Bài 1 trang 69 SGK Hình học 10 nâng cao. Chứng minh các công thức sau a) \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = {1 \over 2}\left( {|\overrightarrow a {|^2} + |\overrightarrow b {|^2} - \overrightarrow {|a} - \overrightarrow b {|^2}} \right)\); b) \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = {1 \over 4}\left( {|\overrightarrow a + \overrightarrow b {|^2} - |\overrightarrow a - \overrightarrow b {|^2}} \right)\). Hướng dẫn trả lời a) Ta có \(|\overrightarrow a - \overrightarrow b {|^2} = {(\overrightarrow a - \overrightarrow b )^2} = |\overrightarrow a {|^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b + |\overrightarrow b {|^2}\) \( \Rightarrow \,\,\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = {1 \over 2}(|\overrightarrow a {|^2} + |\overrightarrow b {|^2} - |\overrightarrow a - \overrightarrow b {|^2})\) b) Ta có \(|\overrightarrow a + \overrightarrow b {|^2} - |\overrightarrow a - \overrightarrow b {|^2} = {(\overrightarrow a + \overrightarrow b )^2} - {(\overrightarrow a - \overrightarrow b )^2}\) \(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = (\overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow a + \overrightarrow b )(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow a - \overrightarrow b ) = 4.\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow b \cr & \Rightarrow \,\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = {1 \over 4}(|\overrightarrow a + \overrightarrow b {|^2} - |\overrightarrow a - \overrightarrow b {|^2}). \cr} \) Bài 2 trang 69 SGK Hình học 10 nâng cao. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). a) Chứng minh rằng với mọi điểm \(M\), ta luôn có \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\). b) Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2}\), trong đó \(k\) là một số cho trước. Hướng dẫn trả lời Ta có \(\eqalign{ & M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} \cr &= {(\overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GM} )^2} + {(\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GM} )^2} + {(\overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GM} )^2} \cr & = {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2} + 3{\overrightarrow {MG} ^2} - 2\overrightarrow {GM} (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) \cr &= 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} \cr} \) b) Áp dụng câu a), ta có \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2}\,\, \Leftrightarrow \,\,3M{G^2} = {k^2} - (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})\) +) Nếu \({k^2} > G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) thì tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(G\) bán kính \(\sqrt {{1 \over 3}\left[ {{k^2} - (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})} \right]} \). +) Nếu \({k^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) thì tập hợp các điểm \(M\) chỉ gồm một phần tử là \(G\). +) Nếu \({k^2} < G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) thì tập hợp điểm \(M\) là tập rỗng. Bài 3 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho hình bình hành \(ABCD\). Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {k^2}\), trong đó \(k\) là một số cho trước. Hướng dẫn trả lời Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\), ta có \(\eqalign{ & M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} + {\overrightarrow {MD} ^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OM} )^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} + O{D^2} + 4O{M^2} - 2\overrightarrow {OM} (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} ) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2(O{A^2} + O{B^2}) + 4O{M^2} \cr} \) Do đó \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {k^2}\,\, \Leftrightarrow \,\,\,4O{M^2} = {k^2} - 2(O{A^2} + O{B^2})\). +) Nếu \({k^2} > 2(O{A^2} + O{B^2})\) thì tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(\sqrt {{1 \over 4}\left[ {{k^2} - 2(O{A^2} + O{B^2})} \right]} \). +) Nếu \({k^2} = 2(O{A^2} + O{B^2})\) thì tập hợp các điểm \(M\) chỉ gồm một phần tử là \(O\). +) Nếu \({k^2} < 2(O{A^2} + O{B^2})\) thì tập hợp điểm \(M\) là tập rỗng. Bài 4 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao. Trên hình 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và A'B'C' có chung đỉnh A. