Câu 1 trang 62 SGK Hình học 10. Hãy nhắc lại định nghĩa giá trị lượng giác của một góc \(α\) với \(0^0≤ α ≤ 180^0\). Tại sao khi \(α\) là một góc nhọn thì giá trị lượng giác này lại chính là các tỉ số lượng giác đã được học ở lớp 9? Trả lời: _ Định nghĩa: Với mỗi góc \(α\) \(0^0≤ α ≤ 180^0\) ta xác định một điểm \(M\) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc \(xOM = α\) và giả sử điểm \(M\) có tọa độ \(M (x_0;y_0)\). Khi đó ta có định nghĩa: Sin của góc \(α\) là \(y_0\), kí hiệu là \(\sin α = y_0\) cosin của góc \(α\) là \(x_0\), kí hiệu là \(\cos α = x_0\) tang của góc \(α\) là \(( x_0≠ 0)\), ký hiệu \(\tan α = {{{y_0}} \over {{x_0}}}\) cotang cuả góc \(α\) là \((y_0≠ 0)\), ký hiệu \(\cot α = {{{x_0}} \over {{y_0}}}\) Các số \(\sin α, \cos α, \tan α, \cot α\) được gọi là các giá trị lượng giác của góc \( α\). _ Khi \(α\) là các góc nhọn thì: + Theo định nghĩa ta có: \(\sin α = y_0\) Trong tam giác \(OAM\) vuông tại \(A\), ta có: \(\sin \alpha = {{{y_0}} \over 1} = {y_0}\) + Theo định nghĩa ta có: \(\cos α = x_0\) Trong tam giác \(OAM\) vuông tại \(A\), ta có: \(\cos \alpha = {{OA} \over {OM}} = {{{x_0}} \over 1} = {x_0}\) + Theo định nghĩa ta có: \(\tan \alpha = {{{y_0}} \over {{x_0}}}({x_0} \ne 0)\) Trong tam giác \(OAM\) vuông tại \(A\), ta có: \(\tan \alpha = {{AM} \over {OA}} = {{{y_0}} \over {{x_0}}}\) + Theo định nghĩa ta có: \(\cot \alpha = {{{x_0}} \over {{y_0}}}({y_0} \ne 0)\) Trong tam giác \(OAM\) vuông tại \(A\), ta có: \(\cot \alpha = {{OA} \over {AM}} = {{{x_0}} \over {{y_0}}}\) Câu 2 trang 62 SGK Hình học 10. Tại sao hai góc bù nhau lại có sin bằng nhau và cosin đối nhau? Trả lời: Hai góc bù nhau thì \(M\) và \(M’\) đối xứng với nhai qua trục \(Oy\) nên có sin bằng nhau và cosin đối nhau. Hai điểm \(M\) và \(M’\) có cùng tung độ, còn hoành độ đối nhau. Câu 3 trang 62 SGK Hình học 10. Nhắc lại định nghĩa tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \). Tích vô hướng này với |\(\overrightarrow a \) | và |\(\overrightarrow b \) | không đổi đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhẩt khi nào? Trả lời: Theo định nghĩa ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |.cos(\overrightarrow a ,\overrightarrow b )\) Vì \(|cos(\overrightarrow a ,\overrightarrow b )| \le 1\) nên: +) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) đạt giá trị lớn nhất \(|\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |\) khi: \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = 1 \Rightarrow (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {0^0}\) tức là \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng. +) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) đạt giá trị nhỏ nhất \(|\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |\) khi: \(⇒ \cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = - 1 \Rightarrow (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {180^0}\) và \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng. Câu 4 trang 62 SGK Hình học 10. Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho vecto \(\overrightarrow a = ( - 3;1)\) và vecto \(\overrightarrow b = (2;2)\) . Hãy tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) . Trả lời: Áp dụng công thức: Với \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2});\overrightarrow b = ({b_1};{b_2}) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}\) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = ( - 3).2 + 1.2 = - 6 + 2 = - 4\) Câu 5 trang 62 SGK Hình học 10. Hãy nhắc lại định lí cosin trong tam giác. Từ các hệ thức này hãy tính \(\cos A, \cos B , \cos C\) theo các cạnh của tam giác. Trả lời: Định lí cosin: Trong tam giác \(ABC\) ta có: \(\eqalign{ & {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.