Bài tập 1 - Trang 89 - SGK Hình học 12. Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) trong các trường hợp sau: a) \(d\) đi qua điểm \(M(5 ; 4 ; 1)\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}(2 ; -3 ; 1)\) ; b) \(d\) đi qua điểm \(A(2 ; -1 ; 3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((α)\) có phương trình: \(x + y - z + 5 = 0\) ; c) \(d\) đi qua điểm \(B(2 ; 0 ; -3)\) và song song với đường thẳng \(∆\) có phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x =1+2t\\ y=-3+3t\\ z=4t \end{matrix}\right.\) ; d) \(d\) đi qua hai điểm \( P(1 ; 2 ; 3)\) và \( Q(5 ; 4 ; 4)\). Giải: a) Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng: \(\left\{\begin{matrix} x =5+2t\\ y=4-3t\\ z=1+t \end{matrix}\right.\), với \(t ∈ \mathbb{R}\). b) Đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \((α): x + y - z + 5 = 0\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(1 ; 1 ; -1)\) vì \(\overrightarrow{u}\) là vectơ pháp tuyến của \((α)\). Do vậy phương trình tham số của \(d\) có dạng: \(\left\{\begin{matrix} x= 2+t & \\ y=-1+t &,t\in R .\\ z=3-t& \end{matrix}\right.\) c) Vectơ \(\overrightarrow{u}(2 ; 3 ; 4)\) là vectơ chỉ phương của \(∆\). Vì \(d // ∆\) nên \(\overrightarrow{u}\) cùng là vectơ chỉ phương của \(d\). Phương trình tham số của \(d\) có dạng: \(\left\{\begin{matrix} x=2+2s & \\ y=3s &,s\in R. \\ z=-3 + 4s & \end{matrix}\right.\) d) Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(P(1 ; 2 ; 3)\) và \(Q(5 ; 4 ; 4)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{PQ}(4 ; 2 ; 1)\) nên phương trình tham số có dạng: \(\left\{\begin{matrix}x= 1+4s & \\ y =2+2s&,s\in R. \\ z=3+s& \end{matrix}\right.\) Bài tập 2 - Trang 89 - SGK Hình học 12. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d\): \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=-3+2t & \\ z= 1+3t& \end{matrix}\right.\) lần lượt trên các mặt phẳng sau: a) \((Oxy)\) ; b) \((Oyz)\). Giải: a) Xét mặt phẳng \((P)\) đi qua \(d\) và \((P) ⊥ (Oxy)\), khi đó \(∆ = (P) ∩ (Oxy)\) chính là hình chiếu vuông góc của \(d\) lên mặt phẳng \((Oxy)\). Phương trình mặt phẳng \((Oxy)\) có dạng: \(z = 0\) ; vectơ \(\overrightarrow{k}\)(0 ; 0 ;1) là vectơ pháp tuyến của \((Oxy)\), khi đó \(\overrightarrow{k}\) và \(\overrightarrow{u}( 1 ; 2 ; 3)\) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((P)\). \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{k} \right ] = (2 ; -1 ; 0)\) là vectơ pháp tuyến của \((P)\). Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng: \(2(x - 2) - (y + 3) +0.(z - 1) = 0\) hay \(2x - y - 7 = 0\). Đường thẳng hình chiếu \(∆\) thỏa mãn hệ: \(\left\{\begin{matrix} z=0 & \\ 2x-y-7=0.& \end{matrix}\right.\) Điểm \(M_0( 4 ; 1 ; 0) ∈ ∆\) ; vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{v}\) của \(∆\) vuông góc với \(\overrightarrow{k}\) và vuông góc với \(\overrightarrow{n}\), vậy có thể lấy \(\overrightarrow{v}=\left [\overrightarrow{k},\overrightarrow{n} \right ]= (1 ; 2 ; 0)\). Phương trình tham số của hình chiếu \(∆\) có dạng: \(\left\{\begin{matrix} x=4+t & \\ y=1+2t& ,t\in R\\ z=0& \end{matrix}\right.\). b) Tương tự phần a), mặt phẳng \((Oxy)\) có phương trình \(x = 0\). lấy \(M_1( 2 ; 3 ; -1) ∈ d\) và \(M_2( 0 ; -7 ; -5) ∈ d\), hình chiếu vuông góc của \(M_1\) trên \((Oxy)\) là \(M_1\)\((0 ; -3 ; 1)\), hình chiếu vuông góc của \(M_2\) trên \((Oyz)\) là chính nó. Đườn thẳng \(∆\) qua \(M'_1, MM_2\) chính là hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \((Oyz)\). Ta có: \(\overrightarrow{M'_{1}M_{2}}(0 ; -4 ; -6)\) // \(\overrightarrow{v} (0 ; 2 ; 3)\). Phương trình \(M'_1M_2\) có dạng: \(\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=-3+2t&,t \in R \\ z=1+3t& \end{matrix}\right.