Hình học 10 nâng cao - Chương 3 - Ôn tập chương III – Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 1 trang 118 SGK Hình học 10 nâng cao. Xét vị trí tương đối của các đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau
    a) \({\Delta _1}:3x - 2y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}:2x + 3y - 5 = 0;\)
    b)
    \({\Delta _1}:\left\{ \matrix{
    x = 4 + 2t \hfill \cr
    y = - 1 + t \hfill \cr} \right.\)

    \({\Delta _2}:\left\{ \matrix{
    x = 7-{4t'} \hfill \cr
    y = 5-{2 t'} \hfill \cr} \right.\)
    c)
    \({\Delta _1}:\left\{ \matrix{
    x = 3 + 4t \hfill \cr
    y = - 2 - 5t \hfill \cr} \right.\)
    và \({\Delta _2}:5x + 4y - 7 = 0.\)
    Giải
    a) Ta có \({3 \over 2} \ne \, - {2 \over 3}\) nên \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.
    b) Phương trình tổng quát của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là
    \(\eqalign{
    & {\Delta _1}\,\,:\,\,x - 2y - 6 = 0 \cr
    & {\Delta _2}\,\,:\,x - 2y + 3 = 0 \cr} \)
    Ta có \({1 \over 1} = {{ - 2} \over { - 2}} \ne {{ - 6} \over 3}\) nên \({\Delta _1}\) // \({\Delta _1}\)
    c) Phương trình tổng quát của \({\Delta _1}\) là \(5x + 4y - 7 = 0\) . Do đó \({\Delta _1} \equiv {\Delta _2}\)



    Bài 2 trang 118 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + 2 = 0.\)
    a) Viết phương trình của Δ dưới dạng tham số.
    b) Viết phương trình của Δ dưới dạng phương trình theo đoạn chắn.
    c) Tính khoảng cách từ mỗi điểm \(M(3;5),N( - 4;0),P(2;1)\) tới Δ và xét xem đường thẳng cắt cạnh nào của tam giác MNP.
    d) Tính góc hợp bởi Δ và mỗi trục tọa độ.
    Giải
    a) Δ có vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (3\,;\, - 4)\)nên có vec tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {4;3} \right)\).
    Δ đi qua điểm \(A\left( {0\,;\,{1 \over 2}} \right)\) . Vậy Δ có phương trình tham số là
    \(\left\{ \matrix{
    x = 4t \hfill \cr
    y = {1 \over 2} + 3t \hfill \cr} \right.\)
    b) Ta có
    \(3x - 4y + 2 = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,3x - 4y = - 2\)
    \(\Leftrightarrow \,\,{x \over { - {2 \over 3}}} + {y \over {{1 \over 2}}} = 1\)
    c) Ta có
    \(\eqalign{
    & d(\,M\,;\,\Delta ) = {{|3.3 - 4.5 + 2|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = {9 \over 5} \cr
    & d(\,N\,;\,\Delta ) = {{| - 12 + 2|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = {{10} \over 5} = 2 \cr
    & d(\,P\,;\,\Delta ) = {{|6 - 4 + 2|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = {4 \over 5} \cr} \)
    M và N cùng phía đối với đường thẳng Δ còn P nằm khác phía nên Δ không cắt MN, Δ cắt MP và NP.
    d) Đường thẳng Ox có phương trình y = 0, α là góc giữa α với Ox thì
    \(\cos \alpha = {{|3.0 - 4.1|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = {4 \over 5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\alpha \approx {36^0}52'\)
    Phương trình đường thẳng Oy là x = 0, \(\beta \) là góc giữa Δ với Oy ta có
    \(\cos \beta = {{|3.1 - 4.0|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = {3 \over 5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\beta \approx {53^0}7'\)