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BB' và CC'. Chứng minh rằng a) \(AI \bot C{C'}\,,\,AJ \bot B{B'}\,\); b) \(B{C'}\,\, \bot {B'}C\,\,\). Giải Ta có \(\overrightarrow {AI} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{B'}} )\,\,;\,\,\overrightarrow {AJ} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{C'}} )\) \(\eqalign{ & \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AI} .\,\overrightarrow {C{C'}} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{B'}} ).\,(\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AC} ) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {AC} ) \cr} \) Vì \(AB \bot AC\,,\,\,A{B'} \bot A{C'}\,\) nên \(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {A{C'}} = 0\) Mặt khác \(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C'}} = AB.\,A{C'}.\cos \widehat {BA{C'}} \cr & \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {AC} = A{B'}.\,AC.\cos \widehat {{B'}AC} \cr & \Rightarrow \,\,\,\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C'}} = \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {AC} \,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AI} .\,\overrightarrow {C{C'}} = 0\,\, \Rightarrow \,\,AI \bot C{C'} \cr} \) Tương tự \(\overrightarrow {AJ} .\,\overrightarrow {B{B'}} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{C'}} ).\,(\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AB} )\) \(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {AB} ) =0\cr & \Rightarrow \,\,AJ \bot B{B'} \cr} \) b) Ta có \(\eqalign{ & \overrightarrow {B{C'}} .\,\overrightarrow {{B'}C} = (\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AB} ).\,(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {A{B'}} ) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}} \cr} \) \(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}} = AB.A{B'}.\cos \widehat {BA{B'}}\) \(\overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {A{C'}} = AC.A{C'}.\cos ({180^0} - \widehat {BA{B'}}) \) \(= - \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}}.\) Do đó: \(\overrightarrow {B{C'}} .\,\overrightarrow {{B'}C} =\overrightarrow 0\) Vậy \(B{C'} \bot {B'}C\). Bài 5 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi N là trung điểm của CD, M là điểm trên AC sao cho \(AM = {1 \over 4}AC.\) a)Tính các cạnh của tam giác BMN. b) Có nhận xét gì về tam giác BMN ? Tính diện tích tam giác đó. c) Gọi I là giao điểm của BN và AC. Tính CI. d) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN. Hướng dẫn trả lời a) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì M là trung điểm AO. \(\eqalign{ & B{N^2} = B{C^2} + N{C^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {a^2} + {{{a^2}} \over 4} = {{5{a^2}} \over 4}\,\, \Rightarrow \,\,BN = {{a\sqrt 5 } \over 2} \cr & B{M^2} = B{O^2} + O{M^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{{a\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{a\sqrt 2 } \over 4}} \right)^2} = {{5{a^2}} \over 8} \cr & \,\,\,\, \Rightarrow \,\,BM = {{a\sqrt {10} } \over 4} \cr} \) Kẻ MP // AD ta có \(M{N^2} = M{P^2} + P{N^2} = {\left( {{{3a} \over 4}} \right)^2} + {\left( {{a \over 4}} \right)^2} = {{10{a^2}} \over {16}}\,\,\) \(\Rightarrow \,\,MN = {{a\sqrt {10} } \over 4}\) b) Ta có \(MB = MN\,,\,\,B{N^2} = M{B^2} + M{N^2}\) nên tam giác BMN vuông cân tại M. Diện tích tam giác BMN là \({S_{BMN}} = {1 \over 2}M{N^2} = {1 \over 2}.