Hình học 12 cơ bản - Chương 1 - Ôn tập chương I. Khối đa diện

LTTK CTV · 27/11/17

Bài 1 trang 26 SGK Hình học 12. Các đỉnh, cạnh, mặt của một đa diện phải thoả mãn những tính chất nào?

Giải

Các đỉnh, cạnh, mặt của một đa diện phải thoả mãn những tính chất:

- Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung.

- Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Bài 2 trang 26 SGK Hình học 12. Tìm một hình tạo bởi các đa giác nhưng không phải là một đa diện.

Giải

Ví dụ, hình sau được tạo bởi các đa giác nhưng không phải là một đa diện. Vì $EF$ là giao của hai đa giác $ABCD$ và $EFJI$ nhưng nó không phải là cạnh chung của hai đa giác đó.

Bài 3 trang 26 SGK Hình học 12. Thế nào là một khối đa diện lồi? Tìm ví dụ trong thực tế mô tả một khối đa diện lồi, một khối đa diện không lồi.

Giải

Khối đa diện $(H)$ được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của $(H)$ luôn thuộc $H$

Ví dụ: Hình $(H_1)$ mô tả một khối da diện lồi, hình $(H_2)$ mô tả một khối đa diện không lồi (hình 24).

Bài 4 trang 26 SGK Hình học 12. Cho hình lăng trụ và hình chóp có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau. Tính tỉ số thể tích của chúng.

Giải

Gọi $B$ là diện tích đáy và $h$ là chiều cao.

$V$lăng trụ =$ B.h = V_{(H)}$

$V$chóp = ${1\over 3}B.h = V_{(H')}$

Với diện tích đáy và chiều cao bằng nhau thì tỉ lệ thể tích giữa hình lăng trụ và hình chóp là:

${{{V_{(H)}}} \over {{V_{(H')}}}} = 3.$

Bài 5 trang 26 SGK Hình học 12. Cho hình chóp tam giác $O.ABC$ có ba cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OA = a, OB = b, OC = c$. Hãy tính đường cao $OH$ của hình chóp.

Giải

Kẻ $AD\bot BC, OH \bot AD$ thì dễ thấy $OH$ chính là đường cao của hình chóp.

Vì $OD.BC = OB.OC$ nên $OD ={{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}$ . Từ đó suy ra

$AD = \sqrt {{a^2} + {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}$ = $\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}$ .

Vì $OH.AD = OA.OD$ nên

$OH = {{abc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}:\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}} = {{abc} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}$

Bài 6 trang 26 SGK Hình học 12. Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có cạnh $AB$ bằng $a$. Các cạnh bên $SA, SB, SC$ tạo với đáy một góc $60^0$. Gọi $D$ là giao điểm của $SA$ với mặt phẳng qua $BC$ và vuông góc với $SA$.

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp $S.DBC$ và $S.ABC$.

b) Tính thể tích của khối chóp $S.DBC$.

Giải

a) Vì hình chóp $S.ABC$ là hình chóp đều nên chân đường cao $H$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy, theo giả thiết, ta có: góc $SAH = 60^0$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ thì $AM$ là đường cao của tam giác đều $ABC$:

$AM = {{a\sqrt 3 } \over 2}$

$AH = {2 \over 3}.AM = {{a\sqrt 3 } \over 3}$

Từ đây, ta có:$SA = {{AH} \over {c{\rm{os}}{{60}^0}}}$ = ${{2a\sqrt 3 } \over 3}$

$AD = AM.cos 60^0$ = ${{a\sqrt 3 } \over 4}$

$\Rightarrow SD = SA - AD = {{5a\sqrt 3 } \over {12}}$

Áp dụng công thức tỉ số thể tích trong bài tập 4, 3 (trang 37 SGK) ta được:

${{{V_{S.DBC}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SD} \over {SA}}.{{SB} \over {SB}}.{{SC} \over {SC}} = {{5a\sqrt 3 } \over {12}}:{{2a\sqrt 3 } \over 3} = {5 \over 8}$

b) Ta có: $S_{ABC}$ = ${{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}$; $SH = AH.tan60^0 = a$

$ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}.SH.{S_{ABC}}$ $ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}$

Từ kết quả câu a) ta có:

${V_{S.DBC}} = {5 \over 8}.{V_{S.ABC}}$ $ \Rightarrow {V_{S.BDC}} = {5 \over 8}.{{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}$

$ \Rightarrow {V_{S.DBC}} = {{5{a^3}\sqrt 3 } \over {96}}$

Bài 7 trang 26 SGK Hình học 12. Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a$. Các mặt bên $SAB, SBC, SCA$ tạo với đáy một góc $60^0$. Tính thể tích của khối chóp đó.

