Bài 4 trang 51 SGK Hình học 10 nâng cao. Trong các trường hợp nào tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) có giá trị dương, có giá trị âm, bằng \(0\) ? Hướng dẫn trả lời Ta có \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\,\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos (\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b )\), do đó +) \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b > 0\) khi \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) và góc \((\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ) < {90^0}\); +) \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b < 0\) khi \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) và góc \((\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ) > {90^0}\); +) \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow a \bot \overrightarrow {b.}\) Bài 5 trang 51 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho tam giác \(ABC\). Tổng \((\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) + (\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CA} ) + (\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {AB} )\) có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau : \({90^0}\,;\,{180^0}\,;\,{270^{0\,}}\,;\,{360^0}\) ? Hướng dẫn trả lời Ta có \((\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) = {180^0} - \widehat B\,\,;\,\,(\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CA} ) = {180^0} - \widehat C\,\,;\,\,(\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {AB} ) = {180^0} - \widehat A\) Do đó \((\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) + (\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CA} ) + (\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {AB} ) = {360^0}\) Bài 6 trang 51 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) và \(\widehat B = {30^0}\). Tính giá trị của các biểu thức sau a) \(\cos (\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) + \sin (\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} ) + \tan {{(\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {CB} )} \over 2}\); b) \(\sin (\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} ) + \cos (\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {BA} ) + \cos (\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {BA} )\). Hướng dẫn trả lời a) Ta có \((\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) = {150^0}\,\,;\,\,\,(\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} ) = {30^0}\,\,;\,\,\,(\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {CB} ) = {120^0}\) Do đó \(\eqalign{ & \cos (\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) + \sin (\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} ) + \tan {{(\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {CB} )} \over 2} = \cos {150^0} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}{{\rm{0}}^0} + \tan {60^0} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,{{ - \sqrt 3 } \over 2} + {1 \over 2} + \sqrt 3 = {{\sqrt 3 + 1} \over 2} \cr} \) b) Ta có \((\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {BA} ) = {90^0}\) ,do đó \(\eqalign{ & \sin (\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} ) + \cos (\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {BA} ) + \cos (\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {BA} ) = \sin {90^0} + \cos {30^0} + \cos {90^0} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + {{\sqrt 3 } \over 2} + 0 = {{2 + \sqrt 3 } \over 2} \cr} \) Bài 7 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho bốn điểm bất kì \(A, B, C, D\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} = 0\). Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: “Ba đường cao của một tam giác đồng quy”. Hướng dẫn trả lời Ta có \(\eqalign{ & \,\,\,\,\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} \cr & = \overrightarrow {DA} (\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DB} ) + \overrightarrow {DB} (\overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DC} ) + \overrightarrow {DC} (\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DA} ) \cr & = \overrightarrow {DA} \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} \overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DB} \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DC} \overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC} \overrightarrow {DA} = 0 \cr} \) Gọi \(D\) là giao điểm của hai đường cao \(AA', BB'\) của tam giác \(ABC\). Ta có \(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} = 0\,;\,\,\overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} = 0\) Từ đó suy ra \(\overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} = 0\), do đó \(DC \bot AB\). Vậy \(D\) nằm trên đường cao \(CC'\) của tam giác \(ABC\), tức là ba đường cao trong tam giác đồng