Hình học 10 nâng cao - Chương 1 - Ôn tập chương I - Vectơ

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 1 trang 34 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác \(ABC\) . Hãy xác định các vec tơ
    \(\eqalign{
    & \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \,\,;\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} \,\,;\,\,\,\,\,\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} \,\,;\,\,\,\,\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CB} \,\,;\, \cr
    & \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} \,\,;\,\,\,\,\,\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CB} \,\,;\,\,\,\,\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AB} \,\,.\, \cr} \)
    Hướng dẫn trả lời
    Ta có
    \(\eqalign{
    & \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \,\, = \overrightarrow {AC} \,\,\,\,\, \cr
    & \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} \,\, = \overrightarrow {CA} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cr
    & \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} \,\, = \,\overrightarrow {CA} \, + \,\overrightarrow {AB} \, = \,\overrightarrow {CB} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cr
    & \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CB} \,\, = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA} \cr} \)
    \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} \) (Với \(D\) thỏa mãn \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AD} \), tức \(D\) là điểm đối xứng với \(C\) qua \(A\)).
    \(\eqalign{
    & \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AB} \cr
    & \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \cr} \)
    \(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BE} \) (Với \(E\) là điểm sao cho \(BCEA\) là hình bình hành).



    Bài 2 trang 34 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho ba điểm \(O, A, B\) không thẳng hàng. Tìm điều kiện cần và đủ để vec tơ \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \) có giá là đường phân giác của góc AOB.
    Hướng dẫn trả lời
    Gọi \(C\) là điểm sao cho \(AOBC\) là hình bình hành.
    Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} \),
    \(OC\) là phân giác của góc \(AOB\) khi và chỉ khi \(AOB\)C là hình thoi.
    \( \Leftrightarrow \,\,OA = OB\).



    Bài 3 trang 34 SGK Hình học 10 Nâng cao. Gọi \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\). Chứng minh rằng với điểm \(M\) bất kì, ta có
    \(\overrightarrow {MO} = {1 \over 4}(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} ).\)
    Hướng dẫn trả lời
    [​IMG]
    Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(O\) là trung điểm của \(AC, BD\).
    Suy ra \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \,,\,\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \,.\)
    Ta có
    \(\eqalign{
    & \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} \cr
    & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {MO} \cr
    & \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MO} = {1 \over 4}(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} ). \cr} \)



    Bài 4 trang 34 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác \(ABC\).
    a) Tìm các điểm \(M\) và \(N\) sao cho
    \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) và \(2\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 .\)
    b) Với các điểm \(M, N\) ở câu a) , tìm các số \(p\) và \(q\) sao cho
    \(\overrightarrow {MN} = p\overrightarrow {AB} + q\overrightarrow {AC} .\)
    Hướng dẫn trả lời
    [​IMG]
    a) Ta có \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \, \Leftrightarrow \,\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
    \( \Leftrightarrow \,\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {BA} \,.\) Do đó \(ABCM\) là hình bình hành.
    Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = 2\overrightarrow {NI} \) suy ra \(2\overrightarrow {NA} + 2\overrightarrow {NI} = \overrightarrow 0 \)
    \( \Rightarrow \,\,\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NI} = \overrightarrow 0 \,\,\,\, \Rightarrow \,N\,\) là trung điểm của \(AI\).
    b) Từ câu a), ta biểu diễn \(\overrightarrow {AM} ,\,\overrightarrow {AN} \) qua \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} \).
    \(\eqalign{
    & \overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \,\, \Leftrightarrow \, - \overrightarrow {AM} - (\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} ) + (\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} )=\overrightarrow 0 \cr
    & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \cr
    & 2\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \,\, \Leftrightarrow \, - 2\overrightarrow {AN} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AN} = \overrightarrow 0 \cr
    & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,4\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}\Leftrightarrow \overrightarrow {AN}= {1 \over 4}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) \cr
    & \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = {1 \over 4}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = {5 \over 4}\overrightarrow {AB} - {3 \over 4}\overrightarrow {AC} \cr} \)
    Vậy \(p = {5 \over 4}\,;\,q = - {3 \over 4}.\)