Giải

Kẻ $SH \bot (ABC)$ và từ $H$ kẻ $HI \bot AB, HJ \bot BC, HK \bot CA$.

Từ định lý ba đường vuông góc, ta suy ra:

$SI \bot AB, SJ \bot BC, SK \bot AC$ do đó:

$\widehat {SIH} = \widehat {SJH} = \widehat {SKH} = {60^0}$

Từ đây ta có: $△SIH = △SJH = △SKH$

$ \Rightarrow IH = JH = KH$

$ \Rightarrow H$ là tâm đường tròn nội tiếp $△ABC$.

Tam giác $ABC$ có chu vi:

$2p = AB + BC + CA = 18a$

$ \Rightarrow p = 9a$

Ta có: $p - AB = 4a$

$ p - BC = 3a$

$ p - CA = 2a$

Theo công thức Hê-rông, ta có: $S = \sqrt {9a.4a.3a.2a} = 6{a^2}\sqrt 6 $

Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$:

$IH = r = {{{S_{ABC}}} \over p} = {{6{a^2}\sqrt 6 } \over {9a}} \Rightarrow IH = {{2a\sqrt 6 } \over 3}$

Đường cao $SH$ của khối chóp:

$SH = r . tan60^0$ = ${{2a\sqrt 6 } \over 3}.\sqrt 3 = 2a\sqrt 2 $

Thể tích khối chóp:

${V_{S.ABC}} = {1 \over 3}.2a\sqrt 2 .6{a^2}\sqrt 6 = 8{a^3}\sqrt 3 $

Bài 8 trang 26 SGK Hình học 12. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA$ vuông góc với đáy và $AB = a, AD = b, SA =c$. Lấy các điểm $B', D'$ theo thứ tự thuộc $SB, SD$ sao cho $AB'$ vuông góc với $SB, AD'$ vuông góc với $SD$. Mặt phẳng $(AB'D')$ cắt $SC$ tại $C'$. Tính thể tích khối chóp $S.AB'C'D'$.

Giải

Ta có $BC \bot (SAB)\Rightarrow BC\bot AB'$

Theo giả thiết $SB \bot AB'$

$AB' \bot (SBC) \Rightarrow AB' \bot SC$ (1)

Chứng minh tương tự ta có:

$AD' \bot SC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $SC \bot (AB'C'D')$ hay $SC$ là đường cao của hình chóp $S.AB'C'D'$.

Từ $AB' \bot (SBC)$ $ \Rightarrow AB' \bot B'C'$

Tương tự ta có: $AD' \bot D'C'$

Từ các kết quả trên, ta được:

${V_{AB'C'D'}} = {1 \over 3}.SC'.{1 \over 2}(AB'.B'C' + AD'.D'C')$

= ${1 \over 6}SC'.(AB'.B'C' + AD'.D'C')$ (*)

Ta tính các yếu tố trên.

Tam giác vuông $SAB$ có $AB'$ là đường cao, nên ta có:

${1 \over {AB{'^2}}} = {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \Rightarrow AB{'^2} = {{{a^2}{c^2}} \over {{a^2} + {c^2}}}$

$ \Rightarrow AB' = {{ac} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}$

Tương tự, ta có:

$AD{'^2} = {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}} \Rightarrow AD' = {{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}$

Ta lại có: $SC^2 = AC^2 + AS^2 = a^2 + b^2 + c^2$

$ \Rightarrow SC = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $

Trong tam giác vuông $SAC, AC'$ là đường cao thuộc cạnh huyền

$SC'.SC = SA^2$ $ \Rightarrow SC' = {{S{A^2}} \over {SC}} = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

$∆SBC$ đồng dạng $∆SC'B'$ $ \Rightarrow {{B'C'} \over {BC}} = {{SC'} \over {SB}}$

