Bài 1 trang 39 SGK Hình học 12. Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(r\) nằm trên mặt phẳng \((P)\). Từ những điểm \(M\) thuộc đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với \((P)\). Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Hãy xác định trục và bán kính của mặt trụ đó. Hướng dẫn giải: Xét đường thẳng \(∆\) đi qua điểm \(O\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\). Gọi \(d\) là đưởng thẳng đi qua \(M\in (C)\) và \(d\) vuông góc với \((P)\). Do đó \(d // ∆\). Quay mặt phẳng \((Q)\) tạo bởi \(d\) và \(∆\) quanh đường thẳng \(∆\), thì đường thẳng \(d\) vạch lên một mặt trụ tròn xoay. Mặt trụ này chứa tất cả những đường thẳng đi qua các điểm \(M \in (C)\) và vuông góc với \((P)\). Trục của mặt trụ là \(∆\) và bán kính của trụ bằng \(R\). Bài 2 trang 39 SGK hình học 12. Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi: a) Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư. b) Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng nó. c) Một tam giác vuông kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cnah góc vuông. d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh. Giải: Theo định nghĩa ta thấy kết quả: a) Hình trụ tròn xoay có đường cao là cạnh thứ tư còn bán kính hình trụ bằng độ dài của cạnh kề với cạnh thứ tư đó. b) Hình nón tròn xoay có chiều cao bằng chiều cao của tam giác cân, cond bán kính đáy bằng một nửađộ dài cạnh đáy của tam giác cân đó. c) Khối nón tròn xoay. d) Khối trụ tròn xoay. Bài 3 trang 39 SGK Hình học 12. Cho hình nón tròn xoay có đường cao \(h = 20 cm\), bán kính đáy \(r = 25 cm\). a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho. b) Tính thể tích của khối nón được tạo bởi hình nón đó. c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là \(12 cm\). Tính diện tích thiết diện đó. Giải: a) Giả sử \(SA = l\) là độ dài đường sinh, \(SH = h\) là chiều cao hình nón. Trong tam giác vuông \(SOA\) ta có: \(\eqalign{ & S{A^2} = S{O^2} + O{A^2} = {h^2} + {r^2} = {20^2} + {25^2} = 1025 \cr & \Rightarrow SA = \sqrt {1025} \cr}\) Diện tích xung quanh hình nón là: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .25\sqrt {1025} \approx 2514,5\left( {c{m^2}} \right)\) b) Thể tích khối nón là: \(V = {1 \over 3}\pi {r^2}h = {1 \over 3}\pi {.25^2}.20 \approx 13083,3\left( {c{m^3}} \right)\) c) Giả sử thiết diện \(SAB\) đi qua đỉnh \(S\) cắt đường tròn đáy tại \(A\) và \(B\). Gọi \(I\) là trung điểm của dây cung \(AB\). Từ tâm \(O\) của đáy vẽ \(OH\) vuông góc với \(SI\). Ta có \(\left\{ \matrix{ AB \bot OI \hfill \cr AB \bot SO \hfill \cr} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow AB \bot OH\) Từ đó \(\left\{ \matrix{ OH \bot AB \hfill \cr OH \bot SI \hfill \cr} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow OH = 12cm\) Trong tam giác vuông \(SOI\) ta có: \({1 \over {O{H^2}}} = {1 \over {O{I^2}}} + {1 \over {O{S^2}}}\) \(\eqalign{ & \Rightarrow {1 \over {O{I^2}}} = {1 \over {O{H^2}}} - {1 \over {O{S^2}}} \cr & = {1 \over {{{12}^2}}} - {1 \over {{{20}^2}}} = {{256} \over {57600}} = {1 \over {225}} \cr & \Rightarrow OI = 15cm \cr} \) Xét tam giác vuông \(OAI\) ta có \(AI^2 = OA^2 – OI^2 = 25^2 – 15^2 = 20^2\) Vậy \(AI = 20cm\) Ta có: \(SI.OH = SO.OI \Rightarrow SI = {{SO.OI} \over {OH}} = {{20.15} \over {12}} = 15cm\) Vậy diện tích thiết diện \(SAB\) là: \({S_{SAB}} = {1 \over 2}SI.AB = {1\over2}25.20 = 250\left( {c{m^2}} \right)\) Bài 4 trang 39 SGK Hình học 12. Trong