    Bài 5 trang 35 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho đoạn thẳng \(AB\) và điểm \(I\) sao cho \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0\)
    a) Tim số \(k\) sao cho \(\overrightarrow {AI} = k\overrightarrow {AB} \).
    b) Chứng minh rằng với mọi điểm \(M\), ta có
    \(\overrightarrow {MI} = {2 \over 5}\overrightarrow {MA} + {3 \over 5}\overrightarrow {MB} \).
    Hướng dẫn trả lời
    a) Ta có \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \,\, \Leftrightarrow \, - 2\overrightarrow {AI} + 3(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AI} ) = \overrightarrow 0 \)
    \( \Leftrightarrow - 5\overrightarrow {AI} = - 3\overrightarrow {AB} \,\,\, \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = {3 \over 5}\overrightarrow {AB.} \,\)Vậy \(k = {3 \over 5}\).
    b) Từ \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) suy ra với mọi điểm \(M\) ta có:
    \(2(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MI} ) + 3(\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MI} ) = \overrightarrow 0 \)
    \( \Rightarrow \,5\overrightarrow {MI} = 2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} \,\,\, \Rightarrow \,\overrightarrow {MI} = {2 \over 5}\overrightarrow {MA} + {3 \over 5}\overrightarrow {MB} \)



    Bài 6 trang 35 SGK Hình học 10 Nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A( - 1\,;3)\,,\,B(4\,;2)\,,\,C(3\,;5)\).
    a) Chứng minh rằng ba điểm \(A, B, C\) không thẳng hàng.
    b) Tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho \(\overrightarrow {AD} = - 3\overrightarrow {BC} \).
    c) Tìm tọa độ điểm \(E\) sao cho \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABE\).
    Hướng dẫn trả lời
    a) Ta có
    \(\eqalign{
    & \overrightarrow {AB} = (4 + \,1\,;\,2 - 3) = (5\,;\, - 1) \cr
    & \overrightarrow {AC} = (3 + 1\,;\,5 - 3) = (4\,;\,2) \cr} \)
    Vì \({5 \over 4} \ne - {1 \over 2}\) nên \(\overrightarrow {AB} \,,\,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương. Do đó, \(A, B, C\) không thẳng hàng.
    b) Giả sử \(D\,({x_D}\,;\,{y_D})\). Ta có
    \(\eqalign{
    & \overrightarrow {AD} = - 3\overrightarrow {BC} \,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \matrix{
    {x_D} + 1 = 3 \hfill \cr
    {y_D} - 3 = - 9 \hfill \cr} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \matrix{
    {x_D} = 2 \hfill \cr
    {y_D} = - 6 \hfill \cr} \right. \cr
    & \Rightarrow \,\,D(2\,;\, - 6). \cr} \)
    C) Giả sử \(E({x_E}\,;\,{y_E})\). Ta có
    \(\eqalign{
    & \,\left\{ \matrix{
    0 = {1 \over 3}( - 1 + 4 + {x_E}) \hfill \cr
    0 = {1 \over 3}(3 + 2 + {y_E}) \hfill \cr} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \matrix{
    {x_E} = - 3 \hfill \cr
    {y_E} = - 5 \hfill \cr} \right. \cr
    & \Rightarrow \,\,E( - 3\,;\, - 5). \cr} \)
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Bài 1 trang 35 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(A', B', C'\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(BC, CA, AB\). Vectơ \(\overrightarrow {{A'}{B'}} \) cùng hướng với vectơ nào trong các vectơ sau đây ?
    (A) \(\overrightarrow {AB} \) ;
    (B) \(\overrightarrow {A{C'}} \) ;
    (C) \(\overrightarrow {BA} \) ;
    (D) \(\overrightarrow {{C'}B} \) .
    Hướng dẫn trả lời
    [​IMG]
    Chọn (C).



    Bài 2 trang 35 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho ba điểm \(M, N, P\) thẳng hàng, trong đó điểm \(N\) nằm giữa hai điểm \(M\) và \(P\) . Khi đó các cặp vec tơ nào sau đây cùng hướng ?
    (A) \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {PN} \) ;
    (B) \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {MP} \) ;
    (C) \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {PN} \) ;
    (D) \(\overrightarrow {NM} \) và \(\overrightarrow {NP}\) .
    Hướng dẫn trả lời
    [​IMG]

    Chọn (B).