$ \Rightarrow B'C' = {{SC'.BC} \over {SB}} = {{b{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

Tương tự ta có: $D'C' = {{{c^2}a} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

Thay các kết quả này vào (*) ta được:

$V = {1 \over 6}.{{ab{c^5}({a^2} + {b^2} + 2{c^2})} \over {({a^2} + {c^2})({b^2} + {c^2})({a^2} + {b^2} + {c^2})}}$

Bài 9 trang 26 SGK Hình học 12. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên tạo với đáy một góc $60^0$. Gọi $M$ là trung điểm $SC$. Mặt phẳng đi qua $AM$ và song song với $BD$, cắt $SB$ tại $E$ và cắt $SD$ tại $F$. Tính thể tích khối chóp $S.AEMF$.

Giải

Hình chóp $S.ABCD$ là hình chóp đều nên chân $H$ của đường cao $SH$ chính là tâm của đáy. Mặt phẳng đi qua $AM$ và song song với $BD$ cắt mặt phẳng $(SDB)$ theo một giao tuyến song song với $BD$, hay $EF // BD$. Ta dựng giao tuyến $EF$ như sau: Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $SH$.

Qua $I$ ta dựng một đường thẳng song song với $BD$, đường này cắt $SB$ ở $E$ và cắt $SD$ ở $F$.

Ta có: $\widehat {SAH}$ = $60^0$. Tam giác cân $SAC$ có $SA = SC$ và góc $SAC = 60^0$ nên nó là tam giác đều: $I$ là giao điểm của các trung tuyến $AM$ và $AH$ nên: ${{SI} \over {SH}} = {2 \over 3}$

Do $EF // DB'$ $ \Rightarrow {{{\rm{EF}}} \over {DB}} = {{SF} \over {SD}} = {{SE} \over {SB}} = {{SI} \over {SH}} = {2 \over 3}$

Vì $DB = a\sqrt2$ $ \Rightarrow {\rm{EF}} = {{2a\sqrt 2 } \over 3}$

Tam giác $SAC$ là tam giác đều nên $AM = {{AC\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 6 } \over 2}$

Ta lại có $DB \bot (SAC)$ $ \Rightarrow DB \bot AM$. Kết hợp với $DB // EF$ nên $EF \bot AM$. Tứ giác $AEMF$ có hai đường chéo vuông góc với nhau nên có diện tích:

${S_{AEMF}} = {1 \over 2}{\rm{EF}}.AM = {1 \over 2}.{{2a\sqrt 2 } \over 3}.{{a\sqrt 6 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}$

Mặt khác, tam giác $ASC$ là tam giác đều, $M$ là trung điểm của $SC$ nên $AM \bot SC$. Ta cũng có $DB \bot (SAM)$ $ \Rightarrow DB \bot SC$ vì $DB // EF$ nên $EF \bot SC$. Từ kết quả trên, suy ra $SM \bot(AEMF)$.

Dễ thấy $SM = {{a\sqrt 2 } \over 2}$ (do tam giác $SAC$ đều). Do đó: ${V_{S.AEMF}} = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}.{{a\sqrt 2 } \over 2} = {{{a^3}\sqrt 6 } \over {18}}$.

Bài 10 trang 27 SGK Hình học 12. Cho hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$.

a) Tính thể tích khối tứ diện $A'BB'C$.

b) Mặt phẳng đi qua $A'B'$ và trọng tâm tam giác $ABC$, cắt $AC$ và $BC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Tính thể tích hình chóp $C.A'B'FE$.

Giải

a) Ta tính thể tích hình chóp $A'.BCB'$.

Gọi $M$ là trung điểm của $B'C'$, ta có:

$A'M \bot B'C'$ (1)

Lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng nên:

$BB' \bot (A'B'C')$

$ \Rightarrow BB' \bot A'M$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $A'M \bot (BB'C')$ hay $A'M$ là đường cao của hình chóp $A'.BCB'$.

