Hình học 12 Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Tóm tắt lý thuyết

    1. Tọa độ của điểm và của vectơ
    a) Hệ tọa độ
    [​IMG]
    Trong không gian, cho ba trục xOx', yOy', zOz' vuông góc với nhau từng đôi một.
    Các vectơ \(\overrightarrow i ,\,\,\overrightarrow j ,\,\overrightarrow k\) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục xOx', yOy', zOz' với: \(\left | \vec{i} \right |=\left | \vec{j} \right |=\left | \vec{k} \right |=1.\)
    Hệ trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Oxyz, với O là gốc tọa độ.

    b) Tọa độ của vectơ trong không gian
    Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\vec{u}\) tồn tại duy nhất bộ số \((x,y,z)\) sao cho: \(\overrightarrow{u}=(x;y;z)\)\(\Leftrightarrow \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.\)
    Bộ số: \((x,y,z)\) được gọi là tọa độ của vectơ \(\vec{u}\).

    c) Tọa độ điểm trong không gian
    Trong không gian Oxyz, cho điểm A tùy ý tồn tại duy nhất bộ số \((x_A,y_A,z_A)\) sao cho: \(A(x_A,y_A,z_A)\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}=(x_A;y_A;z_A).\)
    Bộ số \((x_A,y_A,z_A)\) được gọi là tọa độ điểm A.

    2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
    • Cho hai vectơ \(\vec{u}=(x;y;z)\) và \(\vec{u'}=(x';y'; z')\):
      • \(\vec{u}+\vec{u'}=(x+x';y+y';z+ z')\)
      • \(\vec{u}-\vec{u'}=(x-x';y-y';z- z')\)
      • \(k\vec{u}=(kx;ky;kz)\)
      • \(\vec{u}=u'\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x'\\ y=y'\\ z=z' \end{matrix}\right.\)
      • \(\vec{u}=\vec{u'}\) cùng phương \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=kx'\\ y=ky'\\ z=kz' \end{matrix}\right.\)
      • \(\left | \vec{u} \right |=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
    • Cho hai điểm \(A(x_A,y_A,z_A)\); \(B(x_B,y_B,z_B)\):
      • \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)\)
      • \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\)
      • \(\overrightarrow{IA}=k.\overrightarrow{IB}(k\neq 1)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_I=\frac{x_A-k.x_B}{1-k}\\ \\ y_I=\frac{y_A-k.y_B}{1-k}\\ \\ z_I=\frac{z_A-k.z_B}{1-k} \end{matrix}\right.\)
      • Đặc biệt I là trung điểm AB thì: \(\left\{\begin{matrix} x_I=\frac{x_A+x_B}{2}\\ \\ y_I=\frac{y_A+y_B}{2}\\ \\ z_I=\frac{z_A+z_B}{2} \end{matrix}\right.\)
      • G là trọng tâm \(\Delta ABC\): \(\left\{\begin{matrix} x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ \\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\\ \\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3} \end{matrix}\right.\)
      • G là trọng tâm của tứ diện ABCD: \(\left\{\begin{matrix} x_G=\frac{x_A+x_B+x_C+x_D}{4}\\ \\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C+y_D}{4}\\ \\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C+z_D}{4} \end{matrix}\right.\)
    3. Tích vô hướng
    • Công thức tính tích vô hướng: \(\vec{a}.\vec{b}=\left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right |.cos(\vec{a},\vec{b})\).
    • Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: \(\left.\begin{matrix} \vec{a}=(x_1;y_1;z_1)\\ \vec{b}=(x_2;y_2;z_2) \end{matrix}\right\} \vec{a}.\vec{b} = x_1.x_2 + y_1.y_2 + z_1.z_2\).
    • Công thức tính góc giữa hai vectơ: \(cos(\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|}}.\)
    4. Phương trình mặt cầu
    • Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R có phương trình: \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.\)
    • Nhận xét: Phương trình mặt cầu có thể viết dưới dạng \(x^2+y^2+z^2-2Ax-2By-2Cz+D=0\), điều kiện \(A^2+B^2+C^2-D> 0\).
    Khi đó, mặt cầu có tâm \(I(A;B;C)\), bán kính \(R = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} .\)

    Bài tập minh họa
    Ví dụ 1:
    Cho ba vectơ \(\vec a=(1;m;2),\vec b=(m+1;2;1),\vec c=(0;m-2;2).\)
    a) Tìm m để \(\vec a\) vuông góc \(\vec b.\)
    b) Tìm m để \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow c } \right|.\)

    Lời giải:
    a) Ta có: \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow m + 1 + 2m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 1.\)

    b) Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {m + 2;m + 2;3} \right)\)
    Do đó:
    \(\begin{array}{l} \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow c } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow c } \right|^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} + {(m + 2)^2} + 9 = {(m - 2)^2} + 4\\ \Leftrightarrow {m^2} + 12m + 9 = 0 \Leftrightarrow m = - 6 \pm \sqrt 3 . \end{array}\)

    Ví dụ 2:
    Trong hệ trục tọa độ Oxy cho \(\overrightarrow a = (1; - 1;0),\,\overrightarrow b = ( - 1;1;2),\,\overrightarrow c = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j ,\,\overrightarrow d = \overrightarrow i\).
    a) Xác định t để vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2;2t - 1;0} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow a .\)
    b) Tìm các số thực m,n,p để \(\overrightarrow d = m\overrightarrow a - n\overrightarrow b + p\overrightarrow c\).