{{10{a^2}} \over {16}} = {{5{a^2}} \over {16}}\) c) Ta có I là trọng tâm tam giác BCD nên \(IC = {2 \over 3}IO = {2 \over 3}.a.{{\sqrt 2 } \over 2} = {{a\sqrt 2 } \over 3}\). d) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN. Áp dụng định lí sin ta có \({{BN} \over {\sin \widehat {BDN}}} = 2R\,\, \Rightarrow \,\,R = \,{{BN} \over {2\sin {{45}^0}}} = {{a\sqrt 5 } \over 2}.{1 \over {\sqrt 2 }} = {{a\sqrt {10} } \over 4}\) Bài 6 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(\overrightarrow e = (4\,;\,1)\) và \(\overrightarrow f = (1\,;\,4)\). a) Tìm góc giữa các vec tơ \(\overrightarrow e \) và \(\overrightarrow f \). b) Tìm m để vec tơ \(\overrightarrow a = \overrightarrow e + m\overrightarrow f \) vuông góc với trục hoành. c) Tìm n để vec tơ \(\overrightarrow b = n\overrightarrow e + \overrightarrow f \) tạo với vec tơ \(\overrightarrow i + \overrightarrow j \) một góc \({45^0}\). Hướng dẫn trả lời a) Góc giữa các vectơ \(\overrightarrow e \) và \(\overrightarrow f \) \(\eqalign{ & \cos (\overrightarrow {e\,} \,,\,\overrightarrow f ) = {{\overrightarrow {e\,} .\,\overrightarrow f } \over {|\overrightarrow {e\,} |.\,|\overrightarrow {f|} }} = {{4.1 + 1.4} \over {\sqrt {{4^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {4^2}} }} = {8 \over {17}} \cr & \Rightarrow \,\,\,(\overrightarrow {e\,} \,,\,\overrightarrow f ) \approx {61^0}{56'} \cr} \) b) Ta có \(\overrightarrow a = \overrightarrow {e\,} + m\overrightarrow {f\,} = (4 + m\,;\,1 + 4m)\). \(\overrightarrow a = \overrightarrow e + m\overrightarrow f \) vuông góc với trục hoành \( \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow i = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,4 + m = 0\,\, \Leftrightarrow m = - 4\) . c) Ta có \(\eqalign{ & \,\,\overrightarrow b = n\overrightarrow e + \overrightarrow f = (4n + 1\,;\,n + 4)\,;\,\,\overrightarrow i + \overrightarrow j = (1\,;\,1) \cr & \,\,(\overrightarrow b \,;\,\overrightarrow i + \overrightarrow j ) = {45^0}\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\cos {45^0} = {{\overrightarrow b \,.\,(\,\overrightarrow i + \overrightarrow j )} \over {|\overrightarrow b \,|.\,|\,\overrightarrow i + \overrightarrow j |}} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,{{\sqrt 2 } \over 2} = {{(4n + 1) + (n + 4)} \over {\sqrt {{{(4n + 1)}^2} + {{(n + 4)}^2}} .\,\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,{(4n + 1)^2} + {(n + 4)^2} = {(5n + 5)^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,8{n^2} + 34n + 8 = 0\,\, \Rightarrow \,\,n = {{ - 1} \over 4}\,;\,\,n = - 4. \cr} \) Thử lại với \(n = - 4\) ta có \(\overrightarrow b = ( - 15\,;\,0)\). \(\cos (\overrightarrow b \,;\,\overrightarrow i + \overrightarrow j ) = {{ - 15} \over {15.\sqrt 2 }} = - {1 \over {\sqrt 2 }}\) (loại) Với \(n = {{ - 1} \over 4}\,\,;\,\,\overrightarrow b = \left( {0\,;\,{{15} \over 4}} \right)\) \(\cos (\overrightarrow b \,;\,\overrightarrow i + \overrightarrow j ) = {1 \over {\sqrt 2 }}\) (nhận). Vậy \(n = {{ - 1} \over 4}\). Bài 7 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là \({b^2} + {c^2} = 5{a^2}\) Hướng dẫn trả lời Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến BM, CN. Áp dụng công thức tính trung tuyến ta có \(\eqalign{ & G{B^2} = {4 \over 9}B{M^2} = {1 \over 9}(2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}) \cr & G{C^2} = {4 \over 9}C{N^2} = {1 \over 9}(2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}) \cr} \) Do đó \(BM \bot CN\,\, \Leftrightarrow \,\,B{G^2} + C{G^2} = B{C^2}\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \,\,{1 \over 9}(2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}) + {1 \over 9}(2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}) = {a^2} \cr & \Leftrightarrow \,\,4{a^2} + {b^2} + {c^2} = 9{a^2} \cr & \Leftrightarrow \,\,{b^2} + {c^2} = 5{a^2} \cr} \) Bài 8 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao. Trong các tam giác có hai cạnh là a và b, tìm tam giác có diện tích lớn nhất. Hướng dẫn trả lời Ta có diện tích tam giác ABC là \({S_{ABC}} = {1 \over 2}a.b.