Bài 1 trang 79 SGK Hình học 10 nâng cao. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? a) Đường thẳng song song với trục Ox có phương trình \(y = m(m \ne 0)\); b) Đường thẳng có phương trình \(x = {m^2} + 1\) song song với trục Oy; c) Phương trình \(y = kx + b\) là phương trình của đường thẳng; d) Mọi đường thẳng đều có phương trình dạng \(y = kx + b\) ; e) Đường thẳng đi qua hai điểm A(a, 0) và B(0, b) có phương trình \({x \over a} + {y \over b} = 1\) Giải a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai e) Sai Bài 2 trang 79 SGK Hình học 10 nâng cao. Viết phương trình tổng quát của: a) Đường thẳng Ox; b) Đường thẳng Oy; c) Đường thẳng đi qua \(M({x_0};{y_0})\) và song song với Ox; d) Đường thẳng đi qua \(M({x_0};{y_0})\) và vuông góc với Ox; e) Đường thẳng OM, với \(M({x_0};{y_0})\) khác điểm O. Giải a) Đường thẳng Ox đi qua O(0, 0) có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n (0;1)\) nên có phương trình tổng quát là: \(0.(x - 0) + 1.(y - 0) = 0 \Leftrightarrow y = 0\) b) Đường thẳng Oy đi qua O(0, 0) có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n (1;0)\) nên có phương trình tổng quát là: \(1.(x - 0) + 0.(y - 0) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) c) ) Đường thẳng đi qua \(M({x_0};{y_0})\) và song song với Ox có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n (0;1)\) nên có phương trình tổng quát là: \(0.(x - {x_0}) + 1.(y - {y_0}) = 0 \Leftrightarrow y - {y_0} = 0,({y_0} \ne 0)\) d) Đường thẳng đi qua \(M({x_0};{y_0})\) và vuông góc với Ox có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n (1;0)\) nên có phương trình tổng quát là: \(1.(x - {x_0}) + 0.(y - {y_0}) = 0 \Leftrightarrow x - {x_0} = 0,({x_0} \ne 0)\) e) \(\overrightarrow {OM} ({x_0};{y_0})\) nên đường thẳng OM có véc tơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow n ({y_0}; - {x_0})\) . Phương trình tổng quát của đường thẳng OM là: \({y_0}(x - 0) - {x_0}(y - 0) = 0 \Leftrightarrow {y_0}x - {x_0}y = 0\) Bài 3 trang 80 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB,BC,CA là \(\eqalign{ & AB:2x - 3y - 1 = 0; \cr & BC:x + 3y + 7 = 0; \cr & CA:5x - 2y + 1 = 0. \cr} \) Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B. Giải Hai đường thẳng AB,BC cắt nhau tại B nên tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình sau: \(\left\{ \matrix{ 2x - 3y - 1 = 0 \hfill \cr x + 3y + 7 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr y = - {5 \over 3} \hfill \cr} \right.\) Vậy \(B\left( { - 2; - {5 \over 3}} \right)\) Đường thẳng CA có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n (5; - 2)\) nên có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u (2;5)\) Đường cao kẻ từ đỉnh B vuông góc với CA nên nhận véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u (2;5)\) của CA làm véc tơ pháp tuyến. Phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B đi qua \(B\left( { - 2; - {5 \over 3}} \right)\) và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow u (2;5)\) là: \(2.(x + 2) + 5.\left( {y + {5 \over 3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y + {{37} \over 3} = 0\) Bài 4 trang 80 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho hai điểm \(P(4;0),Q(0; - 2)\) . a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A(3;2)\) và song song với đường thẳng PQ; b) Viết phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn thẳng PQ. Giải a) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm \(A(3;2)\) và song song với đường thẳng PQ \(\overrightarrow {PQ} \left( { - 4; - 2} \right)\) Gọi \(\overrightarrow n \) là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng PQ do đó: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow 0 \) Ta chọn \(\overrightarrow n (1; - 2)\) \(\Delta \) song song với đường thẳng PQ nên véc tơ pháp tuyến của đường thẳng PQ cũng là véc tơ pháp tuyến của \(\Delta \) Phương trình tổng quát của \(\Delta \) đi qua A(3, 2) và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n (1; - 2)\) là: \(1.