Câu 1 trang 27 SGK Hình học 10. Cho lục giác đều \(ABCDEF\) có tâm \(O\). Hãy chỉ ra các vectơ bằng \(\overrightarrow {AB} \) có điểm đầu và điểm cuối là \(O\) hoặc các đỉnh của lục giác. Trả lời: Trên hình vẽ, ta thấy các vecto: \(\overrightarrow {FO} ,\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {ED} \) là các vectơ bằng \(\overrightarrow {AB} \). Câu 2 trang 27 SGK Hình học 10. Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \) . Các khẳng định sau đúng hay sai? A. Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng thì cùng phương B. Hai vectơ \(\overrightarrow b \) và \(k\overrightarrow b \) cùng phương C. Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(( - 2)\overrightarrow a \) cùng hướng D. Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \) ngược hướng với vectơ thứ ba khác \(\overrightarrow 0 \) thì cùng phương. Trả lời: a) Đúng, vì ta chỉ xét các vectơ cùng hướng hay ngược hướng khi các vectơ này cùng phương. b) Đúng (theo định nghĩa tích của một số với một vectơ) c) Sai, \(\overrightarrow a \) và \(( - 2)\overrightarrow a \) là hai vectơ ngược hướng d) Đúng. Câu 3 trang 27 SGK Hình học 10. Tứ giác \(ABCD\) là hình gì nếu \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) và \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\) Trả lời: Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) suy ra \(AB//DC\) và \(AB=DC\) do đó \(ABCD\) là hình bình hành \(|\overrightarrow {AB} | = |\overrightarrow {BC} |\) suy ra \(AB=BC\), hình bình hành \(ABCD\) có \(2\) cạnh liên tiếp bằng nhau do đó \(ABCD\) là hình thoi (theo dấu hiệu nhận biết hình thoi). Câu 4 trang 27 SGK Hình học 10. Chứng minh rằng \(|\overrightarrow a + \overrightarrow b | \le |\overrightarrow a | + |\overrightarrow {b|} \) Trả lời: Từ một điểm \(O\) trong mặt phẳng ta dựng vectơ: \(\eqalign{ & \overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \cr & \overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \cr} \) Và dựng hình bình hành \(OACB\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {OB} \) Như vậy: \(\eqalign{ & OA = |\overrightarrow {OA} | = |\overrightarrow a | \cr & OB = |\overrightarrow {OB} | = |\overrightarrow b | \Rightarrow AC = |\overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow b | \cr & \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \Rightarrow \overrightarrow {OC} = \overrightarrow a + \overrightarrow b \cr & OC = |\overrightarrow {OC} | = |\overrightarrow a + \overrightarrow b | \cr} \) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác \(OAC\), ta có: \(OA + AC ≥ OC ⇒ |\overrightarrow a + \overrightarrow b | \le |\overrightarrow a | + |\overrightarrow {b|} \). Câu 5 trang 27 SGK Hình học 10. Cho tam giác đều \(ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Hãy xác định các điểm \(M, N, P\) sao cho: a) \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \) b) \(\overrightarrow {OP} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} \) c) \(\overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \) Trả lời: a) Nối \(OC\) và kéo dài cắt đường tròn tại điểm \(M\) Dễ thấy, tam giác \(OAM\) là tam giác đều và \(OAMB\) là hình bình hành, cho ta: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OM} \) b) Nối \(OB\) và kéo dài cắt đường tròn tại điểm \(P\) Tương tự như trên ta có: \(\overrightarrow {OP} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} \) c) Nối \(OA\) và kéo dài cắt đường tròn tại điểm \(N\) Tương tự như trên ta có: \(\overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \) Câu 6 trang 27 SGK Hình học 10. Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a\). Tính: a) \(|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} |\) b) \(|\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} |\) Trả lời: a) Hạ \(AH\bot BC\) do tam giác \(ABC\) đều nên \(H\) là trung điểm của \(BC\) Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AH} \cr & \Rightarrow |\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} | = 2|\overrightarrow {AH} | = 2AH \cr} \) Mà \(AH = {{a\sqrt 3 } \over 2} \Rightarrow |\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} | = a\sqrt 3 \) b) \(|\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {CB} | = a\) Câu 7 trang 28 SGK Hình học 10. Cho sáu điểm \(M, N, P, Q, R, S\) bất kì. Chứng minh rằng : \(\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {NQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {MS} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {RQ} \) Trả lời: Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MS} + \overrightarrow {SP} \cr & \overrightarrow {NQ} = \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PQ} \cr & \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RQ} + \overrightarrow {QS} \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = (\overrightarrow {MS} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {RQ} ) + (\overrightarrow {SP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QS} ) \cr} \) Vì \(\overrightarrow {SP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QS} = \overrightarrow {SS} = \overrightarrow 0 \) Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Câu 8 trang 28 SGK Hình học 10. Cho tam giác \(OAB\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(OA\) và \(OB\). Tìm các số \(m, n\) sao cho: a) \(\overrightarrow {OM} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \) b) \(\overrightarrow {AN} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \) c) \(\overrightarrow {MN} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \) d) \(\overrightarrow {MB} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \) Trả lời: a) Ta có: \(\overrightarrow {OM} = {1 \over 2}\overrightarrow {OA} \) Do đó: \(m = {1 \over 2};n = 0\) b) Ta có: vì \(N\) là trung điểm \(OB\) \(\eqalign{ & 2\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AB} \cr & \Rightarrow 2\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} \cr & \Rightarrow 2\overrightarrow {AN} = 2\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} \Rightarrow \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {OA} + {1 \over 2}\overrightarrow {OB} \cr} \) Vậy \(m = - 1;n = {1 \over 2}\) c) \(\eqalign{ & \overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \Rightarrow \overrightarrow {MN} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} ) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - {1 \over 2}\overrightarrow {OA} + {1 \over 2}\overrightarrow {OB} \cr} \) Vậy \(m = - {1 \over 2},n = {1 \over 2}\) d) Ta có: \(\eqalign{ & 2\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BO} \Rightarrow 2\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} \cr & \Rightarrow 2\overrightarrow {BM} = 2\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} \Rightarrow 2\overrightarrow {MB} = - \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MB} = - {1 \over 2}\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \cr} \) Vậy \(m = - {1 \over 2},n = 1\) Câu 9 trang 28 SGK Hình học 10. Chứng minh rằng nếu \(G\) và \(G’\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC\) và \(A’B’C’\) bất kì thì: \(3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} \) Trả lời: Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G'} \cr & \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {B'G'} \cr & \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {C'G'} \cr & \Rightarrow 3\overrightarrow {GG'} = (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) + (\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} ) + (\overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'} )(1) \cr} \) \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) (2) \(G’\) là trọng tâm của tam giác \(A’B’C’\) nên: \(\eqalign{ & \overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0 \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'} = \overrightarrow 0 \cr} \) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} \) Câu 10 trang 28 SGK Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), các khẳng định sau đúng hay sai? a) Hai vectơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau b) Vecto \(\overrightarrow a \) cùng phương với \(\overrightarrow i \) nếu a có hoành độ bằng 0 c) Vecto \(\overrightarrow i \) có hoành độ bằng 0 thì cùng phương với \(\overrightarrow j \) Trả lời: a) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho vectơ \(\overrightarrow a = (a_1;a_2)\) và vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow a \) là vectơ \(\overrightarrow b = - \overrightarrow a =(-a_1;-a_2)\) Vậy khẳng định hai vectơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau là đúng. b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), vectơ \(\overrightarrow i (1; 0)\). Vecto \(\overrightarrow a ≠ 0\) cùng phương với vecto \(\overrightarrow i \) khi \(\overrightarrow a = k\overrightarrow i \) với \(k ∈\mathbb R\). Suy ra: \(\overrightarrow a = (k; 0)\) với \(k ≠ 0\). Vậy khẳng định vectơ \(a≠ 0\) cùng phương với vectơ nếu có hoành độ bằng \(0\) là sai. c) Trong mặt phẳng \(Oxy\) có vectơ \((0; 1)\) Vectơ \(\overrightarrow a \) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow j \) khi \(\overrightarrow a = k \overrightarrow j \) với \(k ∈\mathbb R\). Suy ra: \(\overrightarrow a = (0;k)\) với \(k ∈\mathbb R\). Vậy khẳng định Vectơ \(\overrightarrow a \) có hoành độ bằng \(0\) thì cùng phương với \(\overrightarrow j \) là đúng. Câu 11 trang 28 SGK Hình học 10. Cho \(\overrightarrow a (2,1);\overrightarrow b (3, - 4);\overrightarrow c ( - 7,2)\) a) Tìm tọa độ của vecto \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow a + 2\overrightarrow b - 4\overrightarrow c \) b) Tìm tọa độ vecto \(x\) sao cho \(\overrightarrow x + \overrightarrow a = \overrightarrow b - \overrightarrow c \) c) Tìm các số \(k\) và \(h\) sao cho \(\overrightarrow c = k\overrightarrow a + h\overrightarrow b \) Trả lời: a) Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow u = (3.2 + 2.3 - 4.( - 7);3.1 + 2( - 4) - 4.2) \cr & \Rightarrow \overrightarrow u = (40; - 13) \cr} \) b) Gọi tọa độ của \(x\) là \((m, n)\). Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow x + \overrightarrow a = (m + 2;n +1) \cr & \overrightarrow b - \overrightarrow c = ( 10;-6) \cr} \) Giải hệ phương trình: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ m + 2 = 10 \hfill \cr n + 1 = - 6 \hfill \cr} \right. \Rightarrow m = 8,n = -7 \cr & \Rightarrow \overrightarrow x = (8, - 7) \cr} \) c) Ta có: \(\overrightarrow c = k\overrightarrow a + h\overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow c = (2k + 3h;k - 4h)\) Với ta có hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ 2k + 3h = - 7 \hfill \cr k - 4h = 2 \hfill \cr} \right.\) Giải hệ phương trình này ta được: \(k = -2, h = -1\) Câu 12 trang 28 SGK Hình học 10. Cho: \(\overrightarrow u = {1 \over 2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j ,\overrightarrow v = \overrightarrow {mi} - 4\overrightarrow j \) Tìm \(m\) để \(\overrightarrow u\) và \(\overrightarrow v \)cùng phương. Trả lời: Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow u = {1 \over 2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \Rightarrow \overrightarrow u = ({1 \over 2}; - 5) \cr & \overrightarrow v = m\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \Rightarrow \overrightarrow v = (m, - 4) \cr} \) Để thỏa mãn yêu cầu của đề bài: \(\overrightarrow u //\overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow u = k\overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {1 \over 2} = km \hfill \cr - 5 = - 4k \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m = {2 \over 5} \hfill \cr k = {5 \over 4} \hfill \cr} \right. \Rightarrow m = {2 \over 5}\) Câu 13 trang 28 SGK Hình học 10. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng? a) Điểm \(A\) nằm trên trục hoành thì có hoành độ bằng \(0\) b) \(P\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi hoành độ của \(P\) bằng trung bình cộng các hoành độ của \(A\) và \(B\). c) Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành thì trung bình cộng các tọa độ tương ứng của \(A\) và \(C\) bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của \(B\) và \(D\). Trả lời: a) Sai vì các điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng \(0\). b) Sai. Để \(P\) là trung điểm của \(AB\) thì phải có: _ Hoành độ của \(P\) bằng trung bình cộng các hoành độ của \(A\) và \(B\). _ Tung độ của \(P\) bằng trung bình cộng các tung độ của \(A\) và \(B\). Thiếu một trong hai điều trên đây thì \(P\) chưa chắc là trung điểm của \(AB\). c) Đúng. Vì trong trường hợp này tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà trung bình cộng các tọa độ tương ứng của \(A\) và \(C\) chính là tọa độ trung điểm của đoạn \(AC\) do đó nó cũng là trung điểm của \(BD\) và bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của \(B\) và \(D\).