quy. Bài 8 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) là \(\overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BC} = A{B^2}\). Hướng dẫn trả lời Ta có \(\overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BC} = {\overrightarrow {BA} ^2}\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {BA} (\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} ) = 0\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {AC} = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,BA \bot AC\) \( \Leftrightarrow \) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Bài 9 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho tam giác \(ABC\) với ba đường trung tuyến \(AD, BE, CF\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF} = 0\). Hướng dẫn trả lời Ta có \(\overrightarrow {AD} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )\) \(\eqalign{ & \overrightarrow {BE} = {1 \over 2}(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} ) \cr & \overrightarrow {CF} = {1 \over 2}(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ) \cr} \) Do đó \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF} \) \(\eqalign{ & = {1 \over 2}\overrightarrow {BC} (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) + {1 \over 2}\overrightarrow {CA} (\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} ) + {1 \over 2}\overrightarrow {AB} (\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ) \cr & = {1 \over 2}(\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CB} )\cr & = {1 \over 2}(\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CB} ) + {1 \over 2}(\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BC} ) + {1 \over 2}(\overrightarrow {CA} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CA} ) = 0 \cr} \) (điều phải chứng minh) Bài 10 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho hai điểm \(M, N\) nằm trên đường tròn đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AM, BN\). a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI} \,\,;\,\,\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI}.\) b) Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} + \,\,\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} \) theo \(R\). Hướng dẫn trả lời a) Ta có \(\overrightarrow {AM} .\,\overrightarrow {AI} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} ).\,\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BM} .\,\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AI} \) ( vì \(\overrightarrow {BM} .\,\overrightarrow {AI} = 0\) ). Tương tự, \(\overrightarrow {BN} .\,\overrightarrow {BI} = (\overrightarrow {BA} + \,\overrightarrow {AN} ).\,\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BI} + \overrightarrow {AN} .\,\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BI} \) ( vì \(\overrightarrow {AN} .\,\overrightarrow {BI} = 0\) ). b) Theo câu a), \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI} \, + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI} \) \( = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {BI} ) = \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AB} = A{B^2} = 4{R^2}.\) Bài 11 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cắt nhau tại \(M\). Trên \(a\) có hai điểm \(A\) và \(B\), trên \(b\) có hai điểm \(C\) và \(D\) đều khác \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \,\,\). Chứng minh rằng bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn. Hướng dẫn trả lời Gọi \((O)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Gọi \(D'\) là giao điểm của \(b\) với \((O)\) ( \({D'} \ne C\)). Theo giả thiết ta có \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {M{D'}} \,\,\) \(\eqalign{ & \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {M{D'}} \cr & \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} (\overrightarrow {MD} - \overrightarrow {M{D'}} ) = 0 \cr & \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} .\,\overrightarrow {{D'}D} = 0\,\,\,\, \cr} \) \(\Rightarrow \,\overrightarrow {{D'}D} = 0\) (Do \(M, C, D, D'\) cùng thuộc đường thẳng b) \( \Rightarrow D \equiv {D'}\). Vậy bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn. Bài 12 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho đoạn thẳng \(AB\) cố định, \(AB = 2a\) và một số \({k^2}\). Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(M{A^2} - M{B^2} = {k^2}\). Hướng dẫn trả lời Gọi \(O\) là trung điểm đoạn \(AB, H\) là hình chiếu của \(M\) lên \(AB\). Ta có \(\eqalign{ & M{A^2} - M{B^2} = {k^2}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{\overrightarrow {MA} ^2} - {\overrightarrow {MB} ^2} = {k^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} ).\,(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} ) = {k^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MO} .