2 // AC; B_2C_1 // BC$. Dễ thấy các tam giác $MB_1C_2; MA_1C_1;MA_2B_2$ đều là các tam giác đều. Ta lại có $MD \perp B_1C_2$ nên $MD$ cũng là trung điểm thuộc cạnh $B_1C_2$ của tam giác $MB_1C_2$ Ta có $2\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MB_1} + \overrightarrow {MC_2} $ Tương tự: $2\overrightarrow {ME} = \overrightarrow {MA_1} + \overrightarrow {MC_1} $ $2\overrightarrow {MF} = \overrightarrow {MA_2} + \overrightarrow {MB_2} $ $\Rightarrow 2(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF}) = (\overrightarrow {MA_1} + \overrightarrow {MA_2} ) + (\overrightarrow {MB_1} + \overrightarrow {MB_2} ) + (\overrightarrow {MC_1} + \overrightarrow {MC_2} )$ Tứ giác là hình bình hành nên: $ \overrightarrow {MA_1} + \overrightarrow {MA_2} = \overrightarrow {MA}$ Tương tự: $ \overrightarrow {MB_1} + \overrightarrow {MB_2} = \overrightarrow {MB}$ và $ \overrightarrow {MC_1} + \overrightarrow {MC_2} = \overrightarrow {MC}$ $\Rightarrow 2(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF}) = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC}$ Vì $O$ là trọng tâm bất kì của tam giác và M là một điểm bất kì nên $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3 \overrightarrow {MO}$ Cuối cùng ta có: $2(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF}) = 3 \overrightarrow {MO}$ $\Rightarrow (\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF}) = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO}$