Câu 1 trang 28 SGK Hình học 10. Cho tứ giác \(ABCD\). Số các vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối là bốn đỉnh của tứ giác bằng: a) \(4\) b) \(6\) c) \(8\) d) \(12\) Trả lời Từ mỗi điểm, ta nối với \(3\) điểm còn lại để có được \(3\) đoạn thẳng. Vậy ta có : \(3.4 = 12\) Do đó: d) đúng Ta có \(12\) vectơ là: \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {DA} ;\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {DB} ;\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {CB} ;\overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {DC} \) Câu 2 trang 29 SGK Hình học 10. Cho lục giác đều \(ABCDEF\) tâm \(O\). Số các vecto khác \(\overrightarrow 0 \) cùng phương với \(\overrightarrow {OC} \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác bằng: a) \(4\) b) \(6\) c) \(7\) d) \(8\) Trả lời: a) Đúng Ta có \(4\) vectơ cùng phương với mà điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác: \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {ED} ,\overrightarrow {DE} \) Câu 3 trang 29 SGK Hình học 10. Cho lục giác đều \(ABCDEF\) có tâm \(O\). Số các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {OC} \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là: a) \(2\) b) \(3\) c) \(4\) d) \(6\) Trả lời: Các vecto khác có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác đều bằng \(\overrightarrow {OC} \) là: \(\overrightarrow {FO} ,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {ED} \) Vậy số vecto là \(3\). Do đó chọn b. Câu 4 trang 29 SGK Hình học 10. Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 3, BC = 4\). Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AC} \) là: a) \(5\) b) \(6\) c) \(7\) d) \(9\) Trả lời: Ta có: \(ABCD\) là hình chữ nhật \(\eqalign{ & \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \Rightarrow |\overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} | \cr & \Rightarrow |\overrightarrow {AC} | = AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5 \cr} \) Vậy chọn A. Câu 5 trang 29 SGK Hình học 10. Cho ba điểm phân biệt \(A, B, C\). Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. \(\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BC} \) B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \) C. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CB} \) D. \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \) Trả lời: Với ba điểm \(A, B, C\) ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \ne \overrightarrow {BC} \cr & \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} \cr & \Rightarrow A \equiv B \cr} \) (trái với giả thiết) \(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \cr & \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} \cr & \Rightarrow A \equiv B \cr} \) ⇒ trái với giả thiết c) đúng vì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \) Vậy chọn c Câu 6 trang 29 SGK Hình học 10. Cho hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\). Điều kiện để điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là: a) \(IA = IB\) b) \(\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} \) c) \(\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IB} \) d) \(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {BI} \) Trả lời: c) đúng. Vì: \(\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IB} \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) \(⇔ I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) Câu 7 trang 29 SGK Hình học 10. Cho tam giác \(ABC\) có \(G\) là trọng tâm, \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. \(\overrightarrow {GA} = 2\overrightarrow {GI} \) B. \(\overrightarrow {IG} = - {1 \over 3}\overrightarrow {IA} \) C. \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GI} \) D. \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GA} \) Trả lời: \(I\) là trung điểm của \(BC\) và \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(G\) qua \(I\) thì tứ giác \(BGCE\) là hình bình hành Suy ra: \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GE} = 2\overrightarrow {GI} \) Câu 8 trang 29 SGK Hình học 10. Cho hình bình hành \(ABCD\). Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {BC} \) B. \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \) C. \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {CD} \) D. \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CD} \) Trả lời: Ta có: tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên: \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \hfill \cr \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \hfill \cr} \right.\) \(\eqalign{ & \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AD}+ \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {BC} \cr & \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} \ne \overrightarrow {AB} \cr & \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {AB} \ne 2\overrightarrow {CD} \cr & \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \ne \overrightarrow {CD} \cr} \) Vậy A đúng. Câu 9 trang 29 SGK Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hình bình hành \(OABC\), \(C\) nằm trên \(Ox\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(\overrightarrow {AB} \)có tụng độ khác \(0\) B. \(A\) và \(B\) có tung độ khác nhau C. \(C\) có hoành độ bằng \(0\) D. \({x_A} + {x_C} - {x_B} = 0\) Trả lời: Trong mặt phẳng tọa độ \(O xy\), hình bình hành \(OABC\) có \(C\) nằm trên \(Ox\) nên điểm \(C({x_c};0)\) và \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OC} \) \(⇒ AB//Ox ⇒ A({x_A};m)\) và \(B({x_B};m)\) có cùng tung độ \(m\) \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};0)\) có tung độ bằng \(0\) Từ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OC} \) suy ra \({x_A} + {x_C} - {x_B} = 0\) Do đó chọn D. Câu 10 trang 30 SGK Hình học 10. Cho \(\overrightarrow u = (3, - 2);\overrightarrow v = (1,6)\) . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(\overrightarrow u + \overrightarrow v \) và \(\overrightarrow a = \left( { - 4;\,4} \right)\) ngược hướng B. \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng phương C. \(\overrightarrow u - \overrightarrow v \) và \(\overrightarrow b = \left( {6; - 24} \right)\) cùng hướng D. \(2\overrightarrow u + \overrightarrow v ;\overrightarrow v \) cùng phương Trả lời: a) Ta có: \(\overrightarrow u + \overrightarrow v = (4,4) \Rightarrow \overrightarrow u + \overrightarrow v \ne - \overrightarrow a \) Do đó A sai b) Vì \({3 \over 1} \ne {{ - 2} \over 6}\) nên \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) không cùng phương Do đó B sai c) \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow u - \overrightarrow v = (2, - 8) \hfill \cr \overrightarrow u - \overrightarrow v = {1 \over 3}\overrightarrow v \hfill \cr} \right.\) Vì \({6 \over 2} = {{ - 24} \over { - 8}}\) ⇒ \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow u - \overrightarrow v \hfill \cr \overrightarrow b = (6, - 24) \hfill \cr} \right.\) cùng hướng Vậy chọn C d) \(2\overrightarrow u + \overrightarrow v = (7,2)\) Vì \({7 \over 1} \ne {2 \over 6} ⇒ 2\overrightarrow u + \overrightarrow v ;\overrightarrow v \) không cùng phương Vậy D sai. Câu 11 trang 30 SGK Hình học 10. Cho tam giác \(ABC\) có \(A(3; 5); B(1; 2); C(5; 2)\). Trọng tâm của tam giác \(ABC\) là: A. \({G_1}( - 3;4)\) B. \({G_2}(4;0)\) C. \({G_3}(\sqrt 2 ;3)\) D. \({G_4}(3;3)\) Trả lời: \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên: \(\left\{ \matrix{4 {x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} \hfill \cr {y_G} = {{{y_A} + {y_B} + {y_C}} \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_G} = 3 \hfill \cr {y_G} = 3 \hfill \cr} \right.\) Vậy chọn D. Câu 12 trang 30 SGK Hình học 10. Cho bốn điểm \(A(1, 1); B(2, -1); C(4, 3); D(3, 5)\). Chọn mệnh đề đúng. A. Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành B. Điểm \(G(2;{5 \over 3})\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\) C. \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) D. \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) cùng phương Trả lời: Ta có: * \(\overrightarrow {AB} = (1; - 2);\overrightarrow {DC} = ( - 1;2) \Rightarrow \overrightarrow {AB} \ne \overrightarrow {DC} \) nên \(ABCD\) không phải là hình bình hành. * \(G\) là trọng tâ m của tam giác \(BCD\) nên: \(\left\{ \matrix{ {x_G} = {{{x_D} + {x_B} + {x_C}} \over 3} = 3 \hfill \cr {y_G} = {{{y_D} + {y_B} + {y_C}} \over 3} = {7 \over 3} \hfill \cr} \right.\) * \(\overrightarrow {CD} = (1; - 2) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) * \(\overrightarrow {AC} (3;2),\overrightarrow {AD} (2;4)\) nên không cùng phương. Vậy chọn C. Câu 13 trang 30 SGK Hình học 10. Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho bốn điểm \(A(-5; -2); B(-5; 3); C(3; 3); D(3; -2)\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} \) cùng hướng B. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật C. Điểm \(I(-1; 1)\) là trung điểm của \(AC\) D. \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} \) Trả lời: Ta có: \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow {AB} = (0,5);\overrightarrow {DC} = (0,5) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \hfill \cr \overrightarrow {AD} = (8,0) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AD} \hfill \cr} \right.\) Vậy \(ABCD\) là hình chữ nhật . Do đó chọn B Câu 14 trang 30 SGK Hình học 10. Cho tam giác \(ABC\). Đặt \(\overrightarrow a = \overrightarrow {BC} ;\overrightarrow b = \overrightarrow {AC} \) Các cặp vecto nào sau đây cùng phương? A. \(\left\{ \matrix{ 2\overrightarrow a + \overrightarrow b \hfill \cr \overrightarrow a + 2\overrightarrow b \hfill \cr} \right.\) B. \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow a - 2\overrightarrow b \hfill \cr \overrightarrow {2a} - \overrightarrow b \hfill \cr} \right.\) C. \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow {5a} + \overrightarrow b \hfill \cr - 10\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \hfill \cr} \right.\) D. \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow a + \overrightarrow b \hfill \cr \overrightarrow a - \overrightarrow b \hfill \cr} \right.\) Trả lời: Xét mệnh đề c) ta có: \( - 10\overrightarrow a - 2\overrightarrow b = - 2(5\overrightarrow a + \overrightarrow b )\) Vậy \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow {5a} + \overrightarrow b \hfill \cr - 10\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \hfill \cr} \right.\) là cặp vecto cùng phương. Do đó chọn C. Câu 15 trang 30 SGK Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có gốc O là tâm của hình vuông và các cạnh của nó song song với các trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là đúng? a) \(|\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} | = AB\) b) \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} \hfill \cr \overrightarrow {DC} \hfill \cr} \right.\) cùng hướng c) xA = -xC và yA = yC d) xB = -xC và yC = -yB Trả lời: a) Qua A kẻ \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {OB} \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {OE} \) Ta dễ dàng chứng minh được: \(\overrightarrow {OE} = \overrightarrow {BA} \Rightarrow |\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} | = |\overrightarrow {OE} | = |\overrightarrow {BA} | = AB\) Vậy a) đúng b) Vì \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} \) Mà \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {DC} \) ngược hướng nên b) sai c) xA = -xC và yA = yC là sai. Đúng ra là : xA = -xC và yA = - yC d) Sai vì xB = xC Vậy chọn A. Câu 16 trang 31 SGK Hình học 10. Cho \(M(3, -4)\) kẻ \(MM_1\) vuông góc với \(O x, MM_2\) vuông góc với \(Oy\), Khẳng định nào sau đây là đúng? a) \(\overrightarrow {O{M_1}} = - 3\) b) \(\overrightarrow {O{M_2}} = 4\) c) \(\overrightarrow {O{M_1}} - \overrightarrow {O{M_2}} \) có tọa độ \((-3, -4)\) d) \(\overrightarrow {O{M_1}} + \overrightarrow {O{M_2}} \) có tọa độ là \((3, -4)\) Trả lời: a) Đúng vì: \(\eqalign{ & \overrightarrow {O{M_1}} = 3;\overrightarrow {O{M_2}} = - 