\). Bài tập 3 - Trang 90 - SGK Hình học 12. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau: a) d: \(\left\{\begin{matrix} x=-3+2t & \\ y=-2+3t& \\ z=6+4t& \end{matrix}\right.\) và d': \(\left\{\begin{matrix} x=5+t'& \\ y=-1-4t'& \\ z=20+t'& \end{matrix}\right.\) ; b) d: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t& \\ y=2+t& \\ z=3-t& \end{matrix}\right.\) và d': \(\left\{\begin{matrix} x=1+2t'& \\ y=-1+2t'& \\ z=2-2t'.& \end{matrix}\right.\) Giải: a) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M_1( -3 ; -2 ; 6)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{1}}(2 ; 3 ; 4)\). Đường thẳng \(d'\) đi qua \(M_2( 5 ; -1 ; 20)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{2}}(1 ; -4 ; 1)\). Ta có \(\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ] = (19 ; 2 ; -11)\) ; \(\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (8 ; 1 ; 14) \) và \(\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ].\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (19.8 + 2 - 11.4) = 0\) nên \(d\) và \(d'\) cắt nhau. Nhận xét : Ta nhận thấy \(\overrightarrow{u_{1}}\), \(\overrightarrow{u_{2}}\) không cùng phương nên d và d' chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Xét hệ phương trình:\(\left\{\begin{matrix} -3+2t=5+t' & (1)\\ -2+3t=-1-4t' & (2) \\ 6+4t=20+t'& (3) \end{matrix}\right.\) Từ (1) với (3), trừ vế với vế ta có \(2t = 6 => t = -3\), thay vào (1) có \(t' = -2\), từ đó \(d\) và \(d'\) có điểm chung duy nhất \(M(3 ; 7 ; 18)\). Do đó d và d' cắt nhau. b) Ta có : \(\overrightarrow{u_{1}}(1 ; 1 ; -1)\) là vectơ chỉ phương của d và \(\overrightarrow{u_{2}}(2 ; 2 ; -2)\) là vectơ chỉ phương của d' . Ta thấy \(\overrightarrow{u_{1}}\) và \(\overrightarrow{u_{2}}\) cùng phương nên d và d' chỉ có thể song song hoặc trùng nhau. Lấy điểm \(M(1 ; 2 ; 3) ∈d\) ta thấy \(M \notin d'\) nên \(d\) và \(d'\) song song. Bài tập 4 - Trang 90 - SGK Hình học 12. Tìm \(a\) để hai đường thẳng sau đây cắt nhau: d: \(\left\{\begin{matrix} x=1+at & \\ y=t & \\ z= -1+2t & \end{matrix}\right.\) d': \(\left\{\begin{matrix} x=1-t' & \\ y=2+2t' & \\ z= 3-t'. & \end{matrix}\right.\) Giải: Xét hệ \(\left\{\begin{matrix} 1+at=1-s &(1)\\ t = 2+2s & (2)\\ -1+2t=3-s & (3) \end{matrix}\right.\) Hai đường thẳng d và d' cắt nhau khi và chỉ khi hệ có nghiệm duy nhất. Nhân hai vế của phương trình (3) với 2 rồi cộng vế với vế vào phương trình (2), ta có \(t = 2\); \(s = 0\). Thay vào phương trình (1) ta có \(1 + 2a = 1 => a =0\). Vậy \(a = 0\) thì d và d' cắt nhau. Bài tập 5 - Trang 90 - SGK Hình học 12. Tìm số giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((α)\) : a) d: \(\left\{\begin{matrix} x=12+4t & \\ y=9+3t & \\ z=1+t & \end{matrix}\right.\) và \((α) : 3x + 5y - z - 2 = 0\) ; b) d: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=2-t & \\ z=1+2t & \end{matrix}\right.\) và \((α) : x + 3y + z = 0\) ; c) d: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=1+2t & \\ z=2-3t & \end{matrix}\right.\) và \((α) : x + y + z - 4 = 0\). Giải: a) Thay các tọa độ \(x ; y ; z\) trong phương trình tham số của \(d\) vào phương trình \((α)\) ta có: \(3(12 + 4t) +5(9 + 3t) - (1 + t) = 0\) \( ⇔ 26t + 78 = 0 ⇔ t = -3\). Tức là \(d ∩ (α) = M(0 ; 0 ; -2)\). Trong trường hợp này \(d\) cắt \((α)\) tại điểm \(M\). b) Thay các tọa độ \(x ; y ; z\) trong phương trình tham số của \(d\) vào phương trình \((α)\) ta có: \((1 + t) + 3.