không gian cho hai điểm \(A, B\) cố định và có độ dài \(AB = 20 cm\). Gọi \(d\) là một đường thẳng thay đổi luôn luôn đi qua \(A\) và cách \(B\) một khoảng bằng \(10 cm\). Chứng tỏ rằng đường thẳng \(d\) luôn luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định trục và góc ở đỉnh của mặt nón đó. Giải: Kẻ \(BH \bot d\) ta có \(BH = 10cm\) Gọi \(\alpha = \widehat {ABH}\) Ta có \(\sin \alpha = {{BH} \over {AB}} = {1 \over 2} \Rightarrow \alpha = {30^0}\) Vậy đường thẳng \(d\) luôn thuộc mặt nón nhận đường thẳng \(AB\) làm trục và có góc ở đỉnh bằng \(2α = 60^0\) Bài 5 trang 39 SGK hình học 12. Một hình trụ có bán kính đáy \(r = 5cm\) và có khoảng cách giữa hai đáy bằng \(7 cm\). a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên. b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục \(3 cm\). Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên. Giải: a) Theo đầu bài, hình trụ có chiều cao \(h = 7 cm\) và bán kính đáy \(r = 5 cm\). Vậy diện tích xung quanh bằng: \(S_{xq}= 2πrh = 70π\)(\(cm^2\)) Thể tích của khối trụ là: \(V = πr^2h = 175π\) (\(cm^3\)) b) Thiết diện là hình chữ nhật có một cạnh bằng chiều cao của hình trụ bằng \(7 cm\). Giả sử thiết diện là \(ABB_1A_1\). Ta có \(AA_1 = 7 cm, OH= 3 cm\). Do tam giác \(OAH\) vuông tại \(H\) nên \(AH^2 = OA^2 – OH^2 = 25 – 9 = 16\). Vậy \(AH = 4 cm, AB = 8 cm\). Diện tích của thiết diện là: \(S=AB.AA_1=8.7=56\) (\(cm^2\)). Bài 6 trang 39 SGK Hình học 12. Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều canh \(2a\). Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó. Giải: Theo đề bài, đường kính của hình tròn đáy của nón bằng \(2a\). Vậy bán kính \(R = a\). Chiều cao của hình nón bằng chiều cao của tam giác đều, nên \(h = a\sqrt3\) và đường sinh \(l = 2a\). Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: \(S_{xq} = πRl = 2a^2π\) Thể tích khối nón là: \(V = {1 \over 3}\pi {r^2}.h = {1 \over 3}\pi {a^2}.a\sqrt 3 = {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over 3}\) Bài 7 trang 39 SGK Hình học 12. Một hình trụ có bán kính \(r\) và chiều cao \(h = r\sqrt3\). a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho. c) Cho hai điểm \(A\) và \(B\) lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng \(AB\) và trục của hình trụ bằng \(30^0\). Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(AB\) và trục của hình trụ Giải: Theo công thức ta có: \(S_{xq} = 2πrh = 2\sqrt3 πr^2\) \(S_{tp} = 2πrh + 2πr^2 = 2\sqrt3 πr^2 + 2 πr^2 \) \(= 2(\sqrt3 + 1)πr^2\) ( đơn vị thể tích) b) \(V\)trụ = \(πR^2h = \sqrt3 π r^3\) c) Giả sử trục của hình trụ là \(O_1O_2\) và \(A\) nằm trên đường tròn tâm \(O_1\), \(B\) nằm trên đường tròn tâm \(O_2\); \(I\) là trung điểm của \(O_1O_2\) , \(J\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó \(IJ\) là đường vuông góc chung của \(O_1O_2\) và \(AB\). Hạ \(BB_1\) vuông góc với đáy, \(J_1\) là hình chiếu vuông góc của \(J\) xuống đáy. Ta có \( J_{1}\) là trung điểm của \( AB_{1}\), \( O_{1}J_{1}\) = \(IJ\). Theo giả thiết \( \widehat{B_{1}BA}\) = \(30^0\). do vậy: \(AB_1 = BB_1.tan 30^0\) = \( \frac{\sqrt{3}}{3}h = r\). Xét tam giác vuông \(O_1J_1A\) vuông tại \(J_1\) ta có: \( O_{1}J^{2}_{1}\) = \( O_{1}A^{2}\) - \( AJ^{2}_{1} =\) \( r^{2} - {\left( {{r \over 2}} \right)^2}=\) \( \frac{3}{4}r^{2}\). Vậy khoảng cách giữa \(AB\) và \(O_1O_2\) là: \( \frac{\sqrt{3}}{2}r\) Bài 8 trang 40 SGK Hình học 12. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn \((O;r)\) và \((O';r)\). Khoảng cách giữa hai đáy là \(OO' = r.