\,\overrightarrow {BA} = {k^2}\, \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {HO} } \right).\overrightarrow {BA} \cr & .\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\overrightarrow {HO} .\,\overrightarrow {BA} = {k^2} \cr} \) ( Vì \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0 \)) Suy ra \(H\) cố định nằm trên tia \(OB\) và \(OH = {{{k^2}} \over {4a}}\). Do \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên \(AB\) nên tập hợp các điểm \(M\) là đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(H, H\) nằm trên tia \(OB\) sao cho \(OH = {{{k^2}} \over {4a}}\). Bài 13 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(\overrightarrow u = {1 \over 2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow v = k\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \). a) Tìm các giá trị của \(k\) để \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \); b) Tìm các giá trị của \(k\) để \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right|\). Hướng dẫn trả lời Ta có \(\overrightarrow u = ({1 \over 2}\,;\, - 5)\,;\,\,\,\overrightarrow v = (k\,;\, - 4)\,\). a) \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow u .\,\overrightarrow v = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,{1 \over 2}.k + ( - 5).( - 4) = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,k = - 40.\) b) \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right|\,\, \Leftrightarrow \,\,\sqrt {{1 \over 4} + 25} = \sqrt {{k^2} + 16} \,\, \Leftrightarrow \,\,{{101} \over 4} = {k^2} + 16\,\, \Leftrightarrow \,\,k = \pm {{\sqrt {37} } \over 2}\) Bài 14 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác \(ABC\) có các đỉnh \(A( - 4\,;\,1),\,B(2\,;\,4),\,C(2\,;\, - 2)\). a) Tính chu vi và diện tích của tam giác đó. b) Tìm tọa độ của trọng tâm \(G\), trực tâm \(H\) và tâm \(I\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Từ đó hãy kiểm tra tính chất thẳng hàng của ba điểm \(I, G, H\). Hướng dẫn trả lời a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = (6\,;\,3)\,,\,\,\overrightarrow {AC} = (6\,;\, - 3)\,,\,\,\overrightarrow {BC} = (0\,;\, - 6).\) Suy ra \(\eqalign{ & AB = \sqrt {{6^2} + {3^2}} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 \cr & AC = \sqrt {{6^2} + {{( - 3)}^2}} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 \cr & BC = \sqrt {{0^2} + {{( - 6)}^2}} = \sqrt {36} = 6 \cr} \) Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Chu vi tam giác \(ABC\) là \(3\sqrt 5 + 3\sqrt 5 + 6 = 6\sqrt 5 + 6\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) thì \(AM\) là đường cao của ta giác \(ABC\). Ta có \(M(2\,;\,1)\,,\,\,\overrightarrow {AM} = (6\,;\,0)\,\, \Rightarrow \,\,AM = \sqrt {{6^2} + 0} = 6\). Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = {1 \over 2}BC.AM = {1 \over 2}.6.6 = 18\) b) Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là \(\left\{ \matrix{ {x_G} = {1 \over 3}({x_A} + {x_B} + {x_C}) = {1 \over 3}( - 4 + 2 + 2) = 0 \hfill \cr {y_G} = {1 \over 3}({y_A} + {y_B} + {y_C}) = {1 \over 3}(1 + 4 - 2) = 1 \hfill \cr} \right.\,\) Vậy \(G\,(0\,;\,1)\). Gọi \(H\,({x_H}\,,\,{y_H})\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Ta có \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ \overrightarrow {AH} .\,\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {BH} .\,\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ ({x_H} + 4).0 + ({y_H} - 1).( - 6) = 0 \hfill \cr ({x_H} - 2).6 + ({y_H} - 4).( - 3) = 0 \hfill \cr} \right.\,\, \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ {x_H} = {1 \over 2}\hfill \cr {y_H} = 1 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(H\,\left( {{1 \over 2}\,;\,1} \right)\). Gọi \(I\,({x_I}\,,\,{y_I})\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Ta có \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ A{I^2} = B{I^2} \hfill \cr A{I^2} = C{I^2} \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ {({x_I} + 4)^2} + {({y_I} - 1)^2} = {({x_I} - 2)^2} + {({y_I} - 4)^2} \hfill \cr {({x_I} + 4)^2} + {({y_I} - 1)^2} = {({x_I} - 2)^2} + {({y_I} + 2)^2} \hfill \cr} \right. \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ {x_I}^2 + 8{x_I} + 16 + {y_I}^2 - 2{y_I} + 1 = {x_I}^2 - 4{x_I} + 4 + {y_I}^2 - 8{y_I} + 16 \hfill \cr {x_I}^2 + 8{x_I} + 16 + {y_I}^2 - 2{y_I} + 1 = {x_I}^2 - 4{x_I} + 4 + {y_I}^2 + 4{y_I} + 4 \hfill \cr} \right. \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ 4{x_I} + 2{y_I} = 1 \hfill \cr 4{x_I} - 2{y_I} = - 3 \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ {x_I} = - {1 \over 4} \hfill \cr {y_I} = 1 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(I\,( - {1 \over 4}\,;\,1)\). Khi đó, ta có \(\overrightarrow {IG} = \left( {{1 \over 4}\,;\,0} \right)\,,\,\,\,\overrightarrow {IH} = \left( {{3 \over 4}\,;\,0} \right)\). Do đó \(\overrightarrow {IG} = {1 \over 3}\overrightarrow {IH} \) , Suy ra \(I, G, H\) thẳng hàng.