\sin C\). Mà \(\sin C \le 1\) nên \({S_{ABC}} \le {1 \over 2}a.b\). Do đó S lớn nhất khi \(\sin C = 1\), tức là tam giác ABC vuông tại C. Bài 9 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho tam giác ABC có \(a = 12,\,b = 16,\,c = 20\). Tính diện tích S, chiều cao \(h_a\), các bán kính R, r của đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác đó. Hướng dẫn trả lời Ta có \(p = {{a + b + c} \over 2} = {{12 + 16 + 20} \over 2} = 24\) Áp dụng công thức Hêrông, ta có \(\eqalign{ & S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt {24.12.8.4} = 96 \cr & S = {1 \over 2}a.{h_a}\,\,\, \Rightarrow {h_a} = {{2S} \over a} = {{2.96} \over {12}} = 16 \cr & S = {{abc} \over {4R}}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,R = {{abc} \over {4S}} = {{12.16.20} \over {4.96}} = 10 \cr & S = pr\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,r = {S \over p} = {{96} \over {24}} = 4 \cr} \) Bài 10 trang 71 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng a)\(\cot A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {4S}}\) ( S là diện tích tam giác ABC) ; b) \(\cot A + \cot B + \cot C = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}}\). Hướng dẫn trả lời a) Ta có \(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}}\,\,;\,\,\,\,S = {1 \over 2}bc.\sin A \cr & \Rightarrow \,\,\cot A = {{\cos A} \over {\sin A}} = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc.\sin A}} = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {4S}} \cr} \) b) Tương tự câu a), ta có \(\eqalign{ & \,\,\cot B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {4S}}\,\,;\,\,\,\,\cot C = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {4S}} \cr & \Rightarrow \,\,\cot A + \cot B + \cot C\cr& = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {4S}} + {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {4S}} + {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {4S}} \cr & = \,{{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}} \cr} \) Bài 11 trang 71 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho hai đường tròn \((O\,;\,R)\) và \(({O'}\,;\,{R'})\) cắt nhau tại hai điểm A và B. Trên đường thẳng AB, lấy điểm C ở ngoài hai đường tròn và kẻ hai tiếp tuyến CE, CF đến hai đường tròn đó ( E, F là các tiếp điểm). Chứng minh rằng CE = CF. Hướng dẫn trả lời Ta có \(\eqalign{ & \,\,\,\,\,{\wp _{{C_{/(O)}}}} = CA.CB = C{E^2} \cr & \,\,\,\,\,{\wp _{{C_{/({O\,'})}}}} = CA.CB = C{F^2} \cr & \Rightarrow \,\,\,CE = CF \cr} \) Bài 12 trang 71 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho đường tròn (O; R) và một điểm P cố định ở bên trong đường tròn đó. Hai dây cung thay đổi AB và CD luôn đi qua P và vuông góc với nhau. a) Chứng minh rằng \(A{B^2} + C{D^2}\) không đổi. b) Chứng minh rằng \(P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm P. Hướng dẫn trả lời a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD. Ta có \(OI \bot AB\,\,;\,\,OJ \bot CD\) Suy ra OIPJ là hình chữ nhật. Ta có \(\eqalign{ & A{B^2} + C{D^2} = 4(A{I^2} + C{J^2}) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4(O{A^2} - O{I^2} + C{O^2} - J{O^2}) \cr} \) \( = 4(2{R^2} - O{P^2})\) ( không đổi do cố định). b) Ta có \(\eqalign{ & P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2} \cr&= {(\overrightarrow {PA} - \overrightarrow {PB} )^2} + {(\overrightarrow {PC} - \overrightarrow {PD} )^2} + 2.\overrightarrow {PA} .\,\overrightarrow {PB} + 2\overrightarrow {PC} .\,\overrightarrow {PD} \cr & = A{B^2} + C{D^2} + 4(P{O^2} - {R^2}) \cr & = 4(2{R^2} - O{P^2}) + 4(P{O^2} - {R^2}) \cr & = 4{R^2} \cr} \) Vậy \(P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
