Bài 1 trang 45 sgk hình học 10. Cho tam giác vuông cân \(ABC\) có \(AB = AC = a\). Tính các tích vô hướng \(\vec{AB}.\vec{AC}\), \(\vec{AC}.\vec{CB}\). Giải \(\vec{AB} ⊥\vec{AC}\Rightarrow \vec{AB}.\vec{AC} = 0\) \(\vec{AC}.\vec{CB} =- \vec{CA}\). \(\vec{CB}\) Ta có: \(CB= a\sqrt2\); \(\widehat{C} = 45^0\) Vậy \(\vec{AC}.\vec{CB} = -\vec{CA}. \vec{CB}= -|\vec{CA}|. |\vec{CB}|. cos45^0\) \(= - a.a\sqrt 2 .{{\sqrt 2 } \over 2} = - {a^2}\) Bài 2 trang 45 sgk hình học 10. Cho ba điểm \(O, A, B\) thẳng hàng biết \(OA = a, OB = b\). tính tích vô hướng của \(\vec{OA}\).\(\vec{OB}\) trong \(2\) trường hợp a) Điểm \(O\) nằm ngoài đoạn \(AB\) b) Điểm \(O\) nằm trong đoạn \(AB\) Giải a) Khi \(O\) nằm ngoài đoạn \(AB\) thì hai vec tơ \(\vec{OA}\) và \(\vec{OB}\) cùng hướng và góc \((\vec{OA}, \vec{OB}) = 0^0\) \(\cos(\vec{OA}, \vec{OB}) = 1\) nên \(\vec{OA}.\vec{OB} = a.b\) b) Khi \(O\) nằm ngoài trong đoạn \(AB\) thì hai vectơ \(\vec{OA}\) và \(\vec{OB}\) ngược hướng và góc (\(\vec{OA}, \vec{OB}) = 180^0\) \(\cos(\vec{OA}, \vec{OB}) = -1\) nên \(\vec{OA}.\vec{OB} = -a.b\) Bài 3 trang 45 sgk hình học 10. Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(M\) và \(N\) là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung \(AM\) và \(BN\) cắt nhau tại \(I\). a) Chứng minh \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}\); B) Hãy dùng câu a) để tính \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}\) theo \(R\) Giải Ta có : \(\left( {\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AI} \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} } \right) = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {MB} \) Mặt khác: \(\overrightarrow {AI} \bot \overrightarrow {MB} \) nên \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {MB} = 0\) Từ đó: \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} \) Ta có: \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BI} \left( {\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {NA} } \right) = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {NA} \) Mặt khác: \(\overrightarrow {BI} \bot \overrightarrow {NA} \) nên \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {NA} = 0\) Từ đó: \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \) b) \(\eqalign{ & \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \cr & = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {BI} } \right) \cr & = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} = {\overrightarrow {AB} ^2} = 4{{\rm{R}}^2} \cr} \) Bài 4 trang 45 sgk hình học 10. Trên mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A(1; 3), B(4;2)\) a) Tìm tọa độ điểm \(D\) nằm trên trục \(Ox\) sao cho \(DA = DB\); b) Tính chu vi tam giác \(OAB\); c) Chứng tỏ rằng \(OA\) vuông góc với \(AB\) và từ đó tính diện tích tam giác \(OAB\) Giải a) \(D\) nằm trên trục \(Ox\) nên tọa độ của \(D\) là \((x; 0)\). Ta có : \(\eqalign{ & DA = DB \cr & \Leftrightarrow D{A^2} = D{B^2} \cr & \Leftrightarrow {(1 - x)^2} + {3^2} = {(4 - x)^2} + {2^2} \cr & \Leftrightarrow 1 - 2x + {x^2} + 9 = 16 - 8x + {x^2} + 4 \cr & \Leftrightarrow 6x = 10 \cr & \Leftrightarrow x = {5 \over 3} \cr & \Rightarrow D\left( {{5 \over 3};0} \right) \cr} \) b) \(\eqalign{ & O{A^2} = {1^2} + {3^3} = 10 \Rightarrow OA = \sqrt {10} \cr & O{B^2} = {4^2} + {2^2} = 20 \Rightarrow OB = 2\sqrt 5 \cr & A{B^2} = {(4 - 1)^2} + {(2 - 3)^2} = 10 \Rightarrow AB = \sqrt {10} \cr} \) Chu vi tam giác \(OAB\) là: \(\sqrt {10} + 2\sqrt 5 + \sqrt {10} \) c) Ta có \(\vec{OA}= (1; 3)\) \(\vec{AB} = (3; -1)\) \(\vec{OA} .