Ta có: $A'M$ = ${{a\sqrt 3 } \over 2}$ ; ${S_{BB'C}} = {1 \over 2}{a^2}$

$ \Rightarrow {V_{A'BB'C}} = {1 \over 3}.A'M.{S_{BB'C}} \Rightarrow {V_{A'BB'C}} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}$

b)

Thể tích hình chóp $C.A'B'EF$ bằng tổng thể tích hai hình chóp:

- $V_1$ là thể tích hình chóp đỉnh $B'$, đáy là tam giác $CEF$.

- $V_2$ là thể tích hình chóp đỉnh $B'$, đáy là tam giác $A'EC$.

Do $(ABC) // (A'B'C')$ nên dễ thấy $EF // AB$. Ta cũng có:

$EF$ = ${2 \over 3}a$

Hình chóp $B'.CEF$ có chiều cao $BB' = a$ và diện tích đáy là:

${S_{C{\rm{EF}}}} = {1 \over 2}.{{2a} \over 3}.{2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 9}$

Từ đây ta có: ${V_1} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {27}}$

Do $EC = {2 \over 3}AC$ nên ${S_{A'EC}} = {2 \over 3}a.{1 \over 2}a = {{{a^2}} \over 3}$

Hình chóp $B'.A'EC$ có chiều cao là $B'I$ (chiều cao của $△A'B'C'$) bằng ${{a\sqrt 3 } \over 2}$ nên $V_2$= ${{{a^3}\sqrt 3 } \over {18}}$

Vậy thể tích hình chóp $C.A'B'FE$ là: $V = V_1 + V_2$ = ${{5{a^3}\sqrt 3 } \over {54}}$

Bài 11 trang 27 SGK Hình học 12. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $E$ và $F$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $BB'$ và $DD'$. Mặt phẳng $(CEF)$ chia khối hộp trên làm hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó.

Giải

Ta xác định thiết diện của hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ khi cắt bởi $(CEF)$. Mặt phẳng $(CEF)$ chứa đường thẳng $EF$ mà $E$ là trung điểm của $BB', F$ là trung điểm của $CC'$ nên $EF$ chứa giao điểm $O$ của các đường chéo hình hộp, do đó mặt phẳng $(CEF)$ cùng chứa giao điểm $O$ của các đường chéo và nó cũng chứa đường chéo $A'C$ của hình hộp. Ta dễ dàng nhận xét rằng thiết diện chính là hình bình hành $CEA'F$. Qua $EF$ ta dựng một mặt phẳng song song với đáy hình hộp, mặt phẳng này cắt $AA'$ ở $P$ và cắt $CC'$ ở $Q$.

Ta có thể tích của hình hộp $ABCD.PEQF$ là:

$V_{ABCD.PEQF}$= ${1 \over 2}$$V_{ABCD.A'B'C'D'}$ (1)

Chứng minh tương tự ta được:

$V_{CFQE}=V_{A'FPE}$ (2)

(Hai hình chóp $CFQE$ và $A'FPE$ có chiều cao bằng nhau và diện tích đáy bằng nhau).

Xét khối đa diện $ABCDE'F$ do mặt phẳng $(CEF)$ chia ra trên hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$, ta có:

$V_{ABCD.FA'EQ}$ = ${1 \over 2}$ $V_{ABCD.FPE}+V_{A'FPE}$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

$V_{ABCD.FA'EQ}$= ${1 \over 2}$ $V_{ABCD.A'B'C'D'}$

Vậy mặt phẳng $(CEF)$ chia hình hộp thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau, tỉ số của chúng là $1$.

Chú ý: Có thể lí luận như sau: Giao điểm $O$ của các đường chéo của hình hộp là tâm đối xứng của hình hộp, do đó mặt phẳng $(CEF)$ chứa điểm $O$ nên chia hình hộp thành hai hình đối xứng với nhau qua điểm $O$. Vậy hai hình này là hai hình bằng nhau và có thể tích bằng nhau.

Bài 12 trang 27 SGK Hình học 12. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $A'B', N$ là trung điểm của $BC$.

a) Tính thể tích khối tứ diện $ADMN$.

b) Mặt phẳng $(DMN)$ chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi $(H)$ là khối đa diện chứa đỉnh $A, (H')$ là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số ${{{V_{(H)}}} \over {{V_{(H')}}}}$.