Bài 1 trang 71 SGK Hình học 10 nâng cao. Giá trị \(\cos {45^0} + \sin {45^0}\) bằng bao nhiêu ? (A) 1 ; (B) \(\sqrt 2 \); (C) \(\sqrt 3 \); (D) 0. Hướng dẫn trả lời Ta có \(\cos {45^0} + \sin {45^0} = {{\sqrt 2 } \over 2} + {{\sqrt 2 } \over 2} = \sqrt 2 \). Chọn (B). Bài 2 trang 71 SGK Hình học 10 nâng cao. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng ? (A) \(\sin ({180^0} - \alpha ) = - \cos \alpha \); (B) \(\sin ({180^0} - \alpha ) = - \sin \alpha \); (C) \(\sin ({180^0} - \alpha ) = \sin \alpha \); (D) \(\sin ({180^0} - \alpha ) = \cos \alpha \). Trả lời Chọn (C). Bài 3 trang 71 SGK Hình học 10 nâng cao. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai ? (A) \(\sin {0^0} + \cos {0^0} = 0\); (B) \(\sin {90^0} + \cos {90^0} = 1\); (C) \(\sin {180^0} + \cos {180^0} = - 1\); (D) \(\sin {60^0} + \cos {60^0} = {{\sqrt 3 + 1} \over 2}\). Trả lời Ta có \(\sin {0^0} + \cos {0^0} = 1\) . Chọn (A). Bài 4 trang 71 SGK Hình học 10 nâng cao. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào không đúng ? (A) \({(\sin \alpha + \cos \alpha )^2} = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha \); (B) \({(\sin \alpha - \cos \alpha )^2} = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha \); (C) \({\cos ^4}\alpha - {\sin ^4}\alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha \); (D) \({\cos ^4}\alpha + {\sin ^4}\alpha = 1\). Trả lời Ta có \({\cos ^4}\alpha + {\sin ^4}\alpha = {({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha )^2} - 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \) \(= 1 - 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha. \) Chọn (D). Bài 5 trang 72 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP. Góc nào sau đây bằng \({120^0}\) ? (A) \((\overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {NP} )\); (B) \((\overrightarrow {MO} ,\,\overrightarrow {ON} )\); (C) \((\overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {OP} )\); (D) \((\overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {MP} )\). Hướng dẫn trả lời Vẽ \(\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {NP} \,\,;\,\,(\overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {NP} ) = (\overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {MQ} ) = {120^0}\). Chọn (A). Bài 6 trang 72 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai ? (A) \(\overrightarrow {MN} (\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PQ} ) = \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {PQ} \); (B) \(\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MN} = - \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP} \); (C) \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {MN} \); (D) \((\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {PQ} ).(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} ) = M{N^2} - P{Q^2}\). Trả lời Chọn (B). Bài 7 trang 72 SGK Hình học 10 nâng cao. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng ? (A) \(|\overrightarrow a .\,\overrightarrow b | = |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |\); (B) \(\sqrt {{{\overrightarrow a }^2}} = |\overrightarrow a |\); (C) \(\sqrt {{{\overrightarrow a }^2}} = \overrightarrow a \) ; (D) \(\overrightarrow a = \pm |\overrightarrow a |\). Trả lời Ta có \(\sqrt {{{\overrightarrow a }^2}} = \sqrt {|\overrightarrow a {|^2}} = |\overrightarrow a |\) . Chọn (B) Bài 8 trang 72 SGK Hình học 10 nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(\overrightarrow a = (3\,;\,4),\,\,\overrightarrow b = (4\,;\, - 3)\). Kết luận nào sau đây là sai ? (A) \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = 0\) (B) \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \); (C) \(|\overrightarrow a .