\vec{AB} = 1.3 + 3.(-1) = 0 \Rightarrow \vec{OA}\) ⊥ \(\vec{AB}\) \({S_{OAB}}=\frac{1}{2}|\vec{OA}| .|\vec{AB}| =5\) (đvdt) Bài 5 trang 45 sgk hình học 10. Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) trong các trường hợp sau : a) \(\overrightarrow a \) = (2; -3), \(\overrightarrow b \)= (6, 4); b) \(\overrightarrow a \) = (3; 2), \(\overrightarrow b \)= (5, -1); c) \(\overrightarrow a \) = (-2; -2√3), \(\overrightarrow b \)= (3, √3); Hướng dẫn: a) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.6 + \left( { - 3} \right).4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b\) hay \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^0}\) b) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.5 + 2\left( { - 1} \right) = 13\) Mặt khác: \(\eqalign{ & \overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \cr & = \sqrt {{3^2} + {2^2}} .\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \cr & = \sqrt {26} .\sqrt {13} .\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \cr} \) \(\eqalign{ & \Rightarrow 13 = \sqrt {26} .\sqrt {13} \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \cr & \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {1 \over {\sqrt 2 }} \cr & \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {45^0} \cr} \) c) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 2.3 + \left( { - 2\sqrt 3 } \right).\sqrt 3 = 12\) \(\eqalign{ & \overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \cr & = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} .\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \cr & = \sqrt {20} .\sqrt {12} .\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \cr & \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {{12} \over {\sqrt {12} .\sqrt {10} }} = \sqrt {{3 \over 5}} \cr & \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \approx {39^0}15'53'' \cr} \) Bài 6 trang 46 sgk hình học 10. Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho bốn điểm : \(A(7; -3); B(8; 4); C(1; 5); D(0;-2)\). Chứng minh rằng tứ giác \(ABCD\) là hình vuông. Giải \(\vec{AB} = (1; 7)\); \(\vec{DC}= (1; 7)\) \(\vec{AB} = \vec{DC}\Rightarrow ABCD\) là hình bình hành (1) Ta có : \(AB^2={(8 - 7)^2} + {(4 + 3)^2} = 1 + 49 = 50 \Rightarrow AB = 5\sqrt 2 \) \(A{D^2} = {(0 - 7)^2} + {( - 2 + 3)^2} = 49 + 1 = 50 \Rightarrow AD = 5\sqrt 2 \) Suy ra \(AB = AD\), kết hợp với (1) suy ra \(ABCD\) là hình thoi (2) Mặt khác \(\vec{AB} = (1; 7)\); \(\vec{AD} = (-7; 1)\) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 1.( - 7) + 7.1 = 0 \Rightarrow \vec{AB}⊥\vec{AD}\) (3) Kết hợp (2) và (3) suy ra \(ABCD\) là hình vuông. Bài 7 trang 46 sgk hình học 10. Trên mặt phẳng \(Oxy\) cho điểm \(A(-2; 1)\). Gọi \(B\) là điểm đói xứng với điểm \(A\) qua gốc tọa độ \(O\). Tìm tọa độ của điểm \(C\) có tung độ bằng \(2\) sao cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(C\). Giải Điểm \(B\) đối xứng với \(A\) qua gốc tọa độ nên tọa độ của \(B\) là \((2; -1)\) Tọa độ của \(C\) là \((x; 2)\). Ta có: \(\vec{CA} = (-2 - x; -1)\) \(\vec{CB} = (2 - x; -3)\) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) \(\Rightarrow\vec{CA} ⊥ \vec{CB}\Rightarrow \vec{CA}.\vec{CB} = 0\) \(\Rightarrow(-2 - x)(2 - x) + (-1)(-3) = 0\) \(\Rightarrow -4 +x^2+ 3 = 0\) \(\Rightarrow x^2= 1 \Rightarrow x= 1\) hoặc \(x= -1\) Ta tìm được hai điểm \(C_1(1; 2); C_2(-1; 2)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