Giải

a) Ta tính thể tích hình chóp $M.ADN$. Hình chóp này có chiều cao bằng $a$ và diện tích đáy $AND$ bằng ${{{a^2}} \over 2}$

$V_{ADMN}$ = ${1 \over 3}$ . a . ${{{a^2}} \over 2}$ = ${{{a^3}} \over 6}$

b) Trước hết, ta dựng thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi $(DMN)$.

Do $(ABCD) // (A'B'C'D')$ nên $(DMN)$ cắt $(A'B'C'D')$ theo một giao tuyến song song với $DN$. Ta dựng thiết diện như sau:

- Từ $M$ kẻ đường thẳng song song với $DN$, đường này cắt cạnh $A'D'$ tại điểm $P$ và cắt đường thẳng $C'B'$ tại điểm $Q$. Trong mặt phẳng $(BCC'B')$ thì $QN$ cắt cạnh $BB'$ tại điểm $R$; đa giác $DNRMP$ chính là thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi $(DMN)$.

- Bây giờ ta tính thể tích khối đa diện $ABNDPMR$. Thể tích này có thể coi là thể tích của ba hình chóp:

$V_1$ là thể tích hình chóp đáy $ABND$, đỉnh $M$;

$V_2$ là thể tích hình chóp đáy $AA'PD$, đỉnh $M$;

$V_3$ là thể tích hình chóp đáy $NRB$, đỉnh $M$.

Hình chóp $M.ABND$, có đường cao bằng $a$, diện tích đáy là hình thang $ABND$ là:

${1 \over 2}\left( {{a \over 2} + a} \right).a = {{3{a^2}} \over 4}$

Suy ra: ${V_1} = {1 \over 3}.{{3{a^2}} \over 4}.a \Rightarrow {V_1} = {{{a^3}} \over 4}$

$A'P$ = ${a \over 4}$. Hình chóp $M.AA'PD$ có chiều cao ${a \over 2}$ và diện tích hình thang $AA'PD$ là: ${1 \over 2}\left( {{a \over 4} + a} \right).a = {{5{a^2}} \over 8}$

Suy ra: ${V_2} = {1 \over 3}.{a \over 2}.{{5{a^2}} \over 8} \Rightarrow {V_2} = {{5{a^2}} \over {48}}$

$BR$ = ${2 \over 3}a$. Diện tích tam giác $NRB$ là: ${1 \over 2}.{2 \over 3}a.{a \over 2} = {{{a^2}} \over 6}$

Hình chóp $M.NRB$ có chiều cao ${a \over 2}$ và diện tích đáy ${{{a^2}} \over 6}$ nên:

${V_2} = {1 \over 3}.{a \over 2}.{{{a^2}} \over 6} \Rightarrow {V_3} = {{{a^3}} \over {36}}$

${V_{ABNDPMR}} = {V_1} + {V_2} + {V_3} = {{5{a^3}} \over {48}} + {{{a^3}} \over 4} + {{{a^3}} \over {36}} = {{55{a^3}} \over {144}}$

Thể tích phần còn lại là: ${{144{a^3}} \over {144}} - {{55{a^3}} \over {144}} = {{89{a^3}} \over {144}}$

Từ đây suy ra tỉ số cần tìm là: ${{55} \over {89}}$

Bài 1 trang 27 SGK Hình học 12. Trong số các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau;

(B) Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau;

(C) Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh;

(D) Tồn tại một hình đa diện có số cạnh và mặt bằng nhau.

Giải

Chọn (C) Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh

Bài 2 trang 27 SGK Hình học 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Số các đỉnh hoặc số các mặt của bất kì hình đa diện nào cũng:

(A) Lớn hơn hoặc bằng 4; (B) Lớn hơn 4;

(C) Lớn hơn hoặc bằng 5; (D) Lớn hơn 5.

Giải

Chọn (A) Lớn hơn hoặc bằng 4

Bài 3 trang 27 SGK Hình học 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Số các cạnh của hình đa diện luôn luôn:

(A) Lớn hơn hoặc bằng 6;

(B) Lớn hơn 6;

(C) Lớn hơn 7;

(D) Lớn hơn hoặc bằng 8.