\,\overrightarrow b | = 0\); (D) \(|\overrightarrow a |.|\overrightarrow b | = 0\). Hướng dẫn trả lời Ta có \(|\overrightarrow a |.|\overrightarrow b | = \sqrt {{3^2} + {4^2}} .\sqrt {{4^2} + {{( - 3)}^2}} = 25\). Chọn (D). Bài 9 trang 72 SGK Hình học 10 nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(\overrightarrow a = (9\,;\,3)\). Vectơ nào sau đây không vuông góc với vectơ \(\overrightarrow a \)? (A) \(\overrightarrow v \,(1\,;\, - 3)\); (B) \(\overrightarrow v \,(2\,;\, - 6)\); (C) \(\overrightarrow v \,(1\,;\,3)\); (D) \(\overrightarrow v \,( - 1\,;\,3)\). Hướng dẫn trả lời Ta có \(9.1 + 3.3 = 18 \ne 0\) nên \(\overrightarrow v \,(1\,;\,3)\) không vuông góc với \(\overrightarrow a = (9\,;\,3)\). Chọn (C). Bài 10 trang 72 SGK Hình học 10 nâng cao. Tam giác ABC có \(a = 14,\,b = 18,\,c = 20\). Kết quả nào sau đây là gần đúng nhất ? (A) \(\widehat B \approx {42^0}{50'}\); (B) \(\widehat B \approx {60^0}{56'}\); (C) \(\widehat B \approx {119^0}{04'}\); (D) \(\widehat B \approx {90^0}\). Hướng dẫn trả lời \(\eqalign{ & \cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} = {{{{14}^2} + {{20}^2} - {{18}^2}} \over {2.14.20}} \approx 0,49 \cr & \Rightarrow \,\,\widehat B = {60^0}{56'} \cr} \) Chọn (B). Bài 11 trang 73 SGK Hình học 10 nâng cao. Nếu tam giác MNP có \(MP = 5,\,PN = 8,\,\widehat {MPN} = {120^0}\) thì độ dài cạnh MN ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất ) là (A) \(11,4\); (B) \(12,4\); (C) \(7,0\); (D) \(12,0\) Hướng dẫn trả lời Ta có \(M{N^2} = M{P^2} + N{P^2} - 2.MP.NP.\cos \widehat {MPN} = 129\,\, \Rightarrow \,\,MN \approx 11,4.\) Chọn (A). Bài 12 trang 73 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho tam giác MPQ vuông tại P. Trên cạnh MQ lấy hai điểm E, F sao cho các góc MPE, EPF, FPQ bằng nhau. Đặt \(MP = q,\,PQ = m,\,PE = x,\,PF = y\) (h.64). Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng ? (A) \(ME = EF = FQ\); (B) \(M{E^2} = {q^2} + {x^2} - xq\); (C) \(M{F^2} = {q^2} + {y^2} - yq\); (D) \(M{Q^2} = {q^2} + {m^2} - 2qm\). Hướng dẫn trả lời Ta có \(M{F^2} = M{P^2} + F{P^2} - 2.MP.FP.\cos \widehat {MPF}\) \(= {q^2} + {y^2} - 2.q.y.\cos {60^0} = {q^2} + {y^2} - qy.\) Chọn (C). Bài 13 trang 73 SGK Hình học 10 nâng cao. Tam giác ABC có \(BC = 10,\,\widehat A = {30^0}\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bao nhiêu? (A) 5; (B) 10; (C) \({{10} \over {\sqrt 3 }}\); (D) \(10\sqrt 3 \). Hướng dẫn trả lời Ta có \({a \over {\sin A}} = 2R\,\,\, \Rightarrow \,R = {a \over {2\sin A}} = {{10} \over {2.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}{0^0}}} = 10\). Chọn (B). Bài 14 trang 73 SGK Hình học 10 nâng cao. Tam giác với ba cạnh là 5, 12 và 13 có diện tích bằng bao nhiêu ? (A) 30; (B) \(20\sqrt 2 \); (C) \(10\sqrt 3 \); (D) 20 Giải Ta có \({5^2} + {12^2} = {13^2}\) nên ABC là tam giác vuông . Do đó \({S_{ABC}} = {1 \over 2}.5.12 = 30\). Chọn (A). Bài 15 trang 73 SGK Hình học 10 nâng cao. Tam giác ABC có ba cạnh là 6, 10, 8. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu ? (A) \(\sqrt 3 \); (B) 4; (C) 2; (D) 1. Hướng dẫn trả lời Ta có \({6^2} + {8^2} = {10^2}\) nên ABC là tam giác vuông có cạnh huyền 10. \(S = {1 \over 2}.6.8 = 24\,\,\,;\,\,p = {{6 + 8 + 10} \over 2} = 12\,\,\,\,\) \(\Rightarrow \,\,r = {S \over p} = {{24} \over {12}} = 2\) Chọn (C). Bài 16 trang 73 SGK Hình học 10 nâng cao. Tam giác ABC có \(\widehat B = {60^0}\,,\,\widehat C = {45^0}\,,\,AB = 5\). Hỏi cạnh AC bằng bao nhiêu ? (A) \(5\sqrt 3 \); (B) \(5\sqrt 2 \); (C) \({{5\sqrt 6 } \over 2}\); (D) 10. Hướng dẫn trả lời Ta có \({b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = {5 \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{5^0}}} = 5\sqrt 2 \) \( \Rightarrow \,\,\,b = AC = 5\sqrt 2 .\sin {60^0} = {{5\sqrt 6 } \over 2}\). Chọn (C).
