Hình học 10 cơ bản - Chương 2 - Bài 3. Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 1 trang 59 sgk hình học 10. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(\widehat{B}= 58^0\)

    và cạnh \(a = 72 cm\). Tính \(\widehat{C}\), cạnh \(b\), cạnh \(c\) và đường cao \(h_a\)

    Giải

    [​IMG]


    Theo định lí tổng \(3\) góc trong một tam giác ta có:

    \(\eqalign{
    & \widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \cr
    & \Rightarrow \widehat C = {180^0} - \widehat A - \widehat B = {180^0} - {90^0} - {58^0} = {32^0} \cr} \)

    Xét tam giác vuông \(ABC\) có:

    \(b = a.\cos {32^0} \Rightarrow b \approx 61,06cm\);

    \(c = a.sin{32^0} \Rightarrow c \approx 38,15cm\)

    \(h_a =\frac{b.c}{a}\) \(\Rightarrow h_a ≈ 32,36cm\)




    Bài 2 trang 59 sgk hình học 10.
    Cho tam giác \(ABC\) biết các cạnh \(a = 52, 1cm\); \(b = 85cm\) và \(c = 54cm\). Tính các góc \(\widehat{A}\), \(\widehat{B}\), \(\widehat{C}\).

    Giải

    Từ định lí cosin

    \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.cosA\)

    ta suy ra \(\cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\) = \(\frac{85^{2}+54^{2}-(52,1)^{2}}{2.85.54}\)

    \(\Rightarrow \cos A ≈ 0,8089 \Rightarrow \widehat{A}= 36^0\)

    Tương tự, ta tính được \(\widehat{B}≈ 106^028’\) ;

    \(\widehat{C}≈ 37^032’\).




    Bài 3 trang 59 sgk hình học 10. Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat{A} = 120^0\) cạnh \(b = 8cm\) và \(c = 5cm\). Tính cạnh \(a\), và góc \(\widehat{B}\), \(\widehat{C}\) của tam giác đó.

    Giải

    Ta có

    \(\eqalign{
    & {a^2} = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.cos{120^0} = 64 + 25 + 40 = 129 \cr
    & \Rightarrow a = \sqrt {129} \approx 11,36cm \cr} \)

    Ta có thể tính góc \(B\) theo định lí cosin

    \(\cos B = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac} = \frac{129 + 25 - 64}{2.\sqrt{129}.5} ≈ 0,7936 \)

    \(\Rightarrow\widehat{B}= 37^048’\)

    Ta cũng có thể tính góc \(B\) theo định lí sin :

    \(\cos B = \frac{11,36}{\sin120^{0}}= \frac{8}{\sin B}\) \(\Rightarrow \sin B ≈ 0,6085\)

    \(\Rightarrow\widehat{B}= 37^048’\)

    Tổng ba góc trong một tam giác bằng \(180^0\)

    \(\widehat{C}=180^0- (\widehat{A} + \widehat{B})\)

    \(\Rightarrow\widehat{C}= 22^012’\).



    Bài 4 trang 59 sgk hình học 10. Tính diện tích \(S\) của tam giác có số đo các cạnh lần lượt là \(7, 9\) và \(12\).

    Giải

    Ta có \(2p = 7 + 9 + 12 \Rightarrow p = 14\)

    \(p - a = 14 - 7 = 7\)

    \(p - b = 14 - 9 = 5\)

    \(p - c = 12 - 12 = 2\)

    Áp dụng công thức Hêrong:

    \(S = \sqrt{14.7.5.2} = \sqrt{2^{2}.7^{2}.5} = 14\sqrt 5\approx 31,3\) (dvdt)



    Bài 5 trang 59 sgk hình học 10. Tam giác \(ABC\) có \(\widehat{A} = 120^0\). Tính cạnh \(BC\) cho biết cạnh \(AC = m\) và \(AB = n\).

    Giải

    Ta có:

    $$\eqalign{
    & \Rightarrow B{C^2} = {m^2} + {n^2} - 2.m.n.\left( { - {1 \over 2}} \right) \cr
    & \Rightarrow B{C^2} = {m^2} + {n^2} + m.n \cr
    & \Rightarrow BC = \sqrt {{m^2} + {n^2} + m.n} \cr} $$



    Bài 6 trang 59 sgk hình học 10. Tam giác \(ABC\) có các cạnh \(a = 8cm, b = 10cm, c = 13cm\)

    a) Tam giác đó có góc tù không?

    b) Tính độ dài đường trung tuyến \(MA\) của tam giác \(ABC\) đó.