\sqrt3\). Một hình nón có đỉnh là \(O'\) và có đáy là hình tròn \((O;r)\). a) Gọi \(S_1\) là diện tích xung quanh của hình trụ và \(S_2\) là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỷ số \({{{S_1}} \over {{S_2}}}\). b) Mặt xung quanh của hình nónchia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỷ số thể tích hai phần đó. Giải: Ta có \(l = h = r\sqrt3\) Diện tích xung quanh hình trụ là: \(S_1 = 2πr.l = 2πr.r\sqrt3 = 2\sqrt3 πr^2\) \(O'M\) là một đường sinh của hình nón ta có: \(l' = O'M = \sqrt {OO{'^2} + O{M^2}} = \sqrt {3{r^2} + {r^2}} = 2r\) Diện tích xung quanh hình nón là: \(S_2 = πrl'= π.r.2r = 2πr^2\) Vậy: \({{{S_1}} \over {{S_2}}} = {{2\sqrt 3 \pi {r^2}} \over {2\pi {r^2}}} = \sqrt 3 \) b) Khối trụ và khối nón có cùng đáy và cùng chiều cao nên thể tích khối trụ bằng ba lần thể tích khối nón. Gọi \(V_1\) là thể tích khối nón và \(V_3\) là thể tích phần còn lại của khối trụ, ta suy ra: \({{{V_1}} \over {{V_2}}} = {1 \over 2}\) Bài 9 trang 40 SGK Hình học 12. Cắt hình nón đỉnh \(S\) bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(a\sqrt2\). a) Tính diện tích xuang quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng. b) Cho một dây cung \(BC\) và đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng \((SBC)\) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc \(60^0\). Tính diện tích hình vuông và mặt phẳng đáy. Giải: a) Cạnh huyền chính bằng đường kính đáy do vậy bán kính đáy \(r = \frac{a\sqrt{2}}{2}\) và đường cao \(h = r\), đường sinh \(l = a\). Vậy \(S_xq = πrl =\) \( \frac{\sqrt{2}}{2}\pi a^2\) ( đơn vị diện tích) \(S\)đáy = \( \pi r^{2}\) = \( \pi \frac{a^{2}}{2}\) ( đơn vị diện tích); \(V\)nón = \( \frac{1}{3}\pi r^{2}h\) \( = \frac{\sqrt{2}}{12}\pi a^{3}\) ( đơn vị thể tích) b) Gọi tâm đáy là \(O\) và trung điểm cạnh \(BC\) là \(M\). Theo giả thiết, \( \widehat{SMO}\) = \(60^0\). Ta có diện tích \(∆ SBC\) là: \(S = {{SM.BC}\over2}\) Ta có \(SO = SM.sin60^0\) = \( \frac{\sqrt{3}}{2}SM\). Vậy \( SM = \frac{2}{\sqrt{3}}SO = \frac{\sqrt{6}}{3}a\). Ta có \(∆ OMB\) vuông ở \(M\) và \(BO = r\) = \( \frac{a\sqrt{2}}{2}\); \(OM = SM.cos60^0\) = \( \frac{\sqrt{6}}{6}a\). \( BM^{2}= BO^{2} - OM^{2} = \frac{a^{2}}{3}\) Vậy \(BM\) = \( \frac{a}{\sqrt{3}}\) và \(BC\) = \( \frac{2a}{\sqrt{3}}\). Do đó \(S = {{SM.BC}\over2}\) = \( \frac{\sqrt{2}}{3}a^{2}\) (đơn vị diện tích) Bài 10 trang 40 SGK Hình học 12. Cho hình trụ có bán kính \(r\) và có chiều cao cũng bằng \(r\). Một hình vuông \(ABCD\) có hai cạnh \(AB\) và \(CD\) lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh \(BC\) và \(AD\) không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó và cosin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy. Giải: Do tính chất đối xứng của \((ABCD)\) nên \((ABCD)\) cắt \(OO'\) tại trung điểm \(I\) của \(OO'\). \(I\) cũng là giao điểm của hai đường chéo \(AC,BD\). Xét tam giác vuông \(IOB\) ta có: \(IB^2=IO^2+OB^2\) \(\Rightarrow IB=\sqrt {{{\left( {{r \over 2}} \right)}^2} + {r^2}} = {{r\sqrt 5 } \over 2}\) \(\Rightarrow AC=BD=2IB=r\sqrt5; AB={{r\sqrt {10} } \over 2}\). Suy ra: \(S_{ABCD}={{5{r^2}} \over 2}\). Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\) \(\Rightarrow DE\bot AB, IE\bot AB\). \(\Rightarrow \widehat {IEO}\) là góc giữa \((ABCD)\) và mặt đáy của hình trụ. \(IE = {{r\sqrt {10} } \over 4}, OI={r\over 2}\) \(sin\widehat {IEO}={{OI}\over {IE}}={\sqrt{10}\over5}\)