{\mathop{\rm cosA}\nolimits} \Rightarrow \cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}} \cr & {b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca.{\mathop{\rm cosB}\nolimits} \Rightarrow {\mathop{\rm cosB}\nolimits} = {{{c^2} + {a^2} - {b^2}} \over {2ca}} \cr & {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.{\mathop{\rm cosC}\nolimits} \Rightarrow {\mathop{\rm cosC}\nolimits} = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}} \cr} \) Câu 6 trang 62 SGK Hình học 10. Từ hệ thức \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\) trong tam giá, hãy suy ra định lí Py-ta-go. Trả lời: $${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.cosA$$ Khi góc \(A = 90^0\), suy ra \(\cos A = 0\) Do đó ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) (định lí Py-ta-go) Câu 7 trang 62 SGK Hình học 10. Chứng minh rằng với mọi tam giác \(ABC\), ta có \(a = 2R\sin A; b = 2R\sin B ; c = 2R\sin C\), trong đó \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Trả lời: Ta sử dụng định lí sin: \({a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = 2R\) Từ đó suy ra: \(a = 2R\sin A; b = 2R\sin B; c = 2R\sin C\) Câu 8 trang 62 SGK Hình học 10. Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng: a) Góc \(A\) nhọn khi và chỉ khi \({a^2} < {b^2} + {c^2}\) b) Góc \(A\) tù khi và chỉ khi \({a^2} > {b^2} + {c^2}\) c) Góc \(A\) vuông khi và chỉ khi \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) Trả lời: Theo hệ quả định lí cosin: \({\mathop{\rm cosA}\nolimits} = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}}\). Khi đó: a) \({a^2} < {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} > 0 \Leftrightarrow \cos A > 0\) Mặt khác theo định nghĩa cosin ta thấy \(\cos A > 0\) khi và chỉ khi \(A\) là góc nhọn. Vậy góc \(A\) nhọn khi và chỉ khi \({a^2} < {b^2} + {c^2}\) b) \({a^2} > {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} < 0 \Leftrightarrow \cos A < 0\) Mặt khác theo định nghĩa cosin ta thấy \(\cos A < 0\) khi và chỉ khi \(A\) là góc tù. Vậy góc \(A\) tù khi và chỉ khi \({a^2} > {b^2} + {c^2}\) c) Theo định lí Py-ta-go thì: \({a^2} = {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow \) góc \(A\) là góc vuông. Câu 9 trang 62 SGK Hình học 10. Cho tam giác \(ANC\) có góc \(A = 60^0, BC = 6\). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Trả lời: Sử dụng định lí sin, ta có: \({{BC} \over {\sin A}} = 2R \Rightarrow R = {{BC} \over {2\sin A}} = {6 \over {2.\sin {{60}^0}}} = {6 \over {\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \) Câu 10 trang 62 SGK Hình học 10. Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 12, b = 16, c = 20\). Tính diện tích \(S\) tam giác, chiều cao \(h_a\), các bán kính \(R, r\) của các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và đường trung tuyến \(m_a\) của tam giác. Trả lời: *Tính diện tích: Sử dụng công thức Hê-rông với: \(\eqalign{ & p = {{12 + 16 + 20} \over 2} = 24 \cr & S = \sqrt {24(24 - 12)(24 - 16)(24 - 20)} = \sqrt {24.12.8.4} = 96(dvdt) \cr} \) *Tính \(h_a\): Ta có: \(\eqalign{ & S = {1 \over 2}a{h_a} \Leftrightarrow 96 = {1 \over 2}12.{h_a} \Leftrightarrow 96 = 6.