Bài tập 1 - Trang 68 - SGK Hình học 12. Cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}\)(2; -5; 3), \(\overrightarrow{b}\)(0; 2; -1), \(\overrightarrow{c}\)(1; 7; 2). a) Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{d}=4.\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\). b) Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\). Giải: a) \(4\overrightarrow{a}=( 8; -20; 12)\); \(\frac{1}{3}\overrightarrow{b}= (0;\frac{2}{3}; \frac{-1}{3})\) ; \(2\overrightarrow{c} = ( 3; 21; 6)\). Vậy \(\overrightarrow{d}=(11; \frac{1}{3};\frac{55}{3})\). b) Tương tự \(\overrightarrow{e}=( 0; -27; 3)\). Bài tập 2 - Trang 68 - SGK Hình học 12. Cho ba điểm \(A = (1; -1; 1), B = (0; 1; 2), C = (1; 0; 1)\). Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\). Giải: \(G\) là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\) (*) Giả sử \(G(x; y; z)\) thì \(\overrightarrow{GA} = (1 - x; -1 - y; 1 - z)\); \(\overrightarrow{GB} = (-x; 1 - y; 2 - z)\); \(\overrightarrow{GC} = (1 - x; -y; 1 - z)\); => \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = (2 - 3x; -3y; 4 - 3z)\) Do hệ thức (*), ta có : \(2 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\) ; \(-3y = 0 \Rightarrow y = 0\); \( 4 - 3z = 0 \Rightarrow z = \frac{4}{3}\). Vậy \(G(\frac{2}{3};0;\frac{4}{3})\). Nhận xét : Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của \(3\) đỉnh của tam giác. Bài tập 3 - Trang 68 - SGK Hình học 12. Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) biết \(A = (1; 0; 1), B = (2; 1; 2), D = (1; -1; 1)\), \(C' (4; 5; -5)\). Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp. Giải: Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right) \cr & \overrightarrow {A{\rm{D}}} = \left( {0; - 1;0} \right) \cr & \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A{\rm{D}}} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_C} - 2 = 0 \hfill \cr {y_C} - 1 = - 1 \hfill \cr {z_C} - 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_C} = 2 \hfill \cr {y_C} = 0 \hfill \cr {z_C} = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(C = (2; 0; 2)\) Suy ra \(\overrightarrow {CC'} = \left( {2;5; - 7} \right)\) Từ \(\overrightarrow {AA} = \overrightarrow {BB} = \overrightarrow {DD} = \overrightarrow {CC} = \left( {2;5; - 7} \right)\) Suy ra \(\left\{ \matrix{ {x_A} - 1 = 2 \hfill \cr {y_A} - 0 = 5 \hfill \cr {z_A} - 1 = - 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_A} = 3 \hfill \cr {y_A} = 5 \hfill \cr {z_A} = - 6 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(A’ (3; 5; -6)\) Tương tự \(B’ = (4; 6; -5); D’ = (3; 4; -6)\). Bài tập 4 - Trang 68 - SGK Hình học 12. Tính: a) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) với \(\overrightarrow{a}(3; 0; -6)\), \(\overrightarrow{b}(2; -4; 0)\). b) \(\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}\) với \(\overrightarrow{c}(1; -5; 2)\), \(\overrightarrow{d}(4; 3; -5)\). Giải: a) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 3.2 + 0.(-4) +(-6).0 = 6\). b) \(\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d} = 1.4 + (-5).3 + 2.(-5) = -21\). Bài tập 5 - Trang 68 - SGK Hình học 12. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây: a) \({x^2} + {\rm{ }}{y^{2}} + {\rm{ }}{z^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) ; b) \(3{x^2} + {\rm{ }}3{y^2} + {\rm{ }}3{z^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} + {\rm{ }}15z{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Giải: a) Ta có phương trình : \({x^2} + {\rm{ }}{y^{2}} + {\rm{ }}{z^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \( \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}{z^2} = {\rm{ }}{4^2}\) Đây là mặt cầu tâm \(I(4; 1; 0)\) và có bán kính \(r = 4\). b) Ta có phương trình: \(3{x^2} + {\rm{ }}3{y^2} + {\rm{ }}3{z^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} + {\rm{ }}15z{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2}{\rm{ - }}2x + {8 \over 3}y + 5z{\rm{ - }}1 = 0\) \(⇔ (x-1)^{2}+(y+\frac{4}{3})^{2}+(z+\frac{5}{2})^{2}= (\frac{19}{6})^{2}\). Đây là mặt cầu tâm \(J(1; -\frac{4}{3};-\frac{5}{2})\) và có bán kính là \(R = \frac{19}{6}\). Bài 6 - Trang 68 - SGK Hình học 12. Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây: a) Có đường kính \(AB\) với \(A(4 ; -3 ; 7), B(2 ; 1 ; 3)\) b) Đi qua điểm \(A = (5; -2; 1)\) và có tâm \(C(3; -3; 1)\) Giải: a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), thì mặt cầu có đường kính \(AB\), có tâm \(I\) và bán kính \(r =\frac{1}{2}AB=IA\). Ta có : \(I (3; -1; 5)\) và \(r^2 = IA^2 = 9\). Do vậy phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) có dạng: \({\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right)^{2}} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {z{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right)^2} = {\rm{ }}9\) b) Mặt cầu cần tìm có tâm \(C(3; -3; 1)\) và có bán kính \(r = CA = \sqrt{4+1+0}=\sqrt{5}\) Do đó phương trình mặt cầu có dạng: \({\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^{2}} + {\rm{ }}{\left( {z{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2} = {\rm{ }}5\).
