Bài 1 trang 53 sách giáo khoa hình học lớp 11. Cho điểm \(A\) không nằm trong mặt phẳng \((α)\) chứa tam giác \(BCD\). Lấy \(E,F\) là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh \(AB, AC\) a) Chứng minh đường thẳng \(EF\) nằm trong mặt phẳng \((ABC)\) b) Khi \(EF\) và \(BC\) cắt nhau tại \(I\), chứng minh \(I\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((BCD)\) và \((DEF)\) Lời giải: a) \(E, F ∈ (ABC) \Rightarrow EF ⊂ (ABC)\) b) \(I ∈ EF \Rightarrow I ∈ ( DEF)\) \(I\in BC\Rightarrow I\in(BCD)\) Do đó \(I\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((BCD)\) và \((DEF)\). Bài 2 trang 53 sách giáo khoa hình học lớp 11. Gọi \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((α )\). Chứng minh \(M\) là điểm chung của \((α )\) với một mặt phẳng bất kì chứa \(d\) Lời giải: Hiển nhiên \(M ∈ (α )\) , Gọi \((β)\) là mặt phẳng bất kì chứa \(d\), ta có \(\left\{ \matrix{ M \in d \hfill \cr d \subset (\beta ) \hfill \cr} \right. \Rightarrow M \in (\beta )\) Vậy \(M\) là điểm chung của \((α )\) và mọi mặt phẳng \((β)\) chứa \(d\). Bài 3 trang 53 sách giáo khoa hình học lớp 11. Cho ba đường thẳng \({d_{1,}}{d_2},{d_3}\) không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy. Lời giải: Gọi \({d_{1,}}{d_2},{d_3}\) là ba đường thẳng đã cho. Gọi \(I =d_1\cap d_2\) Ta chứng minh \(I ∈ d_3\) \(I ∈ d_1\Rightarrow I ∈ (β) = (d_1,d_3)\) \(I ∈ d_2\Rightarrow I ∈ (\gamma) = (d_2,d_3)\) Từ đó suy ra, \(I ∈(\beta ) \cap (\gamma )=d_3\). Bài 4 trang 53 sách giáo khoa hình học lớp 11. Cho bốn điểm \(A, B, C\) và \(D\) không đồng phẳng. Gọi \({G_{A}}^{}\), \({G_{B}}^{}\), \({G_{C},{G_{D}}^{}}^{}\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(BCD, CDA, ABD, ABC\). Chứng minh rằng, \(A{G_{A},B{G_{B},C{G_{C},D{G_{D}}^{}}^{}}^{}}^{}\) đồng quy Giải Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\). Ta có \( G_{A}\in BI, {G_{B}}\subset AI\). Trong \((ABI)\) gọi \( G = A{G_{A}}\)\( \cap B{G_{B}}^{}\). Dễ thấy \( \frac{I{G_{A}}^{}}{IB}\) = \( \frac{I{G_{B}}^{}}{IA} = \frac{1}{3}\) nên \({G_{A}}^{}\) \({G_{B}}^{} // AB\) và \( \frac{GA}{G{G_{A}}^{}}\) = \( \frac{AB}{{G_{A}{G_{B}}^{}}^{}}\) = 3 Lí luận tương tự, ta có \(C{G_{C}}^{},D{G_{D}}^{}\) cũng cắt \(A{G_{A}}^{}\) tại \(G'\), \(G''\) và \( \frac{G'A}{G'{G_{A}}^{}}\) = 3, \( \frac{G''A}{G''{G_{A}}^{}}= 3\) Như vậy \(G ≡ G' ≡ G''\). Bài 5 trang 53 sách giáo khoa hình học lớp 11. Cho tứ giác \(ABCD\) nằm trong mặt phẳng \((α)\) có hai cạnh \(AB\) và \(CD\) không song song. Gọi \(S\) là điểm nằm ngoài mặt phẳng \((α)\) và \(M\) là trung điểm đoạn \(SC\). a) Tìm giao điểm \(N\) của đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \((MAB)\) b) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng ba đường thẳng \(SO, AM, BN\) đồng quy Lời giải: a) Trong mặt phẳng \((α)\) vì \(AB\) và \(CD\) không song song nên \(AB ∩ DC = E\) => \(E ∈ DC\), mà \(DC ⊂ (SDC)\) => \(E ∈ ( SDC)\). Trong \((SDC)\) đường thẳng \(ME\) cắt \(SD\) tại \(N\) => \(N ∈ ME\) mà \(ME ⊂ (MAB)\) => \(N ∈ ( MAB)\). Lại có \(N ∈ SD => N = SD ∩ (MAB)\) b) \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\)\( => O\) thộc \(AC\) và \(BD\), mà \(AC ⊂ ( SAC)\) => \(O ∈( SAC), BD ⊂ (SBD) , O ∈ (SBD)\) => \(O\) là một điểm chung của \((SAC)\) và \((SBD)\), mặt khác \(S\) cũng là điểm chung của \((SAC)\) và \((SBD) => (SAC) ∩ (SBD) = SO\) Trong mặt phẳng \((AEN)\) gọi \(I = AM ∩ BN\) thì \(I\) thuộc \(AM\) và \(I\) thuộc \(BN\) Mà \(AM ⊂ (SAC) => I ∈ (SAC), BN ⊂ ( SBD) => I ∈ (SBD)\). Như vậy \(I\) là điểm chung của \((SAC)\) và \((SBD)\) nên \(I\) thuộc giao tuyến \(SO\) của \((SAC)\) và \((SBD)\) tức là \(S, I, O\) thẳng hàng hay \(SO, AM, BN\) đồng quy. Bài 6 trang 54 SGK Hình học 11. Cho bốn điểm \(A,B,C\) và \(D\) không đồng phẳng. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BC\). Trên đoạn \(BD\) lấy điểm \(P\) sao cho \(BP=2PD\). a) Tìm giao điểm của đường thẳng \(CD\) và mặt phẳng \((MNP)\). b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((MNP)\) và \((ACD)\). Giải a) Trong \((BCD)\), gọi \(I\) là giao điểm của \(NP\) và \(CD\). \(I\in NP\subset (MNP)\) do đó \(CD\cap (MNP)=I\). b) Trong \((ACD)\), gọi \(J=MI\cap AD\) \(J\in AD\subset (ACD)\), \(M\in AC\subset (ACD)\) Do đó \((MNP)\cap(ACD)=MI\). Bài 7 trang 54 sách giáo khoa hình học lớp 11. Cho bốn điểm \(A, B, C\) và \(D\) không đồng phẳng. Gọi \(I,K\) lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((IBC)\) và \((KAD)\) b) Gọi \(M\) và \(N\) là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn thẳng \(AB\) và \(AC\). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((IBC)\) và \((DMN)\). Lời giải: a) Chứng minh \(I, K\) là hai điểm chung của \((BIC)\) và \((AKD)\) \(I\in AD\Rightarrow I\in(KAD)\Rightarrow I\in(KAD)\cap (IBC)\), \(K\in BC\Rightarrow K\in(BIC)\Rightarrow K\in(KAD)\cap (IBC)\), Hay \(KI=(KAD)\cap (IBC)\) b) Trong \(ACD)\) gọi \(E = CI ∩ DN\Rightarrow E\in (IBC)\cap (DMN)\) Trong \((ABD)\) gọi \(F = BI ∩ DM\Rightarrow F\in (IBC)\cap (DMN)\). Do đó \(EF=(IBC)\cap (DMN)\) Bài 8 trang 54 sách giáo khoa hình học lớp 11. Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(CD\) trên cạnh \(AD\) lấy điểm \(P\) không trùng với trung điểm của \(AD\) a) Gọi \(E\) là giao điểm của đường thẳng \(MP\) và đường thẳng \(BD\). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((PMN)\) và \((BCD)\) b) Tìm giao điểm của mặt phẳng \((PMN)\) và \(BC\). Lời giải: a) Ta có \(E\in BD\Rightarrow E\in(BCD)\) \(E\in MP\Rightarrow E\in(PMN)\) Do đó: \(E\in (BCD)\cap(PMN)\) \(N\in CD\Rightarrow N\in(BCD)\) \(N \in(PMN)\) Do đó: \(N\in (BCD)\cap(PMN)\) \(=> (PMN) ⋂ (BCD) = EN\) b) Trong mặt phẳng \((BCD)\) gọi \(Q\) là giao điểm của \(NE\) và \(BC\) thì \(Q\) là giao điểm của \((PMN)\) và \(BC\). Bài 9 trang 54 sách giáo khoa hình học lớp 11. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành \(ABCD\). Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và không song song với các cạnh của hình bình hành, \(d\) cắt đoạn \(BC\) tại \(E\). Gọi \(C'\) là một điểm nằm trên cạnh \(SC\) a) Tìm giao điểm \(M\) của \(CD\) và mặt phẳng \((C'AE)\) b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \((C'AE)\) Lời giải: a) Trong \((ABCD)\) gọi \(M = AE ∩ DC \Rightarrow M ∈ AE\), \(AE ⊂ ( C'AE) \Rightarrow M ∈ ( C'AE)\). Mà \(M ∈ CD \Rightarrow M = DC ∩ (C'AE)\) b) Trong \((SDC) : MC' ∩ SD = F\). Do đó thiết diện là \(AEC'F\). Bài 10 trang 54 sách giáo khoa hình học lớp 11. Cho hình chóp \(S. ABCD\) có \(AB\) và \(CD\) không song song. Gọi \(M\) là một điểm thuộc miền trong của tam giác \(SCD\) a) Tìm giao điểm \(N\) của đường thẳng \(CD\) và mặt phẳng \((SBM)\) b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((SBM)\) và \((SAC)\) c) Tìm giao điểm \(I\) của đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \((SAC)\) d) Tìm giao điểm \(P\) của \(SC\) và mặt phẳng \((ABM)\), từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng \((SCD)\) và \((ABM)\) Lời giải: a) Trong \((SCD)\) kéo dài \(SM\) cắt \(CD\) tại \(N\). Do đó: \(N=CD\cap(SBM)\) b) \((SBM) ≡ (SBN)\). Trong \((ABCD)\) gọi \(O=AC\cap BN\) Do đó: \(SO=(SAC)\cap(SBM)\). c) Trong \((SBN)\) gọi \(I\) là giao của \(MB\) và \(SO\). Do đó: \(I=BM\cap (SAC)\) d) Trong \((ABCD)\) , gọi giao điểm của \(AB\) và \(CD\) là \(K\). Trong \((SCD)\), gọi \(P= MK\cap SC\) Do đó: \(P=SC\cap (ABM)\) Trong \((SDC)\) gọi \(Q=MK\cap SD\) Từ đó suy ra được giao tuyến của hai mặt phẳng \((SCD)\) và (\(ABM)\) là \(KQ\).