Giải

Chọn (A) Lớn hơn hoặc bằng 6

Bài 4 trang 28 SGK Hình học 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) Khối tứ diện là khối đa diện lồi;

(B) Khối hộp là khối đa diện lồi;

(C) Lắp ghép hai khối hộp sẽ được một khối đa diện;

(D) Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi.

Giải

Chọn (C) Lắp ghép hai khối hộp sẽ được một khối đa diện.

Bài 5 trang 28 SGK Hình học 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

(B) Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

(C) Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

(D) Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

Giải

Chọn (B) Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

Bài 6 trang 28 SGK Hình học 12. Cho hình chóp $S.ABC$. Gọi $A'$ và $B'$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SB$. Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp $S.A'B'C'$ và $S.ABC$ bằng:

(A) ${1 \over 2}$ (B) ${1 \over 3}$ (C) ${1 \over 4}$ (D) ${1 \over 8}$

Giải

$${{{V_{S.A'B'C}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SA'} \over {SA}}.{{SB'} \over {SB}}.{{SC} \over {SC}} = {1 \over 2}.{1 \over 2}.1 = {1 \over 4}$$

Chọn (C) ${1 \over 4}$

Bài 7 trang 28 SGK Hình học 12. Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $A', B', C', D'$ theo thứ tự là trung điểm của $SA, SB, SC, SD$. Tỉ số thể tích của hai khối chóp $S.A'B'C'D'$ và $S.ABCD$ bằng:

(A) ${1 \over 2}$ (B) ${1 \over 4}$ (C) ${1 \over 8}$ (D) ${1 \over {16}}$

Giải

$${{{V_{S.A'B'D'}}} \over {{V_{S.ABD}}}} = {{SA'} \over {SA}}.{{SB'} \over {SB}}.{{SD'} \over {SD}} = {1 \over 2}.{1 \over 2}.{1 \over 2} = {1 \over 8}$$

Chọn (C) ${1 \over 8}$

Bài 8 trang 28 SGK Hình học 12. Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$ là:

(A) ${{\sqrt 2 } \over 3}{a^3}$ (B) ${{\sqrt 2 } \over 4}{a^3}$ (C) ${{\sqrt 3 } \over 2}{a^3}$ (D) ${{\sqrt 3 } \over 4}{a^3}$

Giải

Diện tích đáy: $S = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}$

Thể tích là: $V = {{{a^3}\sqrt 3 } \over 4}$

Chọn (D) ${{\sqrt 3 } \over 4}{a^3}$

Bài 9 trang 28 SGK Hình học 12. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Tỉ số thể tích của khối tứ diện $ACB'D'$ và khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ bằng:

(A) ${1 \over 2}$ (B) ${1 \over 3}$ (C) ${1 \over 4}$ (D) ${1 \over 6}$

Giải

Giả sử diện tích đáy hình hộp là: $S$ chiều cao là $h$

Thể tích hình hộp là $V=Sh$

Hình hộp được chia thành $5$ khối $ABDA',CBDC',B'A'C'D$ và $ACB'D'$ mỗi khối có thể tích là:

${1 \over 3}.{S \over 2}.h = {1 \over 6}.S.h = {1 \over 6}V$

$ \Rightarrow {V_{ACB'D'}} = V - \left( {{1 \over 6}V + {1 \over 6}V + {1 \over 6}V + {1 \over 6}V} \right) $

$= {1 \over 3}V \Rightarrow {{{V_{ACB'D'}}} \over {{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = {1 \over 3}$

Chọn (B) ${1 \over 3}$

Bài 10 trang 28 SGK Hình học 12. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$, gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Tỉ số thể tích của khối chóp $O.A'B'C'D'$ và khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ bằng:

(A) ${1 \over 2}$ (B) ${1 \over 3}$ (C) ${1 \over 4}$ (D) ${1 \over 6}$

Giải

$\eqalign{
& {V_{OA'B'C'D'}} = {1 \over 3}{S_{A'B'C'D'}}.h \cr
& {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{A'B'C'D'}}.h \cr
& {{{V_{OA'B'C'D'}}} \over {{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = {1 \over 3} \cr} $

Chọn (B) ${1 \over 3}$

Hình học 12 cơ bản - Chương 1 - Ôn tập chương I. Khối đa diện

Xem các chủ đề cùng chuyên mục