(x - 3) - 2(y - 2) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 1 = 0\) b) Gọi \(I({x_I};{y_I})\) là trung điểm của PQ Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ sau: \(\left\{ \matrix{ {x_I} = {{{x_P} + {x_Q}} \over 2} \hfill \cr {y_I} = {{{y_P} + {y_Q}} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_I} = {{4 + 0} \over 2} \hfill \cr {y_I} = {{0 + ( - 2)} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_I} = 2 \hfill \cr {y_I} = - 1 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(I(2; - 1)\) Gọi d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng PQ Vì d là đường thẳng trung trực của PQ nên d đi qua trung điểm I của đoạn thẳng PQ và vuông góc với PQ Phương trình đường thẳng d đi qua I(-2, 1) và nhận \(\overrightarrow {PQ} \left( { - 4; - 2} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến là: \( - 4.(x - 2) - 2.(y + 1) = 0 \Leftrightarrow - 4x - 2y + 6 = 0\) \(\Leftrightarrow 2x + y - 3 = 0\) Bài 5 trang 80 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho đường thẳng d có phương trình x - y = 0 và điểm M(2, 1) a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua điểm M. b) Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d. Giải a) Đường thẳng d qua O(0, 0) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right)\) . Gọi \(N\left( {{x_N};{y_N}} \right)\) là điểm đối xứng của O qua M thì M là trung điểm của ON, ta có: \(\left\{ \matrix{ {x_M} = {{{x_O} + {x_N}} \over 2} \hfill \cr {y_M} = {{{y_O} + {y_N}} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_N} = 2{x_M} - {x_O} = 4 \hfill \cr {y_N} = 2{y_M} - {y_O} = 2 \hfill \cr} \right.\) Vậy N(4, 2) Đường thẳng đối xứng với d qua M là đường thẳng đi qua N(4, 2) và song song với d nên có phương trình tổng quát là: \(1.\left( {x - 4} \right) - 1.\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - 2 = 0.\) b) Gọi d’ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với d thì d’ có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow m = \left( {1;1} \right)\) do đó d’ có phương trình tổng quát là: \(1.\left( {x - 2} \right) + 1.\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\) Hình chiếu M’ của M trên d có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ x - y = 0 \hfill \cr x + y - 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {3 \over 2} \hfill \cr y = {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\) Vậy \(M'\left( {{3 \over 2};{3 \over 2}} \right)\) Bài 6 trang 80 SGK Hình học 10 Nâng cao. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có) của chúng a) \(2x - 5y + 3 = 0\) và \(5x + 2y - 3 = 0\) ; b) \(x - 3y + 4 - 0\) và \(0,5x - 1,5y + 4 = 0\) ; c) \(10x + 2y - 3 = 0\) và \(5x + y - 1,5 = 0.\) Giải a) Ta có: \({2 \over 5} \ne - {5 \over 2}\) nên hai đường thẳng đã cho cắt nhau và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ 2x - 5y = - 3 \hfill \cr 5x + 2y = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {9 \over {29}} \hfill \cr y = {{21} \over {29}} \hfill \cr} \right.\) Vậy giao điểm của hai đường thẳng là \(A\left( {{9 \over {29}};{{21} \over {29}}} \right)\) b) Ta có: \({1 \over {0,5}} = - {3 \over { - 1,5}} \ne {4 \over 4}\) nên hai đường thẳng đã cho song song. c) Ta có: \({{10} \over 5} = {2 \over 1} = {{ - 3} \over { - 1,5}}\) nên hai đường thẳng đã cho trùng nhau.
