Câu 1 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao. Cho hai đường tròn (O ; R), (O’ ; R’) và một đường thẳng d a. Tìm hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai đường tròn đó sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MN b. Xác định điểm I trên d sao cho tiếp tuyến IT của (O ; R) và tiếp tuyến IT’ của (O’ ; R’) hợp thành các góc mà d là một trong các đường phân giác của các góc đó Giải a. Gọi (O1 ; R) là ảnh của đường tròn (O ; R) qua phép đối xứng trục Đd Giao điểm (nếu có) của hai đường tròn (O1 ; R) và (O’ ; R’) chính là điểm N cần tìm, điểm M là điểm đối xứng với N qua d b. Vẫn gọi (O1 ; R) như trên và I là điểm cần tìm thì IT’ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1 ; R) và (O’ ; R’) Suy ra cách dựng: Vẽ tiếp tuyến chung t (nếu có) của hai đường tròn (O1 ; R) và (O’ ; R’) Giao điểm (nếu có) của t và d chính là điểm I cần tìm Khi đó tiếp tuyến IT’ chính là t còn đường thẳng đối xứng với IT’ qua d là tiếp tuyến IT của (O ; R) Câu 2 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao. Chứng minh rằng nếu một hình nào đó có hai trục đối xứng vuông góc với nhau thì hình đó có tâm đối xứng Giải Giả sử hình H có hai trục đối xứng d và d’ vuông góc với nhau Gọi O là giao điểm của hai trục đối xứng đó Lấy M là điểm bất kì thuộc hình H, M1 là điểm đối xứng với M qua d, M’ là điểm đối xứng với M1 qua d’ Vì d và d’ đều là trục đối xứng của hình H nên M1 và M’ đều thuộc H Gọi I là trung điểm của MM1, J là trung điểm của M1M’ thì ta có: \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IM} = \overrightarrow {M'J} + \overrightarrow {JO} = \overrightarrow {M'O} \) hay \(\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OM'} = \overrightarrow 0 \) Vậy phép đối xứng tâm O biến điểm M thuộc hình H thành điểm M’ thuộc H, suy ra H có tâm đối xứng là O Câu 3 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao. Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt P, Q và hai điểm A, B nằm về một phía đối với d. Hãy xác định trên d hai điểm M, N sao cho \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PQ} \) và AM + BN bé nhất Giải Giả sử hai điểm M, N nằm trên d sao cho \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PQ} \) Lấy điểm A’ sao cho \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {PQ} \) thì điểm A’ hoàn toàn xác định và AMNA’ là hình bình hành nên AM = A’N Ta có: AM + BN = A’N + BN Gọi A” là điểm đối xứng của A’ qua d, khi đó: A’N + BN = A”N + BN ≥ A”B Từ đó ta suy ra AM + BN nhỏ nhất khi N là giao điểm của BA” với d Từ đó tìm được điểm M thỏa \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {PQ} \) Câu 4 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao. Cho vecto \(\overrightarrow u \) và điểm O. Với điểm M bất kì, ta gọi M1là điểm đối xứng với M qua O và M’ là điểm sao cho \(\overrightarrow {{M_1}M'} = \overrightarrow u \). Gọi F là phép biến hình biến M thành M’ a. F là phép hợp thành của hai phép nào ? F có phải là phép dời hình hay không ? b. Chứng tỏ rằng F là một phép đối xứng tâm Giải a. F là hợp thành của hai phép: phép đối xứng tâm ĐOvới tâm O và phép tịnh tiến T theo vecto \(\overrightarrow u \). Ta có F là phép dời hình vì ĐO và T là phép dời hình b. Giả sử M1 = ĐO(M) và M’ = T(M1) Nếu gọi O’ là trung điểm của MM’ thì: \(\overrightarrow {OO'} = {{\overrightarrow {{M_1}M'} } \over 2} = {{\overrightarrow u } \over 2}\) Vậy điểm O’ cố định và F chính là phép đối xứng qua tâm O’ Câu 5 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và một điểm M thay đổi trên (O). Gọi M1 là điểm đối xứng với M qua A, M2 là điểm đối xứng với M1 qua B, M3 là điểm đối xứng với M2 qua C a. Chứng tỏ rằng phép biến hình F biến điểm M thành M3 là một phép đối xứng tâm b. Tìm quỹ tích điểm M3 Giải a. Gọi I là trung điểm của MM3, ta chứng minh I là điểm cố định Thật vậy, ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {CI} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {C{M_3}} } \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {{M_2}C} } \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\overrightarrow {{M_2}M} = \overrightarrow {BA} \cr} \) Như vậy điểm I cố định, do đó phép biến hình F biến M thành M3 là phép đối xứng qua điểm I b. Quỹ tích điểm M3 là đường tròn (O’), ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm với tâm I Câu 6 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao. Gọi F là phép biến hình có tính chất sau đây: Với mọi cặp điểm M, N và ảnh M’, N’ của chúng, ta luôn có \(\overrightarrow {M'N'} = k\overrightarrow {MN} \) , trong đó k là một số không đổi khác 0. Hãy chứng minh rằng F là phép tịnh tiến hoặc phép vị tự Giải Ta lấy một điểm A cố định và đặt A’ = F(A) Theo giả thiết, với điểm M bất kì và ảnh M’ =F(M) của nó, ta có \(\overrightarrow {A'M} = k\overrightarrow {AM} \) Nếu k = 1, thì \(\overrightarrow {A'M'} = \overrightarrow {AM} \), do đó \(\overrightarrow {MM'} =\overrightarrow {AA'} \) ,và F là phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow {AA'} \) Nếu k ≠ 1 thì có điểm O sao cho: \(\overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OA} \) (với O thỏa \(\overrightarrow {OA} = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow {AA'} \) ) Khi đó ta có: \(\overrightarrow {OM'} = \overrightarrow {OA'} + \overrightarrow {A'M'} = k\overrightarrow {OA} + k\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {OM} \) Vậy F là phép vị tự tâm O, tỉ số k Câu 7 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao. a. Cho tam giác ABC và hình vuông MNPQ như hình 27. Gọi V là phép vị tự tâm A tỉ số \(k = {{AB} \over {AM}}\) . Hãy dựng ảnh của hình vuông MNPQ qua phép vị tự V b. Từ bài toán ở câu a) hãy suy ra cách giải bài toán sau: Cho tamn giác nhọn ABC, hãy dựng hình vuông MNPQ sao cho hai đỉnh P, Q nằm trên cạnh BC và hai đỉnh M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC Giải a. Ta có \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AC} = k\overrightarrow {AN} \) nên phép vị tự V biến điểm M thành điểm B, biến điểm N thành điểm C Vậy V biến hình vuông MNPQ thành hình vuông BCP’Q’ như trên hình bên b. Dựng hình vuông BCP’Q’ nằm ngoài tam giác ABC như hình Lấy giao điểm P, Q của BC với các đoạn thẳng tương ứng AP’ và AQ’ Từ P và Q, kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, lần lượt cắt AC và AB tại N và M Khi đó MNPQ chính là hình vuông cần dựng. Câu 8 trang 35 SGK Hình học 11 Nâng cao. Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng với A và B và PQ là đường kính thay đổi của (O) khác đường kính AB. Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M và N a. Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ. b. Tìm quỹ tích các điểm M và N khi đường kính PQ thay đổi Giải a. Ta có QB // AP (vì cùng vuông góc với PB) và B là trung điểm của AC nên Q là trung điểm của CM Ta có AQ // BN (vì cùng vuông góc với AP) và B là trung điểm của AC nên N là trung điểm của CQ b. Theo câu a) ta có \(\overrightarrow {CM} = 2\overrightarrow {CQ} \) nên phép vị tự V tâm C tỉ số biến Q thành M Vì Q chạy trên đường tròn (O) (trừ hai điểm A, B) nên quỹ tích M là ảnh của đường tròn đó qua phép vị tự V (trừ ảnh của A, B) Tương tự, ta có \(\overrightarrow {CN} = {1 \over 2}\overrightarrow {CQ} \) nên quỹ tích N là ảnh của đường tròn (O) qua phép vị tự V tâm C, tỉ số \({1 \over 2}\) (trừ ảnh của A, B) Câu 9 trang 35 SGK Hình học 11 Nâng cao. Cho đường tròn (O ; R) và điểm A cố định Một dãy cung BC thay đổi của (O ; R) có độ dài không đổi BC = m. Tìm quỹ tích các điểm G sao cho \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) Các câu hỏi trách nhiệm Giải Gọi I là trung điểm của BC Ta có \(\eqalign{ & \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GI} = \overrightarrow 0 \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {AG} = {2 \over 3}\overrightarrow {AI} \cr} \) Tức là phép vị tự V tâm A tỉ số \({2 \over 3}\) biến điểm I thành điểm G Trong tam giác vuông OIB ta có: \(OI = \sqrt {O{B^2} - I{B^2}} = \sqrt {{R^2} - {{\left( {{m \over 2}} \right)}^2}} = R'\) (không đổi) Nên quỹ tích I là đường tròn (O ; R’) hoặc là điểm O (nếu m = 2R) Do đó quỹ tích G là ảnh của quỹ tích I qua phép vị tự V