    Bài 3 trang 35 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho hình chữ nhật \(ABCD.\) Trong các đẳng thức dưới đây, đẳng thức nào đúng ?
    (A) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) ;
    (B) \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DA} \) ;
    (C) \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} \) ;
    (D) \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
    Hướng dẫn trả lời
    [​IMG]
    Chọn (D).



    Bài 4 trang 35 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác đều \(ABC\) với đường cao \(AH\). Đẳng thức nào dưới đây đúng ?
    (A) \(\overrightarrow {HB} = \overrightarrow {HC} \) ;
    (B) \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {HC} \) ;
    (C) \(\left| {\overrightarrow {AH} } \right| = {{\sqrt 3 } \over 2}\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\) ;
    (D) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \).
    Hướng dẫn trả lời
    [​IMG]
    Đường cao tam giác đều cạnh \(a\) có độ dài bằng \({{a\sqrt 3 } \over 2}\).
    Chọn (C).



    Bài 5 trang 36 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(C\) với \(AB = 2a,\,CB = 5a.\) Độ dài vec tơ \(\overrightarrow {AC} \) bằng bao nhiêu ?
    (A) \(7a\) ; (B) \(3a\);
    (C) \({{5a} \over 2}\); (D) \(10{a^2}\).
    Hướng dẫn trả lời
    \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = AB + BC = 7a\). (Vì \(B\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(C\))
    Chọn (A).



    Bài 6 trang 36 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho bốn điểm \(A, B, C, D\). Đẳng thức nào dưới đây đúng ?
    (A) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \) ;
    (B) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \) ;
    (C) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \) ;
    (D) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BC} \).
    Hướng dẫn trả lời
    \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = (\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} ) + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + (\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} ) = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB}. \)
    Chọn (C).



    Bài 7 trang 36 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho sáu điểm \(A, B, C, D, E, F\). Đẳng thức nào dưới đây đúng ?
    (A) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {FA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow 0 \) ;
    (B) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {FA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AF} \) ;
    (C) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {FA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE} \) ;
    (D) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {FA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AD} \).
    Hướng dẫn trả lời
    \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {FA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DE} \)
    \(= \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FA} \)
    \(=\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0. \)
    Chọn (A).



    Bài 8 trang 36 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho hình thang \(ABCD\) với hai cạnh đáy là \(AB = 3a\) và \(CD = 6a\). Khi đó \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} } \right|\) bằng bao nhiêu ?
    (A) \(9a\) ; (B) \(3a\) ;
    (C) \(-3a\) ; (D) \(0\).
    Hướng dẫn trả lời
    [​IMG]
    Gọi \(E\) là trung điểm \(CD\). Ta có \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {DE} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {CE} } \right| = CE = 3a\).
    Chọn (B).



    Bài 9 trang 36 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Khi đó giá trị \(\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right|\) bằng bao nhiêu ?
    (A) \(2a\sqrt 2 \); (B) \(2a\);
    (C) \(a\); (D) \(0\).
    Hướng dẫn trả lời
    [​IMG]
    \(\eqalign{
    & \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AD} \cr
    & \Rightarrow \,\,\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AD} } \right| = 2a. \cr} \)
    Chọn (B).



    Bài 10 trang 36 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho ba điểm bất kì \(A, B, C\). Đẳng thức nào dưới đây đúng ?
    (A) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} \) ;
    (B) \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \);
    (C) \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BA} \);
    (D) \(\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \);
    Trả lời
    Chọn (A).



    Bài 11 trang 36 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a\). Giá trị \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} } \right|\) bằng bao nhiêu ?
    (A) \(2a\) ; (B) \(a\);
    (C) \(a\sqrt 3 \); (D) \({{a\sqrt 3 } \over 2}\).
    Hướng dấn trả lời
    [​IMG]
    Gọi \(I\) là trung điểm \(BC\).
    Ta có \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AI} \).
    \( \Rightarrow \,\,\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AI} } \right| = 2.{{a\sqrt 3 } \over 2} = a\sqrt 3 .\)
    Chọn (C).



