Hình học 12 cơ bản - Chương 2 - Bài 2. Mặt cầu

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 1 trang 49 SGK Hình học 12. Tìm tập hợp tất cả các điểm trong không gian luôn luôn nhìn đoạn thẳng \(AB\) cố định dưới một góc vuông.

    Giải:

    [​IMG]

    Gọi \(O\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\), vì tam giác \(AMB\) vuông tại \(M\) nên trung tuyến \(MO\) bằng nửa cạnh huyến, tức \(MO = {AB\over2} = R\).

    Vậy tập hợp các điểm \(M\) nhìn \(AB\) dưới một góc vuông nằm trên mặt cầu đường kính \(AB\)

    Ngược lại, lấy \(M\) thuốc mặt cầu đwòng kính \(AB\) thì \(MO = {AB\over2}\) do đó nếu \(M\) khác \(A\) và \(B\) thì tam giác \(MAB\) vuông tại \(M\), còn khi \(M = A\) hoặc \(M = B\) ta cũng coi \(M\) nhìn \(AB\) một góc vuông.

    Kết luận: Tập hợp các điểm \(M\) trong không gian nhìn đoạn thẳng \(AB\) dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính \(AB\).

    Bài 2 trang 49 SGK Hình học 12. Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

    Giải:

    [​IMG]

    Gọi \(I = AC ∩ BD\). Ta thấy \(AC = a\sqrt2 = BD\),

    \(SA = SC = a\), nên \(S{A^2} + S{C^2} = A{C^2}\). Vậy điểm \(S\) nhìn \(AC\) dưới một góc vuông. Các điểm \(B\) và \(D\) cũng nhìn \(AC\) dưới một góc vuông

    Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu đường kính \(AC\). Tâm của cầu là điểm \(I\) và bán kính \(R = {{a\sqrt 2 } \over 2}\). Ta thấy rằng điểm \(I\) cũng là chân đường cao hạ từ đỉnh \(S\) xuống đáy.

    Bài 3 trang 49 SGK Hình học 12. Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước

    Giải:

    [​IMG]

    Giả sử đường tròn cố định \((C)\) tâm \(I\) bán kính \(r\) nằm trên mặt phẳng \((P)\). Xét đường thẳng \(d\) qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\). Đường thẳng \(d\) được gọi là trục của đường tròn. Giả sử \(O\) là tâm của mặt cầu \((S)\) chứa đường tròn \((C)\) thì \(O\) cách đều mọi điểm của \((C)\).Vì vậy chân đường vuông góc hạc từ \(O\) xuống mặt phẳng \((P)\) chính là tâm \(I\) của \((C)\). Điều đó xảy ra khi và chỉ khi điểm \(O \in d\)

    Kết luận: Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước là đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của nó.

    Bài 4 trang 49 SGK Hình học 12. Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.

    Giải:

    [​IMG]


    Giả sử tam giác \(ABC\) cho trước nằm trong mặt phẳng \((P)\). mặt cầu \((S)\) tiếp xúc với ba cạnh của tam giác \(ABC\) sẽ giao với mặt phẳng \((P)\) theo một đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác \(ABC\), chính là đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Theo bài 3, tập hợp tâm các mặt cầu luôn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác \(ABC\) là trục đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).

    Bài 5 trang 49 SGK Hình học 12. Từ một điểm \(M\) nằm nằm bên ngoài mặt cầu \(S( O; r)\) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại \(A, B\) và \(C, D\).

    a) Chứng minh rằng \(MA.MB = MC.MD\).

    b) Gọi \(MO = d\). Tính \(MA.MB\) theo \(r\) và \(d\).

    Giải:

    [​IMG]

    a) Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng đã cho. Mặt phẳng\((P)\) cắt mặt cầu \(S(O;r)\) theo một đường tròn tâm \(I\), là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên mặt phẳng \((P)\).

    Xét hai tam giác \(MAD\) và \(MCB\) có:

    +) \(\widehat B = \widehat D\) (Hai góc cùng chắn một cung)

    +) \(\widehat M\)

    \( \Rightarrow \Delta MAD\) đồng dạng \(\Delta MCB\).

    \(\Rightarrow{{MA} \over {MC}} = {{MD} \over {MB}}\Rightarrow MA.MB=MC.MD\)

    b) Đặt \(MO = d\), ta có \(OI\) vuông góc với \((P)\) và ta có:

    \(O{M^2} = M{I^2} = O{I^2};O{A^2} = O{I^2} + I{A^2}\)

    Hạ \(IH\) vuông góc \(AB\), ta có \(H\) là trung điểm của \(AB\).

    Ta có \(MA = MH - HA\); \(MB = MH + HB = MH + HA\).

    \(MA.MB = M{H^2} - H{A^2}\)

    \(\eqalign{
    & = (M{H^2} + H{I^2}) - (H{A^2} + I{H^2}) \cr
    & = M{I^2} - I{A^2} \cr
    & = (M{I^2} + O{I^2}) - (I{A^2} + O{I^2}) \cr
    & = O{M^2} - O{A^2} \cr
    & = {d^2} - {r^2} \cr} \)

    Vậy \(MA.MB = {d^2} - {r^2}\).