    Bài 3 trang 118 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho đường thẳng \(d:x - y + 2 = 0\) và điểm A(2, 0)
    a) Với điều kiện nào của x và y thì điểm M(x, y) thuộc nửa mặt phẳng có bờ d và chứa gốc tọa độ O? Chứng minh điểm A nằm trong nửa mặt phẳng đó.
    b) Tìm điểm đối xứng với điểm O qua đường thẳng d.
    c) Tìm điểm M trên d sao cho chu vi tam giác OMA nhỏ nhất.
    Giải
    [​IMG]
    a) Điểm M và O nằm cùng phía đối với d khi và chỉ khi
    \((x - y + 2).(0 - 0 + 2) > 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x - y + 2 > 0\)
    Ta có : \({x_A} - {y_A} + 2 = 2 - 0 + 2 = 4 > 0\) , do đó A nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là d và chứa O.
    b) Gọi d’ là đường thẳng qua O và vuông góc với d thì phương trình tổng quát của d’ là \(d’: x+y=0\). Gọi H là hình chiếu của O lên d thì tọa độ H là nghiệm của hệ:
    \(\left\{ \matrix{
    x - y = - 2 \hfill \cr
    x + y = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
    x = - 1 \hfill \cr
    y = 1 \hfill \cr} \right.\)
    Vậy \(H(-1, 1)\)
    Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua d thì H là trung điểm của OO’ do đó
    \(\left\{ \matrix{
    {x_H} = {{{x_O} + {x_{O'}}} \over 2} \hfill \cr
    {y_H} = {{{y_O} + {y_{O'}}} \over 2} \hfill \cr} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \matrix{
    {x_{O'}} = 2{x_H} - {x_O} = - 2 \hfill \cr
    {y_{O'}} = 2{y_H} - {y_O} = 2 \hfill \cr} \right.\)
    Vậy \(O'(-2, 2)\)
    c) OA không đổi nên chu vi tam giác AMO nhỏ nhất khi tổng MO+MA nhỏ nhất.
    Ta có: \(MO = MO'\Rightarrow \,\,\,MO + MA = MO' + MA \ge \,AO'\)
    \( \Rightarrow \,\,MO + MA\) nhỏ nhất khi A, M, O’ thẳng hàng , khi đó M là giao điểm của d với đường thẳng O’A.
    Phương trình O’A :
    \(\eqalign{
    & {{x - {x_A}} \over {{x_{O'}} - {x_A}}} = {{y - {y_A}} \over {{y_{O'}} - {y_A}}} \cr
    & {{x - 2} \over { - 2 - 2}} = {{y - 0} \over {2 - 0}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x + 2y - 2 = 0 \cr} \)
    Tọa độ M là nghiệm của hệ:
    \(\left\{ \matrix{
    x - y = - 2 \hfill \cr
    x + 2y = 2 \hfill \cr} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
    x = - {2 \over 3} \hfill \cr
    y = {4 \over 3} \hfill \cr} \right.\,\,\)
    Vậy \(M\left( { - {2 \over 3}\,;\,{4 \over 3}} \right)\)



    Bài 4 trang 118 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và điểm \(I({x_0};{y_0}).\)Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng Δ qua I.
    Giải
    Đường thẳng Δ' đối xứng với đường thẳng Δ qua I thì Δ // Δ' do đó phương trình tổng quát của Δ' có dạng \(ax + by + c' = 0\,\,(c' \ne c)\).Ta có
    [​IMG]
    Loại trường hợp \(c=c’\).
    Vậy \(\Delta '\,\,:ax + by - c - 2(a{x_o} + b{y_o} + c) = 0\)



    Bài 5 trang 118 SGK Hình học 10 nâng cao. Một hình bình hành có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng x + 3y - 6 = 0 và 2x - 5y - 1 = 0. Biết hình bình hành đó có tâm đối xứng là I(3, 5). Hãy viết phương trình hai cạnh còn lại của hình bình hành đó.
    Giải
    [​IMG]
    Giả sử hình bình hành ABCD có tâm I
    \(\eqalign{
    & AB:\,\,x + 3y - 6 = 0 \cr
    & AD:\,\,2x - 5y - 1 = 0 \cr} \)
    Tọa độ của A là nghiệm của hệ
    \(\left\{ \matrix{
    x + 3y - 6 = 0 \hfill \cr
    2x - 5y - 1 = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
    x = 3\, \hfill \cr
    y = 1 \hfill \cr} \right.\)
    Vậy \(A(3 ; 1)\).
    I là trung điểm của AC nên
    \(\left\{ \matrix{
    {x_I} = {1 \over 2}({x_A} + {x_C}) \hfill \cr
    {y_I} = {1 \over 2}({y_A} + {y_C}) \hfill \cr} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
    {x_C} = 2{x_I} - {x_A} = 3 \hfill \cr
    {y_C} = 2{y_I} - {y_A} = 9 \hfill \cr} \right.\)
    Vậy \(C(3 ; 9)\).
    BC là đường thẳng qua C và song song với AD nên BC có phương trình:
    \(2(x - 3) - 5(y - 9) = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,2x - 5y + 39 = 0\)
    CD là đường thẳng qua C và song song với AB nên CD có phương trình:
    \(1(x - 3) + 3(y - 9) = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,x + 3y - 30 = 0\)
    Vậy hai cạnh còn lại của hình bình hành là
    \(2x - 5y + 39 = 0\) và \(x + 3y - 30 = 0\)