    Bài 12 trang 37 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) lần lượt có trọng tâm là \(G\) và \(G'\). Đẳng thức nào dưới đây là sai ?
    (A) \(3\overrightarrow {G{G'}} = \overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {C{C'}} \);
    (B) \(3\overrightarrow {G{G'}} = \overrightarrow {A{B'}} + \overrightarrow {B{C'}} + \overrightarrow {C{A'}} \);
    (C) \(3\overrightarrow {G{G'}} = \overrightarrow {A{C'}} + \overrightarrow {B{A'}} + \overrightarrow {C{B'}} \) ;
    (D) \(3\overrightarrow {G{G'}} = \overrightarrow {{A'}A} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {C{C'}} \).
    Trả lời
    Chọn (D).



    Bài 13 trang 37 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(C\), với \(AB = 2a, AC = 6a\). Đẳng thức nào dưới đây đúng ?
    (A) \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \) ;
    (B) \(\overrightarrow {BC} = - 2\overrightarrow {AB} \) ;
    (C) \(\overrightarrow {BC} = 4\overrightarrow {AB} \) ;
    (D) \(\overrightarrow {BC} = - 2\overrightarrow {BA} \) .
    Trả lời
    [​IMG]

    Ta có \(\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {BA} \).
    Chọn (D).



    Bài 14 trang 37 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho ba điểm phân biệt \(A, B, C\). Nếu \(\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AC} \) thì đẳng thức nào dưới đây đúng ?
    (A) \(\overrightarrow {BC} = 4\overrightarrow {AC} \);
    (B) \(\overrightarrow {BC} = - 4\overrightarrow {AC} \);
    (C) \(\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {AC} \);
    (D) \(\overrightarrow {BC} = - 2\overrightarrow {AC} \);
    Hướng dẫn trả lời
    Ta có \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} = 4\overrightarrow {AC} .\)
    Chọn (A).



    Bài 15 trang 37 SGK Hình học 10 Nâng cao. Điều kiện nào dưới đây là cần và đủ để điểm \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\)?
    (A) \(OA = OB\);
    (B) \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB} \);
    (C) \(\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {BO} \);
    (D) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 .\)
    Trả lời
    Chọn (D).



    Bài 16 trang 37 SGK Hình học 10 Nâng cao. Nếu \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì đẳng thức nào dưới đây đúng ?
    (A) \(\overrightarrow {AG} = {{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \over 2}\);
    (B) \(\overrightarrow {AG} = {{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \over 3}\);
    (C) \(\overrightarrow {AG} = {{3\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)} \over 2}\);
    (D) \(\overrightarrow {AG} = {{2\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)} \over 3}\).
    Hướng dẫn trả lời
    [​IMG]
    Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\).
    Ta có \(\overrightarrow {AG} = {2 \over 3}\overrightarrow {AM} = {2 \over 3}\left( {{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \over 2}} \right) = {{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \over 3}\).
    Chọn (B).



    Bài 17 trang 37 SGK Hình học 10 Nâng cao. Gọi \(AM\) là trung tuyến của tam giác \(ABC\), và \(I\) là trung điểm của \(AM\). Đẳng thức nào sau đây là đúng ?
    (A) \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \);
    (B) \( - \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \);
    (C) \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \);
    (D) \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).
    Hướng dẫn trả lời
    [​IMG]
    Ta có \(\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = 2\overrightarrow {IM} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = 2\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IM} = \overrightarrow 0 .\)
    Chọn (D).



    Bài 18 trang 37 SGK Hình học 10 Nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(A( - 1\,;\,4),\,B(3\,;\, - 5)\). Khi đó tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {BA} \) là cặp số nào ?
    (A) \((2\,;\, - 1)\);
    (B) \(( - 4\,;\,9)\);
    (C) \((4\,;\, - 9)\);
    (D) \((4\,;\,9)\).
    Hướng dẫn trả lời
    Ta có \(\overrightarrow {BA} = ( - 1 - 3\,;\,4 + 5) = ( - 4\,;\,9).\)
    Chọn (B).



    Bài 19 trang 38 SGK Hình học 10 Nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(A(0\,;\,5),\,B(2\,;\, - 7)\). Khi đó tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là cặp số nào ?
    (A) \((2\,;\, - 2)\);
    (B) \(( - 2\,;\,12)\);
    (C) \(( - 1\,;\,6)\);
    (D) \((1\,;\, - 1)\).
    Hướng dẫn trả lời
    Trung điểm của \(AB\) có tọa độ là:
    \(\left( {{{0 + 2} \over 2}\,;\,{{5 - 7} \over 2}} \right) = \left( {1\,;\, - 1} \right)\).
    Chọn (D).