    Giải

    a) Xét tổng \({a^2} + {b^2} - {c^2} = {8^2} + {10^2} - {13^2} = - 5 < 0\)

    Vậy tam giác \(ABC\) có góc \(C\) tù

    \(\cos C = \frac{a^{2}+b^{2}- c^{2}}{2ab}\) = \(\frac{-5}{160} ≈ -0, 3125\)

    Suy ra \(\widehat{C} = 91^047’\)

    b) Áp dụng công thức tính đường trung tuyến, ta tính được:

    \(A{M^2} = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4} = {{{{10}^2} + {{13}^2}} \over 2} - {{{8^2}} \over 4} = 118,5\)

    Suy ra \(AM ≈ 10,89cm\)



    Bài 7 trang 59 sgk hình học 10. Tính góc lớn nhất của tam giác \(ABC\) biết:

    a) Các cạnh \(a = 3cm, b = 4cm, c = 6cm\)

    b) Các cạnh \(a = 40cm, b = 13cm, c = 37cm\)

    Giải

    Ta biết trong tam giác thì đối diện với cạnh lớn nhất là góc lớn nhất, vậy trong câu a) góc lớn nhất là góc \(C\) còn trong câu b) góc lớn nhất là góc \(A\)

    a) \(\cos \widehat{C} = \frac{9+16 -36}{2.3.4}= \frac{-11}{24}≈ -0,4583\)

    Suy ra \(\widehat{C}= 117^016’\)

    b) \(\cos \widehat{A} = \frac{13^{2} +37^{2}-40^{2}}{2.13.37}\) = \(\frac{-62}{702}\)

    Suy ra \(\widehat{A}= 93^041’\)




    Bài 8 trang 59 sgk hình học 10. Cho tam giác \(ABC\) biết cạnh \(a = 137,5cm; \widehat{B} = 83^0\widehat{C} = 57^0\). Tính góc \(A\), cạnh \(b\) và \(c\) của tam giác.

    Giải

    Ta có: \(\widehat{A} = 180^0- (\widehat{B}+ \widehat{C}) = 40^0\)

    Áp dụng định lí \(\sin\) :

    \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\), ta có:

    \(b = \frac{137,5.\sin83^{0}}{\sin40} ≈ 212,31cm\)

    \(c = \frac{137,5.\sin57^{0}}{\sin40} ≈ 179,40cm\)



    Bài 9 trang 59 sgk hình học 10. Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AB = a, BC = b ,BD = m\), và \(AC = n\). Chứng minh rằng :

    $${m^2} + {n^2} = 2({a^2} + {b^2})$$

    Giải

    [​IMG]


    Áp dụng định lí về đường trung tuyến:

    \(OA^2 =\frac{AD^{2}+AB ^{2}}{2} - \frac{BD^{2}}{4}\)

    Thay \(OA = \frac{n}{2}, AB = a\)

    \(AD = BC = b\) và \(BD = m\)

    \({\left( {{n \over 2}} \right)^2} = {{{b^2} + {a^2}} \over 2} - {{{m^2}} \over 4} \Rightarrow {n^2} = 2{b^2} + 2{a^2} - {m^2} \)

    \(\Rightarrow {m^2} + {n^2} = 2({a^2} + {b^2})\)



    Bài 10 trang 60 sgk hình học 10. Hai chiếc tàu thủy \(P\) và \(Q\) cách nhau \(300m\).Từ \(P\) và \(Q\) thẳng hàng với chân \(A\) của tháp hải đăng \(AB\) ở trên bờ biển người ta nhìn chiều cao \(AB\) của tháp dưới các góc \(\widehat {BPA} = {35^0},\widehat {BQA} = {48^0}\)

    Tính chiều cao của tháp.

    Giải

    [​IMG]


    Ta có: \(AQ = AB\cot48^0\)

    \(AP = AB\cot35^0\)

    \(QP = AB(cot35^0- cot48^0)\)

    \(AB = {{300} \over {\cot {{35}^0} - \cot {{48}^0}}} \approx {{300} \over {1,4281 - 0,9004}} \approx 568,457m\)



    Bài 11 trang 60 sgk hình học 10. Muốn đo chiều cao của tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta lấy hai điểm \(A\) và \(B\) trên mặt đất có khoảng cách \(AB = 12cm\) cùng thẳng hàng với chân \(C\) của tháp để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao \(h = 1,3cm\). Gọi \(D\) là đỉnh tháp và hai điểm \(A_1,B_1\) cùng thẳng hàng với \(C_1\) thuộc chiều cao \(CD\) của tháp. Người ta đo được \(\widehat {D{A_1}{C_1}} = {49^0}\) và \(\widehat {D{B_1}{C_1}} = {35^0}\)

    Tính chiều cao của \(CD\) của tháp đó.

    [​IMG]

    Giải

    Ta có: Chiều cao của tháp \(DC = DC_1+ C_1C = 1,3 + DC_1\)

    \(DC = 1,3 + {{12} \over {\cot {{35}^0} - \cot {{49}^0}}} \approx 22,8m\)