    Bài 6 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho phương trình
    \({x^2} + {y^2} + mx - 2(m + 1)y + 1 = 0.\,\,\,\,\,(1)\)
    a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn?
    b) Tìm tập hợp tâm của các đường tròn nói ở câu a).
    Giải
    a) Ta có: \(2a = m\,,\,2b = - 2(m + 1)\,,\,\,c = 1\)
    \(\Rightarrow \,\,a = {m \over 2}\,,\,\,b = - (m + 1)\,,\,\,c = 1\)
    (1) là đường tròn \( \Leftrightarrow \,\,{a^2} + {b^2} - c > 0\,\, \Leftrightarrow \,\,{{{m^2}} \over 4} + {(m + 1)^2} - 1 > 0\)
    \( \Leftrightarrow \,\,{5 \over 4}{m^2} + 2m > 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \matrix{
    m < - {8 \over 5}\, \hfill \cr
    m > 0 \hfill \cr} \right.\,\,\)
    b) Với điều kiện \(m < - {8 \over 5}\) hoặc m > 0 thì (1) là phương trình đường tròn có tâm \(I\left( { - {m \over 2}\,;\,m + 1} \right)\) .
    Ta có tọa độ của I
    \(\left\{ \matrix{
    x = - {m \over 2} \hfill \cr
    y = m + 1 \hfill \cr} \right.\)
    Khử m từ hoành độ và tung độ của I ta được \(2x + y - 1 = 0\) vì \(m < - {8 \over 5}\) hoặc m > 0 nên \(x = - {m \over 2} > {4 \over 5}\) hoặc \(x < 0\) .
    Vậy tập hợp tâm I của đường tròn là
    \(\left\{ \matrix{
    2x + y - 1 = 0 \hfill \cr
    \left[ \matrix{
    x < 0 \hfill \cr
    x > {4 \over 5} \hfill \cr} \right.\, \hfill \cr} \right.\)



    Bài 7 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao.
    a) Biết đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0.\) Chứng minh rằng phương tích của điểm \(M({x_0};{y_0})\) đối với đường tròn (C) bằng \(x_0^2 + y_0^2 + 2a{x_0} + 2b{y_0} + c.\)
    b) Chứng minh rằng nếu hai đường tròn không đồng tâm thì tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn là một đường thẳng (gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn).
    Giải
    a) Đường tròn (C) có tâm I(-a, -b) ,bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)
    Phương tích của điểm \(M({x_0};{y_0})\) đối với đường tròn (C) là
    \(\eqalign{
    & {\wp _{{M_{{/_{(C)}}}}}} = M{I^2} - {R^2} \cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= {({x_o} + a)^2} + {({y_o} + b)^2} - ({a^2} + {b^2} - c) \cr
    & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = x_o^2 + y_o^2 + 2a{x_o} + 2b{y_o} + c \cr} \)
    b) Cho hai đường tròn không đồng tâm
    \(\eqalign{
    ({C_1})\, & & :\,\,{x^2} + {y^2} + 2{a_1}x + 2{b_1}y + {c_1} \cr
    ({C_2})\, & & :\,\,{x^2} + {y^2} + 2{a_2}x + 2{b_2}y + {c_2} \cr} \)
    Gọi \(M({x_0};{y_0})\) là điểm có cùng phương tích đối với \(({C_1})\) và \(({C_2})\) thì
    \(\eqalign{
    & \,\,\,\,\,\,\,x_o^2 + y_o^2 + 2{a_1}{x_o} + 2{b_1}{y_o} + {c_1} = x_o^2 + y_o^2 \cr&+ 2{a_2}{x_o} + 2{b_2}{y_o} + {c_2} \cr
    & \Leftrightarrow \,\,2({a_1} - {a_2}){x_o} + 2({b_1} - {b_2}){y_o} + {c_1} - {c_2} = 0\,\,\,(1) \cr} \)
    Vì \(({C_1})\) và \(({C_2})\) không đồng tâm nên \({a_1} - {a_2}\) và \({b_1} - {b_2}\) không đồng thời bằng 0 ( tức \({({a_1} - {a_2})^2} + {({b_1} - {b_2})^2} \ne 0\))
    Do đó \(M({x_0};{y_0})\) nằm trên đường thẳng có phương trình:
    \(\Delta \,\,:\,\,2({a_1} - {a_2})x + 2({b_1} - {b_2})y + {c_1} - {c_2} = 0\)
    Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng Δ .