4 \cr & \overrightarrow {O{M_1}} - \overrightarrow {O{M_2}} = \overrightarrow {{M_2}{M_1}} = (-3,4) \cr & \overrightarrow {O{M_1}} + \overrightarrow {O{M_2}} = \overrightarrow {OM} = (3, - 4) \cr} \) Vậy chọn D. Câu 17 trang 31 SGK Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho \(A(2; -3); B(4; 7)\). Tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) là: A. \((6; 4)\) B \((2; 10)\) C. \((3; 2)\) D. \((8; -21)\) Trả lời: Tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) là: \(\left\{ \matrix{ {x_I} = {{{x_A} + {x_B}} \over 2} \hfill \cr {y_I} = {{{y_A} + {y_B}} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_I} = {{2 + 4} \over 2} = 3 \hfill \cr {y_I} = {{ - 3 + 7} \over 2} = 2 \hfill \cr} \right.\) Vậy chọn C. Câu 18 trang 31 SGK Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho \(A(5; 2); B(10; 8)\). Tọa độ của vecto là: A. \((15; 10)\) B. \((2; 4)\) C.\((5; 6)\) D. \((50; 16)\) Trả lời: Tọa độ của vectơ cần tìm là: \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}) = (5,6)\) Vậy chọn C. Câu 19 trang 31 SGK Hình học 10. Cho tam giác \(ABC\) có \(B(9; 7); C(11; -1), M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Tọa độ của vecto \(\overrightarrow {MN} \) là: A. \((2; -8)\) B.\( (1; -4)\) C. \((10 ;6)\) D. \((5; 3)\) Trả lời: Ta có: vecto \(\overrightarrow {BC} = (2, - 8)\) \(MN//BC ⇒ \overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng phương. Vậy \(\overrightarrow MN(1, -4)\). Do đó chọn B Câu 20 trang 31 SGK Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa \(Oxy\) cho bốn điểm \(A(3; -2); B(7; 1); C(0; 1), D(-8; -5)\) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} \) đối nhau B. \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} \) cùng phương nhưng ngược hướng C. \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} \) cùng phương và cùng hướng D. A, B, C, D thẳng hàng. Trả lời: Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (4,3);\overrightarrow {CD} = ( - 8, - 6) \Rightarrow \overrightarrow {CD} = - 2\overrightarrow {AB} \) Suy ra \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} \) là hai vectơ cùng phương nhưng ngược hướng Vậy B đúng Câu 21 trang 31 SGK Hình học 10. Cho ba điểm \(A(-1;5); B(5; 5); C(-1; 11)\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \( A, B, C\) thẳng hàng B. \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương C. \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương D. \(\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BC} \) cùng phương. Trả lời: Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (6,0);\overrightarrow {AC} = (0,6)\) Vậy \(2\) vectơ trên không cùng phương. Do đó chọn C Bài 22. Cho \(\overrightarrow a = (3; - 4);\overrightarrow b ( - 1;2)\) . Tọa độ của \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) là: a) \((-4; 6)\) b) \((2; -2)\) c) \((4; -6 \) d) \((-5; -14)\) Trả lời: Ta có: \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow a = (3; - 4) \hfill \cr \overrightarrow b = ( - 1;2) \hfill \cr} \right. \Rightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow b = (2; - 2)\) Chọn B Câu 23 trang 32 SGK Hình học 10. Cho \(\overrightarrow a = ( - 1;2);\overrightarrow b = (5; - 7)\) . Tọa độ của vecto \(\overrightarrow a - \overrightarrow b \) là: a) \((6; -9)\) b) \((4; -5)\) c) \((-6; 9)\) d) \((-5; -14)\) Trả lời: \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow a = ( - 1;2) \hfill \cr \overrightarrow b = (5; - 7) \hfill \cr} \right. \Rightarrow \overrightarrow a - \overrightarrow b = ( - 6;9)\) Chọn C Câu 24 trang 32 SGK Hình học 10. Cho \(\overrightarrow a = (5;0);\overrightarrow b = (4;x)\) . Hai vectơ \(a\) và \(b\) cùng phương nếu số \(x\) là: a) -5 b) 4 c) 0 d) -1 Trả lời: Ta có: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ \overrightarrow a = (5,0) \hfill \cr \overrightarrow b = (4,x) \hfill \cr} \right. \Rightarrow \overrightarrow a //\overrightarrow b \Rightarrow \left\{ \matrix{ - 5 = 4k \hfill \cr 0 = kx \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ k = - {5 \over 4} \hfill \cr x = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow x = 0 \cr} \) Chọn C Câu 