{h_a} \cr & \Leftrightarrow {h_a} = {{96} \over 6} = 16 \cr} \) *Tính \(R\) Ta có: \(S = {{abc} \over {4R}} \Leftrightarrow R = {{abc} \over {4S}} = {{12.16.20} \over {4.96}} = 10\) *Tính \(r\) Ta có: \(S = p.r \Leftrightarrow r = {S \over p} = {{96} \over {24}} = 4\) *Tính \(m_a\). Ta có: \(\eqalign{ & {m_a}^2 = {{2({b^2} + {c^2}) - {a^2}} \over 4} = {{2({{16}^2} + {{20}^2}) - {{12}^2}} \over 4} = 292 \cr & \Leftrightarrow {m_a}^2 = \sqrt {292} \approx 17,09 \cr} \) Câu 11 trang 62 SGK Hình học 10. Trong tập hợp các tam giác có hai cạnh là \(a\) và \(b\). Tìm tam giác có diện tích lớn nhất. Trả lời: Theo công thức tínhg diện tích tam giác, ta có: \(S = {1 \over 2}ab\sin C\) Vì \(a, b\) không đổi nên diện tích \(S\) lớn nhất khi \(\sin C\) lớn nhất và vì \(-1 ≤ \sin C ≤ 1\) nên \(\sin C\) lớn nhất khi \(\sin C = 1 ⇒\) \(\widehat C = 90^0\). Vậy trong tập hợp các tam giác có hai cạnh \(a\) và \(b\) thì tam giác vuông đỉnh \(C\) có diện tích lớn nhất.
Câu 1 trang 63 SGK Hình học 10. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng? A. \(\sin {150^0} = - {{\sqrt 3 } \over 2}\) B. \(\cos {150^0} = {{\sqrt 3 } \over 2}\) C. \(\tan {150^0} = - {1 \over {\sqrt 3 }}\) D. \(\cot {150^0} = \sqrt 3 \) Trả lời: C đúng vì: Khi \(90^0< α < 180^0\) thì: \(sin α > 0\) còn các giá trị lượng giác khác của \(α\) đều nhận giá trị âm. Câu 2 trang 63 SGK Hình học 10. Cho \(α\) và \(β\) là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A. \(\sin α = \sin β\) B. \(\cos α = -\cos β\) C. \(\tan α = -\tan β\) D. \(\cot α = \cot β\) Trả lời: D sai vì: Với hai góc bù sau thì có sin bằng nhau, còn các giá trị lượng giác khác là đối nhau. Câu 3 trang 63 SGK Hình học 10. Cho \(α\) là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(\sin α < 0\) B. \(\cos α < 0\) C. \(\tan α < 0\) D. \(\cot α < 0\) Trả lời: Chọn C vì: Khi \(90^0< α < 180^0\) thì: \(\sin α > 0\) còn các giá trị lượng giác khác của \(α\) đều nhận giá trị âm. Câu 4 trang 63 SGK Hình học 10. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai? A. \(\cos 45^0= \sin 45^0\) B. \(\cos 45^0 = \sin 135^0\) C. \(\cos 30^0 = \sin 120^0\) D. \(\sin 60^0 = cos 120^0\) Trả lời: Chọn D vì: \(\left\{ \matrix{ \sin {60^0} > 0 \hfill \cr \cos {120^0} < 0 \hfill \cr} \right.\) Câu 5 trang 63 SGK Hình học 10. Hai góc nhọn \(α\) và \(β\) trong đó \(α < β\) . Khẳng định nào sau đây là sai? A. \(\cos \alpha = \cos \beta \) B. \(\sin α < \sin β\) C. \(α + β = 90^0⇒ cos α = sin β\) D. \(\tan α + \tan β > 0\) Trả lời: Chọn A Vì với \(α < β\) thì \(cos α > cos β\) . Do đó A sai Câu 6 trang 63 SGK Hình học 10. Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) và có góc \(B = 30^0\). Khẳng định nào sau đây là sai? A. \({\mathop{\rm cosB}\nolimits} = {1 \over {\sqrt 3 }}\) B. \(\sin C = {{\sqrt 3 } \over 2}\) C. \(\cos C = {1 \over 2}\) D. \(\sin B = {1 \over 2}\) Trả lời: Chọn C vì \({\mathop{\rm cosB}\nolimits} = {{\sqrt 3 } \over 2}\) Câu 7 trang 63 SGK Hình học 10. Tam giác đều \(ABC\) có đường cao \(AH\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(\sin \widehat {BAH} = {{\sqrt 3 } \over 2}\) B. \(\cos \widehat {BAH} = {1 \over {\sqrt 3 }}\) C. \(\sin \widehat {ABC} = {{\sqrt 3 } \over 2}\) D. \(\sin \widehat {AHC} = {1 \over 2}\) Trả lời: Chọn C vì: \(\widehat {ABC}= {60^0} \Rightarrow \sin \widehat {ABC} = {{\sqrt 3 } \over 2}\) Câu 8 trang 64 SGK Hình học 10. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(\sin α = \sin (180^0– α)\) B. \(\cos α = \cos (180^0– α)\) C. \(\tan α = \tan (180^0 – α)\) D. \(\cot α = \cot (180^0 – α)\) Trả lời: A đúng vì: Với hai góc bù sau thì có sin bằng nhau, còn các giá trị lượng giác khác là đối nhau. Câu 9 trang 64 SGK Hình học 10. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây: a) \(\cos 35^0> \cos 10^0\) b) \(\sin 60^0 = \sin 80^0\) c) \(\tan 45^0< \tan 60^0\) d) \(\cos 45^0 = \sin 45^0\) Trả lời: Vì \(35^0> 10^0\) nên \(\cos 35^0 < \cos 10^0\) Vậy A sai. Câu 10 trang 64 SGK Hình học 10. Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) và có góc \(B = 50^0\). Hệ thức nào sau đây là sai: A. \((\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ) = {130^0}\) B. \((\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AC} ) = {40^0}\) C. \((\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CB} ) = {50^0}\) D. \((\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} ) = {120^0}\) Trả lời: Chọn D. Câu 11 trang 64 SGK Hình học 10. Cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vecto cùng hướng và đều khác vecto \(\overrightarrow 0 \) . Trong các kết quả sau đây, hãy chọn kết quả đúng. A. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |\) B. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\) C. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 1\) D. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |\) Trả lời: A đúng vì: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |cos(\overrightarrow a ,\overrightarrow b )\) Khi \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) cùng hướng thì \((\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {0^0}\) \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = 1 \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = |\overrightarrow a |.|\overline b |\) Câu 12 trang 64 SGK Hình học 10. Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(AB = AC = 30 cm\). Hai đường trung tuyến \(BF\) và \(CE\) cắt nhau tại \(G\). Diện tích tam giác \(GFC\) là: A. \(50cm^2\) B. \(50 \sqrt2 cm^2\) C. \(75cm^2\) D. \(15 \sqrt{105} cm^2\) Trả lời: Chọn C. Ta có: \(\eqalign{ & {S_{GFC}} = {2 \over 3}{S_{CEF}} = {2 \over 3}.{1 \over 2}{S_{CAE}} = {2 \over 3}.{1 \over 2}.{1 \over 2}{S_{ABC}} = {1 \over 6}.{1 \over 2}.30.30 \cr & = 75(c{m^2}) \cr} \) Câu 13 trang 64 SGK Hình học 10. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 5cm, BC = 13cm\). Gọi góc \(ABC = α\) và góc \(ACB = β\). Hãy chọn kết luận đúng khi so sánh \(α\) và \(β\). Trả lời: a) \(α > β\) b) \(α < β\) c) \(α = β\) d) \(α ≤ β\) Trả lời: Ta có: \(A{C^2} = {13^2} - {5^2} = 144 \Rightarrow AC = 12\) \(AC > AB ⇒ sin α > sin β ⇒ α > β\) Vậy b ) đúng Câu 14 trang 64 SGK Hình học 10. Cho góc \(xOy = 30^0\). Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm di động lần lượt trên \(Ox\) và \(Oy\) sao cho \(AB = 1\) Độ dài lớn nhất của đoạn \(OB\) bằng: A. \(1,5\) B. \(\sqrt3\) C. \(2 \sqrt2\) D. \(2\) Trả lời: Theo định lí sin ta có: \(\eqalign{ & {{OB} \over {\sin \widehat{ OAB}}} = {{AB} \over {{\mathop{\rm sin \widehat {xOy}}\nolimits} }} \Rightarrow {{OB} \over {\sin\widehat {OAB}}} = {1 \over {{1 \over 2}}} \cr & \Rightarrow OB = 2\sin \widehat {OAB} \cr} \) Vì \(\sin \widehat{OAB} ≤ 1\) nên ta có: \(OB ≤ 2 ⇒ OB\) đạt giá trị lớn nhất là \(2\) khi \(\sin\widehat {OAB} = 1\) \(⇒ \widehat{ OAB} = 90^0\) hay \(AB ⊥ Ox\) Vậy chọn D. Câu 15 trang 65 SGK Hình học 10. Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = a, CA = b, AB = c\). Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Nếu \({b^2} + {c^2} - {a^2} > 0\) thì góc \(A\) nhọn B. Nếu \({b^2} + {c^2} - {a^2} > 0\) thì góc \(A\) tù C. Nếu \({b^2} + {c^2} - {a^2} < 0\) thì góc \(A\) nhọn D. Nếu \({b^2} + {c^2} - {a^2} > 0\)thì góc \(A\) vuông. Trả lời: A đúng vì: \(\cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}}\) Nếu \({b^2} + {c^2} - {a^2} > 0\) thì \(\cos A > 0 ⇒\widehat A = 90^0\) Câu 16 trang 65 SGK Hình học 10. Đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = 15cm\). Gọi \(P\) là một điểm cách tâm \(O\) một khoảng \(PO = 9cm\). Dây cung đi qua \(P\) và vuông góc với \(PO\) có độ dài là: A. \(22cm\) B. \(23cm\) C. \(24cm\) D. \(25cm\) Trả lời: Chọn C vì: \(\eqalign{ & P{M^2} = O{M^2} - O{P^2} = 225 - 81 = 144 \cr & \Rightarrow PM = 12 \cr & \Rightarrow MN = 2PM = 2.12 = 24 \cr} \) Câu 17 trang 65 SGK Hình học 10. Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 8cm, AC = 18cm\) và có diện tích bằng \(64cm^2\). Giá trị \(\sin A\) là: A. \({{\sqrt 3 } \over 2}\) B. \({3 \over 8}\) C. \({4 \over 5}\) D. \({8 \over 9}\) Trả lời: Áp dụng công thức: \(S = {1 \over 2}AB.AC.\sin A\Rightarrow \sin A={{64} \over {{1 \over 2}.8.18}} = {8 \over 9}\) Do đó chọn D Câu 18 trang 65 SGK Hình học 10. Cho hai góc nhọn \(α\) và \(β\) phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai? A. \(\sin α = -\cos β\) B. \(\cos α = \sin β\) C. \(\tan α = \cot β\) D. \(\cot α = \tan β\) Trả lời: A sai vì: Hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia. Câu 19 trang 65 SGK Hình học 10. Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng? A. \(\sin90^0 < \sin 150^0\) B. \(\sin 90^015’ < \sin 90^030’\) C. \(\cos90^030’ > \cos 100^0\) D. \(\cos 150^0 > \cos 120^0\) Trả lời: C đúng vì: Trong khoảng \((0, 180^0)\) thì góc càng lớn, cosin càng nhỏ. \(α > β ⇔ \cos α > \cos β\) (góc lớn hơn có cosin nhỏ hơn) Câu 20 trang 65 SGK Hình học 10. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Khẳng định nào dưới đây là sai? A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} < \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \) B. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} < \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} \) C. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} < \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \) D. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} < \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} \) Trả lời: D sai vì: \(\eqalign{ & \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} > 0 \cr & \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} < 0 \cr} \) Câu 21 trang 65 SGK Hình học 10. Tam giác \(ABC\) có \(AB = 4cm, BC = 7cm, CA = 9cm\). Giá trị của \(\cos A\) là: A. \({2 \over 3}\) B. \({1 \over 3}\) C. \( - {2 \over 3}\) D. \({1 \over 2}\) Trả lời: Sử dụng hệ quả của định lí cosin: \(\cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}} = {{{9^2} + {4^2} - {7^2}} \over {2.9.4}} = {2 \over 3}\) Từ đó ta tính được \({\mathop{\rm cosA}\nolimits} = {2 \over 3}\). Vậy chọn A. Câu 22 trang 65 SGK Hình học 10. Cho hai điểm \(A(1; 2)\) và \(B (3;4)\). Giá trị của \({\overrightarrow {AB} ^2}\) là: A. \(4\) B. \(4\sqrt2\) C . \(6\sqrt2\) D. \(8\) Trả lời Chọn D. Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (2,2) \Rightarrow {\overrightarrow {AB} ^2} = {2^2} + {2^2} = 8\) Câu 23 trang 66 SGK Hình học 10. Cho hai vecto \(\overrightarrow a = (4;3)\) ; và \(\overrightarrow b = (1;7)\) . Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là: A. \(90^0\) B. \(60^0\) C. \(45^0\) D. \(30^0\) Trả lời: Chọn C. Sử dụng công thức cosin của hai góc giữa hai vecto: Với \(\overrightarrow a = (4,3)\) ; và \(\overrightarrow b = (1,7)\) ; và ta có: \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}} \over {\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} \sqrt {{b_1}^2 + {b_2}^2} }}= {{4.1 + 3.7} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {7^2}} }} = {{\sqrt 2 } \over 2}\) Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là: \(45^0\) Câu 24 trang 66 SGK