    Bài 8 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho hai đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} + 2{a_1}x + 2{b_1}y + {c_1} = 0\) và \({x^2} + {y^2} + 2{a_2}x + 2{b_2}y + {c_2} = 0.\) Giả sử chúng cắt nhau ở hai điểm M,N. Viết phương trình đường thẳng MN.
    Giải
    Hai đường tròn cắt nhau tại M, N thì trục đẳng phương của chùng chính là đường thẳng MN.
    Áp dụng bài 7 thì MN có phương trình là
    \(MN\,:\,\,2({a_1} - {a_2})x + 2({b_1} - {b_2})y + {c_1} - {c_2} = 0\)



    Bài 9 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho đường tròn \((C):\,\,{x^2} + {y^2} = 4\) và điểm A(-2, 3)
    a) Viết phương trình của các tiếp tuyến của (C) kể từ A.
    b) Tính các khoảng cách từ A đến tiếp điểm của hai tiếp tuyến nói ở câu a) và khoảng cách giữa hai tiếp điểm đó.
    Giải
    [​IMG]
    Đường tròn (C) có tâm O(0 ; 0), bán kính R=2.
    a) Đường thẳng Δ qua A có dạng
    \(\eqalign{
    & a(x + 2) + b(y - 3) = 0 \cr
    & \Leftrightarrow \,ax + by + 2a - 3b = 0 \cr} \)
    Δ là tiếp tuyến của (C)
    \(\eqalign{
    & \Leftrightarrow \,\,d(O\,;\,\Delta ) = R\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{{|2a - 3b|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2 \cr
    & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{(2a - 3b)^2} = 4({a^2} + {b^2}) \cr
    & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,5{b^2} - 12ab = 0 \cr
    & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,b(5b - 12a) = 0\cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\left[ \matrix{
    b = 0 \hfill \cr
    12a = 5b \hfill \cr} \right. \cr} \)
    Với b = 0, chọn a = 1 ta có tiếp tuyến \({\Delta _1}\,\,:\,\,x + 2 = 0\)
    Với \(12a=5b\), chọn \(a=5, b=12\) ta có tiếp tuyến \({\Delta _2}:\,\,5x + 12y - 26 = 0\)
    b) Gọi T, T’ là tiếp điểm của \({\Delta _1}\,,\,{\Delta _2}\) với (C) . Ta có
    \(AT = AT' = \sqrt {A{O^2} - {R^2}} = \sqrt {13 - 4} = 3\)
    Gọi H là giao điểm của TT’ và AO, TH là đường cao của tam giác vuông ATO, ta có
    \(\eqalign{
    & {1 \over {T{H^2}}} = {1 \over {A{T^2}}} + {1 \over {T{O^2}}} = {1 \over 9} + {1 \over 4} = {{13} \over {36}} \cr
    & \Rightarrow \,\,TH = {6 \over {\sqrt {13} }}\,\, \Rightarrow \,\,\,TT' = 2TH = {{12} \over {\sqrt {13} }} \cr} \)