    Bài 6 trang 49 SGK Hình học 12. Gọi mặt cầu \(S(O; r)\) tiếp xúc với \((P)\) tại \(I\). Gọi \(M\) là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với \(I\) qua tâm \(O\). Từ \(M\) kẻ hai tiếp tuyến cắt của mặt cầu cắt \((P)\) tại \(A\) và \(B\). Chứng minh rằng \( \widehat{AMB}= \widehat{AIB}\).

    Giải:

    [​IMG]

    Theo tính chất của mặt cầu, ta có \(AI\) và \(AM\) là hai tiếp tuyến với cầu kẻ từ \(A\), cho nên \(AI = AM\), tương tự \(BI =BM\).

    Hai tam giác \(ABI\) và \(ABM\) bằng nhau (c.c.c)

    \( \Rightarrow \widehat{AMB}= \widehat{AIB}\) (Hai góc tương ứng).

    Bài 7 trang 49 SGK Hình học 12. Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AA' = a, AB = b, AD = c\).

    a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.

    b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\) với mặt cầu trên.

    Giải:

    [​IMG]

    a) Trong hình hộp chữ nhật, bốn đường chéo \(AC', BD', CA' và DB'\) cắt nhau tại điểm \(I\) là trung điểm của mỗi đường.

    Vì \(4\) đường chéo trong hình hộp chữ nhật bằng nhau, nên điểm \(I\) cách đều \(8\) đỉnh của hình hộp chữ nhật. Nó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.

    Vì \(AB = b, AD = c, AA' = a\) nên bán kính mặt cầu \(R = {1 \over 2}A'C = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \).

    b) Giao tuyến của mặt phẳng\(( ABCD)\) với mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \(ABCD\). Nên bán kính của đường trong giao tuyến là:

    \(r = {1 \over 2}AC = {1 \over 2}\sqrt {{b^2} + {c^2}} \)

    Bài 8 trang 49 SGK Hình học 12. Chứng minh rắng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với \(6\) cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện tứ diện bằng nhau.

    Giải:

    [​IMG]


    Giả sử tứ diện \(ABCD\) có mặt cầu tiếp xúc với cả \(6\) cạnh của tứ diện; tiếp xúc với \(AB, BC, CD,AD,AC,BD\) lần lượt tại \(M,N,P,Q,R,S\). Vì các đoạn thẳng kẻ từ một điểm đến tiếp điểm của các tiếp tuyến đó bằng nhau, nên ta có:

    \( \left\{\begin{matrix} AM= AR = AQ\\ BM= BN= BS\\ CN= CP= CR\\ DP = DQ = DS\\ \end{matrix}\right.\)

    Ta chứng minh: \(AB + CD = AC +BD = AD + BC\).

    Ta có

    \(AM + MB + CP + PD \)\(=AR+RC+BS+SD\)

    \(= AQ + QD + BN + NC\)

    Hay: \(AB + CD = AC +BD = AD + BC\).

    Bài 9 trang 49 SGK Hình học 12. Cho một điểm \(A\) cố định và một đường thẳng \(a\) cố định không đi qua \(A\). Gọi \(O\) là một điểm thay đổi trên \(a\). Chứng minh rằng các mặt cầu tâm \(O\) và bán kính \(r = OA\) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.

    Giải:

    [​IMG]

    Xét mặt phẳng \((P)\) qua điểm \(A\) và \((P)\) vuông góc với đường thẳng \(a\). Goi giao của \((P)\) với \(a\) là điểm \(H\). Xét mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(r = OA\); mặt cầu này giao với mặt phẳng \((P)\) theo đường tròn tâm \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \((P)\) và bán kính \(HA \) cố định.

    Bài 10 trang 49 SGK Hình học 12. Cho hình chóp \(S.ABC\) có bốn đỉnh đếu nằm trên một mặt cầu, \(SA = a, SB = b, SC = c\) và ba cạnh \(SA, SB, SC\) đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu đó

    Giải:

    [​IMG]

    Gọi \(I\) là tâm cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác \(S.ABC\). Hạ \(IJ\) vuông góc \((SAB)\), vì \(J\) cách đều \(3\) điểm \(S, A, B\) nên \(J\) cũng cách đều \(3\) điểm \(S, A, B\).

    Vì tam giác \(SAB\) vuông đỉnh \(S\) nên \(J\) là trung điểm của \(AB\).

    Ta có \(SJ ={1 \over 2}AB = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}}\)

    Do \(SC\) vuông góc \((SAB)\) nên \(IJ // SC\).

    Gọi \(H\) là trung điểm \(SC\), ta có \(SH = IJ = {c \over 2}\).

    Do vậy, \(I{S^2} = I{J^2} + S{J^2} = {{({a^2} + {b^2} + {c^2})} \over 4}\) và bán kính hình cầu ngoại tiếp \(S.ABC\) là

    \(r = IS = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

    Diện tích mặt cầu là:

    \(S = 4\pi {r^2} = \pi ({a^2} + {b^2} + {c^2})\)

    Thể tích khối cầu là :
    \(V = {4 \over 3}\pi {r^3} = {1 \over 6}\pi {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^{{3 \over 2}}}\).