    Bài 20 trang 38 SGK Hình học 10 Nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(M(8;\, - 1),\,N(3;\,2)\). Nếu \(P\) là điểm đối xứng với điểm \(M\) qua điểm \(N\) thì tọa độ của \(P\) là cặp số nào ?
    (A) \(( - 2\,;\,5)\);
    (B) \(\left( {{{11} \over 2};\,{1 \over 2}} \right)\);
    (C) \((13\,\,;\, - 3)\);
    (D) \( (11\,\,;\, - 1)\).
    Hướng dẫn trả lời
    \(N\) là trung điểm của \(MP\) nên
    \(\eqalign{
    & \left\{ \matrix{
    {x_N} = {{{x_M} + {x_P}} \over 2} \hfill \cr
    {y_N} = {{{y_M} + {y_P}} \over 2} \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
    3 = {{8 + {x_P}} \over 2} \hfill \cr
    2 = {{ - 1 + {y_P}} \over 2} \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    {x_P} = - 2 \hfill \cr
    {y_P} = 5 \hfill \cr} \right. \cr
    & \Rightarrow P\,( - 2\,;\,5). \cr} \)
    Chọn (A).



    Bài 21 trang 38 SGK Hình học 10 Nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A(5\,;\, - 2),\,B(0\,;\,3),\,C( - 5\,;\, - 1).\) Khi đó trọng tâm tam giác \(ABC\) có tọa độ là cặp số nào ?
    (A) \((1\,;\, - 1)\);
    (B) \((0\,;\,0)\);
    (C) \((0\,;\,11)\) ;
    (D) \((10\,;\,0)\).
    Hướng dẫn trả lời
    Trọng tâm tam giác \(ABC\) có tọa độ là:
    \(\left( {{{5 + 0 - 5} \over 3}\,;\,{{ - 2 + 3 - 1} \over 3}} \right) = (0\,;\,0)\).
    Chọn (B).



    Bài 22 trang 38 SGK Hình học 10 Nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho tam giác \(ABC\) với trọng tâm \(G\). Biết rằng \(A = ( - 1;\,4),\,B = (2;\,5),\,G = (0;\,7).\) Hỏi tọa đô đỉnh \(C\) là cặp số nào ?
    (A) \((2\,;\,12)\);
    (B) \(( - 1\,\,;\,12)\);
    (C) \((3\,;\,1)\);
    (D) \((1\,;\,12)\).
    Hướng dẫn trả lời
    Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên
    \(\eqalign{
    & \left\{ \matrix{
    {x_G} = {1 \over 3}\left( {{x_A} + {x_B} + {x_C}} \right) \hfill \cr
    {y_G} = {1 \over 3}\left( {{y_A} + {y_B} + {y_C}} \right) \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \matrix{
    0 = {1 \over 3}\left( { - 1 + 2 + {x_C}} \right) \hfill \cr
    7 = {1 \over 3}\left( {4 + 5 + {y_C}} \right) \hfill \cr} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    {x_C} = - 1 \hfill \cr
    {y_C} = 12 \hfill \cr} \right. \cr
    & \Rightarrow \,\,C\,( - 1\,;\,12).\, \cr} \)
    Chọn (B).



    Bài 23 trang 38 SGK Hình học 10 Nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho bốn điểm \(A(3\,;\,1),\,B(2\,;\,2),\,C(1\,;\,6),\,D(1\,;\, - 6).\) Hỏi điểm \(G(2\,;\, - 1)\) là trọng tâm của tam giác nào sau đây ?
    (A) Tam giác \(ABC\);
    (B) Tam giác \(ABD\);
    (C) Tam giác \(ACD\);
    (D) Tam giác \(BCD\).
    Hướng dẫn trả lời
    Ta có
    \(\left\{ \matrix{
    2 = {1 \over 3}(3 + 2 + 1) \hfill \cr
    - 1 = {1 \over 3}(1 + 2 - 6) \hfill \cr} \right.\).
    Chọn (B).