Hình học 10. Cho hai điểm \(M= (1; -2)\) và \(N = (-3; 4)\). Khoảng cách giữa hai điểm \(M\) và \(N\) là: A. \(4\) B. \(6\) C. \(3 \sqrt6\) D. \(2 \sqrt{13}\) Trả lời: Chọn D. Sử dụng công thức: Với \(A(a_1 ;a_2); B(b_1; b_2)\) \(AB = \sqrt {{{({b_1} - {a_1})}^2} + {{({b_2} - {a_2})}^2}} \) \(MN = \sqrt {{{( - 3 - 1)}^2} + {{(4 + 2)}^2}} = \sqrt {52} = 2\sqrt {13} \) Câu 25 trang 66 SGK Hình học 10. Tam giác \(ABC\) có \(A= (-1; 1); B = (1; 3)\) và \(C = (1; -1)\) Trong các cách phát biểu sau đây, hãy chọn cách phát biểu đúng. A. \(ABC\) là tam giác có ba cạnh bằng nhau B. \(ABC\) là tam giác có ba góc đều nhọn C. \(ABC\) là tam giác cân tại \(B\) (có \(BA = BC\)) D. \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\). Trả lời: Chọn D. Ta tính được: \(AB = AC = \sqrt8\); \(BC = 4\), đồng thời \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) Câu 26 trang 66 SGK Hình học 10. Tam giác \(ABC\) có \(A = (10; 5), B = (3; 2), C = (6; -5)\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(ABC\) là tam giác đều B. \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) C. \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\) D. \(ABC\) là tam giác có góc tù tại \(A\). Trả lời: Chọn B. $$\eqalign{ & AB = \sqrt {{{(3 - 10)}^2} + {{(2 - 5)}^2}} = \sqrt {58} \cr & BC = \sqrt {{{(6 - 10)}^2} + {{( - 5 - 5)}^2}} = \sqrt {58} \cr & BC = \sqrt {{{(6 - 3)}^2} + {{( - 5 - 2)}^2}} = \sqrt {116} \cr} $$ Câu 27 trang 66 SGK Hình học 10. Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) và nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\). Gọi \(R\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Khi đó tỉ số \({R \over r}\) là: A. \(1 + \sqrt 2\) B. \({{2 + \sqrt 2 } \over 2}\) C. \({{\sqrt 2 - 1} \over 2}\) D. \({{1 + \sqrt 2 } \over 2}\) Trả lời: Ta có: \(\left. \matrix{ {S_{ABC}} = {R^2} \hfill \cr p = {1 \over 2}(R\sqrt 2 + R\sqrt 2 + 2R) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow p = R(\sqrt 2 + 1)\) Suy ra: \(r = {S \over p} = {R \over {\sqrt 2 + 1}} \Rightarrow {R \over r} = \sqrt 2 + 1\) Vậy chọn A. Câu 28 trang 66 SGK Hình học 10. Tam giác \(ABC\) có \(AB = 9cm, AC = 12cm, BC = 15cm\). Khi đó đường trung tuyến \(AM\) của tam giác có độ dài là: A. \(8cm\) B. \(10cm\) C. \(9cm\) D. \(7,5cm\) Trả lời: Áp dụng công thức: \({m_a}^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4}\) \(\eqalign{ & A{M^2} = {{{{12}^2} + {9^2}} \over 2} - {{{{15}^2}} \over 4} = 56,25 \cr & \Leftrightarrow AM = \sqrt {56,25} = 7,5cm \cr} \) Chọn D Câu 29 trang 67 SGK Hình học 10. Tam giác \(ABC\) có \(BC = a, CA = b, AB = c\) và có diện tích \(S\). Nếu tăng cạnh \(BC\) lên \(2\) lần đồng thời tăng cạnh \(CA\) lên \(3\) lần và giữ nguyên độ lớn của góc \(C\) thì khi đó diện tích tam giác mới được tạo nên bằng: A. \(2S\) B. \(3S\) C. \(4S\) D. \(6S\). Trả lời: Áp dụng công thức: \(\left. \matrix{ S = {1 \over 2}ab\sin C \hfill \cr S' = {1 \over 2}(2a.3b)\sin C \hfill \cr} \right\} \Rightarrow {{S'} \over S} = 6 \Rightarrow S' = 6S\) Vậy chọn D Câu 30 trang 67 SGK Hình học 10. Cho tam giác \(DEF\) có \(DE = DF =10cm\) và \(EF = 12cm\). Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(EF\). Đoạn thẳng \(DI\) có độ dài là: A. \(6,5 cm\) B. \(7cm\) C. \(8cm\) D. \(4cm\) Trả lời: Ta có: \(DI\) là đường trung tuyến của tam giác \(DEF\) Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến: \({m_a}^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4}\) \(\eqalign{ & D{I^2} = {{{{10}^2} + {{10}^2}} \over 2} - {{{{12}^2}} \over 4} = 64 \cr & \Rightarrow DI = \sqrt {64} = 8cm \cr} \) Vậy chọn C.