25 trang 32 SGK Hình học 10. Cho \(\overrightarrow a = (x;2);\overrightarrow b = ( - 5;1);\overrightarrow c = (x;7)\) . Vectơ \(\overrightarrow c = 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b \) nếu: a) \(x = -15\) b) \(x = 3\) c) \(x = 15\) d) \(x = 5\) Trả lời: Ta có: \(\overrightarrow a = (x;2);\overrightarrow b = ( - 5;1);\overrightarrow c = (x;7)\) nên: \(\eqalign{ & \overrightarrow c = 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b = (2x - 15,7) \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ 2x - 15 = x \hfill \cr 7 = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 15 \cr} \) chọn C Câu 26 trang 32 SGK Hình học 10. Cho \(A(1;1); B(-2; -2); C(7; 7)\). Khẳng định nào đúng? A. \(G(2;2)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) B. Điểm \(B\) ở giữa hai điểm \(A\) và \(C\) C. Điểm \(A\) ở giữa hai điểm \(B\) và \(C\) D. Hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng. Trả lời: a) \(G(2; 2) ⇒\) A đúng4 c) Ta lại có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = ( - 3; - 3) = - 3(1;1) \cr & \overrightarrow {AC} = (6;6) = 6(1;1) \Rightarrow \overrightarrow {AC} = - 2\overrightarrow {AB} \cr} \) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ ngược hướng, suy ra điểm \(A\) ở giữa hai điểm \(B\) và \(C\). Do đó C sai. B và D là khẳng định sai. Vậy chọn A. Câu 27 trang 32 SGK Hình học 10. Các điểm \(M(2; 3); N(0; -4); P(-1; 6)\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(BC, CA, AB\) của tam giác \(ABC\). Tọa độ của đỉnh \(A\) là: a) \((1; 5)\) b) \((-3; 1)\) c) \((-2; -7)\) d) \((1; -10)\) Trả lời: Trung tuyến \(AM\) cắt \(PN\) tại \(I\) thì \(I\) là trung điểm của \(PN\) nên \(I( - {1 \over 2},1)\) và \(I\) cũng là trung điểm của \(AM\). Suy ra: \(A\) đối xứng với \(M\) qua \(I\) nên: \(\left\{ \matrix{ {x_A} + {x_M} = 2{x_I} \hfill \cr {y_A} + {y_M} = 2{y_I} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_A} = 2{x_I} - {x_M} = - 3 \hfill \cr {y_A} = 2{y_I} - {y_M} = - 1 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(A(-3, -1) ⇒\) chọn B. Câu 28 trang 32 SGK Hình học 10. Cho tam giác \(ABC\) có gốc tọa độ là trọng tâm; \(A(-2; 2); B(3; 5)\). Tọa độ của đỉnh \(C\) là: a) \((-1; -7)\) b) \((2; -2)\) c) \((-3; -5)\) d) \((1; 7)\) Trả lời: \(O\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên : \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {x_O} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} \hfill \cr {y_O} = {{{y_A} + {y_B} + {y_C}} \over 3} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ {x_C} = 3{x_O} - ({x_A} + {x_B}) \hfill \cr {y_C} = 3{y_O} - ({y_A} + {y_B}) \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_C} = - 1 \hfill \cr {y_C} = - 7 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy chọn A. Câu 29 trang 32 SGK Hình học 10. Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây là đúng? a) Hai vectơ \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow a = ( - 5;0) \hfill \cr \overrightarrow b = ( - 4;0) \hfill \cr} \right.\) cùng hướng b)Vectơ \(c = (7; 3)\) là vecto đối của \(\overrightarrow d = ( - 7;3)\) c) Hai vecto \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow u = (4;2) \hfill \cr \overrightarrow v = (8;3) \hfill \cr} \right.\) cùng phương d) Hai vecto \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow a = (6;3) \hfill \cr \overrightarrow b = (2;1) \hfill \cr} \right.\) ngược hướng. Trả lời: Ta có: \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow a = ( - 5;0) \hfill \cr \overrightarrow b = ( - 4;0) \hfill \cr} \right. \Rightarrow \overrightarrow a = {5 \over 4}\overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow a //\overrightarrow b \) Vậy chọn A. Câu 30 trang 32 SGK Hình học 11. Hai vectơ \(\overrightarrow i ;\overrightarrow j \) là hai vecto của hệ trục tọa độ . Tọa độ của vecto \(\overrightarrow i + \overrightarrow j \) là: a) \((0; 1)\) b) \((-1; 1)\) c) \((1; 0)\) d) \((1; 1)\) Trả lời: Ta có: \(\left. \matrix{ \overrightarrow i = (1,0) \hfill \cr \overrightarrow j = (0,1) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \overrightarrow i + \overrightarrow j = (1,1)\) Vậy chọn d)