    Bài 10 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho \((E):{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1\) và hypebol \((H):{{{x^2}} \over 5} - {{{y^2}} \over 4} = 1.\)
    a) Tìm tọa độ các tiêu điểm của (E) và (H).
    b) Vẽ phác elip (E) và hypebol (H) trong cùng một hệ trục tọa độ.
    c) Tìm tọa độ các giao điểm của (E) và (H).
    Giải
    a) Với \((E):{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1\) ta có \(a = \sqrt 5 \,,\,\,b = 2\,\,\, \Rightarrow \,c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 1\)
    Tọa độ các tiêu điểm của (E) là \({F_1}( - 1\,;\,0)\,,\,\,{F_2}(1\,;\,0)\)
    Với (H) : \({{{x^2}} \over 5} - {{{y^2}} \over 4} = 1\) , ta có \(a = \sqrt 5 \,,\,b = 2\,,\,\,c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 3\)
    Tọa độ các tiêu điểm của (H) là \({F_1}( - 3\,;\,0)\,,\,\,{F_2}(3\,;\,0)\)
    b) Vẽ (E) và (H).
    [​IMG]
    c) Tọa độ giao điểm của (E) và (H) là nghiệm của hệ phương trình
    \(\left\{ \matrix{
    {{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \hfill \cr
    {{{x^2}} \over 5} - {{{y^2}} \over 4} = 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
    {x^2} = 5 \hfill \cr
    {y^2} = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
    x = \pm \sqrt 5 \hfill \cr
    y = 0 \hfill \cr} \right.\)
    Vậy tọa đô giao điểm của (E) và (H) là \(\left( {\sqrt 5 \,;\,0} \right)\) và \(\left( -{\sqrt 5 \,;\,0} \right)\) .



    Bài 11 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao. Cho đường thẳng \(\Delta :2x - y - m = 0\) và elip \((E):{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1.\)
    a) Với giá trị nào của m thì Δ cắt (E) tại hai điểm phân biệt?
    b) Với giá trị nào của m thì Δ cắt (E) tại một điểm duy nhất?
    Giải
    Tọa độ giao điểm của Δ và (E) là nghiệm của hệ
    \(\left\{ \matrix{
    2x - y - m = 0 \hfill \cr
    {{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \hfill \cr} \right.\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    y = 2x - m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr
    {{{x^2}} \over 5} + {{{{(2x - m)}^2}} \over 4} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\)
    Ta có (2) \( \Leftrightarrow \,\,4{x^2} + 5(4{x^2} - 4mx + {m^2}) = 20\)
    \( \Leftrightarrow \,\,24{x^2} - 20mx + 5{m^2} - 20 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)\)
    a) Δ cắt (E) tại hai điểm phân biệt
    ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt
    \(\eqalign{
    & \Leftrightarrow \,\Delta ' = 100{m^2} - 24(5{m^2} - 20) > 0 \cr
    & \Leftrightarrow \,\, - 20{m^2} + 480 > 0 \cr
    & \Leftrightarrow \,\,|m| < 2\sqrt 6 \cr
    & \Leftrightarrow \,\, - 2\sqrt 6 < m < 2\sqrt 6 \cr} \)
    b) Δ cắt (E) tại một điểm duy nhất \( \Leftrightarrow \,\,m = \pm 2\sqrt 6 \)



    Bài 12 trang 119 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho elip \((E):{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1.\)
    a) Xác định tọa độ hai tiêu điểm và các đỉnh của (E).
    b) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) nhận các tiêu điểm của (E) làm đỉnh và có hai tiêu điểm là hai đỉnh của elip (E).
    c) Vẽ phác elip (E) và hypebol (H) nói ở câu b) trong cùng một hệ trục tọa độ.
    d) Viết phương trình của đường tròn đi qua các giao điểm của hai đường cônic nói trên.
    Giải
    a) Ta có: \(a = 5\,,\,\,\,b = 3\,,\,\,c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 4\)
    Tọa độ các tiêu điểm của (E) là \({F_1}\,( - 4\,;\,0)\,,\,\,{F_2}\,(4\,;\,0)\) .
    Tọa độ các đỉnh của (E) là \({A_1}( - 5\,;\,0)\,,\,\,{A_2}(5\,;\,0)\,,\,\,{B_1}(0\,;\, - 3)\,,\,\,{B_2}(0\,;\,3)\) .
    b) (H) nhận (-4, 0) và (4, 0) làm đỉnh thì \(a=4\).
    (H) nhận (-5, 0) và (5, 0) làm tiêu điểm thì có \(c=5\).
    \( \Rightarrow \,\,{b^2} = {c^2} - {a^2} = 25 - 16 = 9\,\,\, \Rightarrow \,\,\,b = 3\)
    Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là : \({{{x^2}} \over {16}} - {{{y^2}} \over 9} = 1\)
    c) Vẽ (E) và (H).
    [​IMG]
    d) Tọa độ giao điểm của (E) và (H) là nghiệm của hệ phương trình
    \(\left\{ \matrix{
    {{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1 \hfill \cr
    {{{x^2}} \over {16}} - {{{y^2}} \over 9} = 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
    {x^2} = {{800} \over {41}} \hfill \cr
    {y^2} = {{81} \over {41}} \hfill \cr} \right.\)
    Vậy (E) và (H) cắt nhau tại 4 điểm có tọa độ thỏa phương trình \({x^2} + {y^2} = {{881} \over {41}}\)
    Vậy đường tròn đi qua các giao điểm của (E) và (H) có phương trình là \({x^2} + {y^2} = {{881} \over {41}}\)