    Lời giải:
    a) \(\vec u\)cùng phương với \(\vec a\) khi:
    \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 1 = 2k\\ - 1 = (2t - 1)k\\ 0 = 0k \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 = 2k\\ - 1 = (2t - 1)k \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k = \frac{1}{2}\\ - 1 = (2t - 1)k \end{array} \right. \end{array}\)
    Với \(t=\frac{1}{2}\) thì ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} k = \frac{1}{2}\\ - 1 = 0 \end{array} \right.\) (Vô nghiệm)
    Với \(t \ne \frac{1}{2}\) thì ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} k = \frac{1}{2}\\ k = \frac{{ - 1}}{{2t - 1}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{2t - 1}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow t = -\frac{{ 1}}{2}\)

    b) Ta có: \(\overrightarrow c = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j = (1;0;0) - 2(0;1;0) = (1; - 2;0)\)
    \(\begin{array}{l} \overrightarrow d = m\overrightarrow a - n\overrightarrow b + p\overrightarrow
    c \\ \Leftrightarrow (1;0;0) = m(1; - 1;0) - n( - 1;1;2) + p(1; - 2;0)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m + n + p = 1\\ - m - n - 2p = 0\\ 0m - 2n + 0p = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 2\\ n = 0\\ p = - 1 \end{array} \right. \end{array}\)
    Vậy m=2;n=0;p=-1.

    Ví dụ 3:
    Cho A(3;0;4), B(1;2;3), C(9;6;4). Tìm:
    a) Trọng tâm tam giác ABC.
    b) Tọa độ đỉnh D để ABCD là hình bình hành.
    c) Tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.

    Lời giải:
    a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có:
    \(\left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\ {y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\ {z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{13}}{3}\\ {y_G} = \frac{8}{3}\\ {z_G} = \frac{{11}}{3} \end{array} \right.\)
    Vậy \(G\left( {\frac{{11}}{3};\frac{8}{3};\frac{{11}}{3}} \right).\)

    b) Gọi \(D\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right)\)
    \(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = ( - 2;2; - 1)\\ \overrightarrow {DC} = (9 - {x_D};6 - {y_D};4 - {z_D}) \end{array}\)
    Để ABCD là hình bình hành thì:
    \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}\)
    Hay: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 = 9 - {x_D}\\ 2 = 6 - {y_D}\\ - 1 = 4 - {z_D} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_D} = 11\\ {y_D} = 4\\ {z_D} = 5 \end{array} \right. \Rightarrow D(11;4;5)\)

    c) Gọi I là giao điểm hai đường chéo AC và BD thì:
    I là trung điểm của AC \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = 6\\ {y_I} = \frac{{y{}_A + {y_C}}}{2} = 3\\ {z_I} = \frac{{{z_A} + {z_C}}}{2} = 4 \end{array} \right. \Rightarrow I(6,3,4)\).

    Ví dụ 4:
    Trong mặt phẳng (P) cho hình chóp S.ABC có tọa độ các đỉnh \(A(0;0;0);\,B\left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right);C(a;0;0);S(0;0;a)\). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

    Lời giải:
    Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\); \(\overrightarrow {SC} = \left( {a;0; - a} \right).\)
    \(\cos \left( {AB,SC} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {SC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {SC} } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \widehat {\left( {AB,SC} \right)} \approx {69^0}18'.\)

    Ví dụ 5:
    Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tọa độ các điểm như sau:
    \(A(0;0;0);\,B(a;0;0);\,C(0;a\sqrt 3 ,0);A'\left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right);B'\left( {\frac{{3a}}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right);C'\left( {\frac{a}{2};\frac{{3a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right)\)
    Gọi M là trung điểm của BC
    a) Chứng minh: \(A'M \bot BC.\)
    b) Tính góc giữa hai đường thẳng: AA’ và B’C’.

    Lời giải:
    [​IMG]
    a) Ta có: \(\overrightarrow {A'M} = \left( {0;0; - a\sqrt 3 } \right)\)
    \(\overrightarrow {BC} = \left( { - a;a\sqrt 3 ;0} \right)\)
    Ta có: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = 0.\)
    Vậy AM vuông góc BC.

    b) Ta có:
    \(\begin{array}{l} \overrightarrow {AA'} = \left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right)\\ \overrightarrow {B'C'} = \left( {a; - a\sqrt 3 ;0} \right) \end{array}\)
    \(\cos (AA',B'C') = \frac{{\left| {\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {B'C'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AA'} } \right|\left| {\overrightarrow {B'C'} } \right|}} = \frac{1}{4}\)
    Vậy: \(\widehat {\left( {AA',B'C'} \right)} \approx {75^0}31'.\)

    Ví dụ 6:
    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;-1;2) điểm B(-1;-1;0). Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.

    Lời giải:
    Gọi I là trung điểm AB ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = - 1\\ {y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = - 1\\ {z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow I( - 1; - 1;1)\)
    Ta có: \(IA = IB = 1.\)
    Mặt cầu đường kính AB, nhận điểm I làm tâm, có bán kính R=IA=1 nên có phương trình là:
    \({(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 1)^2} = 1.\)

    Ví dụ 7:
    Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(-1; 1; 2) và D(1;-1;2).

    Lời giải:
    Gọi phương trình mặt cầu là: \(\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{ax}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{2by}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{2cz}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{d}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{0}}\,\left( {{{\rm{a}}^{\rm{2}}} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)\)
    Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên:
    \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} -2a - 2b + d + 2 = 0\\ -6a - 2b - 4c + d + 14 = 0\\ 2a - 2b - 4c + d + 6 = 0\\ -2a + 2b - 4c + d + 6 = 0 \end{array} \right.\,\,\,\, \Rightarrow a = b = 1;\,c = 2;d = 2\)
    Kết luận: Phương trình mặt cầu là \(x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z+2=0.\)

    Theo LTTK Education tổng hợp