    Bài 13 trang 120 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho parabol \((P):{y^2} = 2px.\) Với mỗi điểm M trên (P) (M khác O), gọi M’ là hình chiếu của M trên Oy và I là trung điểm của đoạn OM’. Chứng minh rằng đường thẳng IM cắt parabol đã cho tại một điểm duy nhất.
    Giải
    [​IMG]
    Giả sử \(M({x_o}\,;\,{y_o})\,\, \in \,\,\,(P)\) ta có \(y_o^2 = 2p{x_o}\,({x_o} \ne 0)\) . M’ là hình chiếu của M trên Oy nên \(M'(0\,;\,{y_o})\) , khi đó \(I\left( {0\,;\,{{{y_o}} \over 2}} \right)\,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow {IM} = \left( {{x_o}\,;\,{{{y_o}} \over 2}} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng IM.
    Phương trình tham số của IM là
    \(\left\{ \matrix{
    x = {x_o}.t \hfill \cr
    y = {{{y_o}} \over 2} + {{{y_o}} \over 2}.t \hfill \cr} \right.\)
    Thay x, y trong phương trình tham số của IM vào phương trình của (P) ta được
    \({{y_o^2} \over 4}(1 + {t^2}) = 2p{x_o}t\)
    mà \(2p{x_o} = y_o^2\) nên \(y_o^2(1 + {t^2}) = 4y_o^2t\,\,\, \Leftrightarrow \,\,(1 + {t^2}) = 4t\,\,\) ( do \({y_o} \ne 0\))
    \(\eqalign{
    & \,\, \Leftrightarrow \,\,{(t - 1)^2} = 0\,\,\, \cr
    & \,\, \Leftrightarrow \,t = 1 \cr} \)
    Vậy IM cắt (P) tại điểm duy nhất \(M({x_o}\,;\,{y_o})\,\).



    Bài 14 trang 120 SGK Hình học 10 Nâng cao. Cho parabol \((P):{y^2} = {1 \over 2}x.\) Gọi M,N là hai điểm di động trên (P) sao cho \(OM \bot ON\) (M,N không trùng với O). Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
    Giải
    Giả sử \(M(2y_1^2\,;\,{y_1})\,\, \in \,\,(P)\,,\,\,N(2y_2^2\,;\,{y_2})\,\, \in \,\,(P)\) trong đó \({y_1},\,{y_2}\, \ne 0\) và \({y_1} \ne \,{y_2}\) vì \(\overrightarrow {OM} .\,\overrightarrow {ON} = 0\) nên \(4y_1^2y_2^2 + {y_1}{y_2} = 0\)
    suy ra \(4{y_1}{y_2} + 1 = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{y_1}{y_2} = - {1 \over 4}\)
    Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {2y_2^2 - 2y_1^2\,;\,{y_2} - {y_1}} \right) \)
    \(= \left( {{y_2} - {y_1}} \right).\left( {2{y_2} + 2{y_1}\,;\,1} \right)\)
    Vì \({y_1} \ne \,{y_2}\) nên vec tơ chỉ phương của đường thẳng MN là \((2{y_1} + 2{y_2}\,;\,1)\) .
    Do đó vec tơ pháp tuyến của MN là \(\overrightarrow n = (1\,;\, - 2{y_1} - 2{y_2})\)
    Phương trình tổng quát của MN là
    \(1.(x - 2y_1^2) - (2{y_1} + 2{y_2}).(y - {y_1}) = 0\)
    Tìm giao điểm của MN với trục hoành bằng cách thay \(y=0\) vào (*) ta được
    \(x - 2y_1^2 + 2y_1^2 + 2{y_1}{y_2} = 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x = {1 \over 2}\)
    Vậy MN đi qua điểm \(\left( {{1 \over 2}\,;\,0} \right)\) cố định.