(2 - t) + (1 + 2t) + 1 = 0\) \(⇔ 0.t +9= 0\), phương trình vô nghiệm. Chứng tỏ \(d\) và \((α)\) không cắt nhau hay \(d // (α)\). c) Thay các tọa độ \(x ; y ; z\) trong phương trình tham số của \(d\) vào phương trình \((α)\) ta có: \((1 + 1) + (1+ 2t) + (2 - 3t) - 4 = 0\) \(⇔ 0t + 0 = 0\) phương trình này có vô số nghiệm, chứng tỏ \(d ⊂ (α)\) . Bài tập 6 - Trang 90 - SGK Hình học 12. Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(∆\) : \(\Delta \left\{ \matrix{ x = - 3 + 2t \hfill \cr y = - 1 + 3t \hfill \cr z = - 1 + 2t \hfill \cr} \right.\) với mặt phẳng \((α)\) : \(2x - 2y + z + 3 = 0\). Giải: Đường thẳng \(∆\) qua điểm \(M(-3 ; -1 ; -1)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u (2 ; 3 ; 2)\). Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n (2 ; -2 ; 1)\). Ta có \(M ∉ (α)\) và \(\overrightarrow u .\overrightarrow n = 0\) nên \(∆ // (α)\). Do vậy \(d(∆,(α)) = d(M,(α))\) = \({{| - 6 + 2 - 1 + 3|} \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {2 \over 3}\). Bài tập 7 - Trang 91 - SGK Hình học 12. Cho điểm \(A(1 ; 0 ; 0)\) và đường thẳng \(∆\): \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=1+2t & \\ z=t & \end{matrix}\right.\). a) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên đường thẳng \(∆\). b) Tìm tọa độ điểm \(A'\) đối xứng với \(A\) qua đường thẳng \(∆\). Giải. a) Đường thẳng \(∆\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(1 ; 2 ; 1)\). \(H ∈ ∆\) nên \(H(2 + t ; 1 + 2t ; t)\). Điểm \(H ∈ ∆\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(∆\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AH}\bot\) \(\overrightarrow{u}\). Ta có \(\overrightarrow{AH}(1+t ; 1 + 2t ; t)\) nên: \(\overrightarrow{AH}\) ⊥ \(\overrightarrow{u}\) ⇔ \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AH}\) = 0. ⇔ \(1 + t + 2(1 + 2t) + t = 0\) ⇔ \(6t + 3 = 0 ⇔ t = -\frac{1}{2}\). ⇔ \(H\left (\frac{3}{2};0;-\frac{1}{2} \right )\). b) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(∆\) và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(∆\) thì \(H\) là trung điểm của \(AA'\); vì vậy tọa độ của \(H\) là trung bình cộng các tọa độ tương ứng của \(A\) và \(A'\). Gọi \(A'(x ; y ; z)\) ta có: \(\frac{x+1}{2}=\frac{3}{2} => x = 2; y = 0; z = -1\). Vậy \(A'(2 ; 0 ; -1)\). Bài tập 8 - Trang 91 - SGK Hình học 12. Cho điểm \(M(1 ; 4 ; 2)\) và mặt phẳng \((α): x + y + z -1 = 0\). a) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mặt phẳng \((α)\) ; b) Tìm tọa độ điểm \(M'\) đối xứng với \(M\) qua mặt phẳng \((α)\). c) Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((α)\). Giải: a) Xét đường thẳng \(d\) qua \(M\) và \(d ⊥ (α)\). Khi đó \(H\) chính là giao điểm của \(d\) và \((α)\). Vectơ \(\overrightarrow{n}(1 ; 1 ; 1)\) là vectơ pháp tuyến của \((α)\) nên \(\overrightarrow{n}\) là vectơ chỉ phương của \(d\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=4+t & \\ z=2+t & \end{matrix}\right.\). Thay tọa độ \(x ; y ; z\) của phương trình trên vào phương trình xác định \((α)\), ta có: \(3t + 6 = 0 => t = -2 => H(-1 ; 2 ; 0)\). b) Gọi \(M'(x ; y ; z)\) là điểm đối xứng của \(M\) qua mặt phẳng \((α)\), thì hình chiếu vuông góc \(H\) của \(M\) xuống \((α)\) chính là trung điểm của \(MM'\). Ta có: \(\frac{x+1}{2}=-1 => x = -3\) ; \(\frac{y+4}{2}=2 => y = 0\) ; \(\frac{z+2}{2}=0 => z = -2\). Vậy \(M'(-3 ; 0 ;2)\). c) Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((α)\) Cách 1: \(d(M,(\alpha ))=\frac{|1+4+2-1|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\). Cách 2: Khoảng cách từ M đến (α) chính là khoảng cách MH: \(d(M,(α) )= MH\) = \(\sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{3}\). Bài tập 9 - Trang 91 - SGK Hình học 12. Cho hai đường thẳng: \(d\): \(\left\{\begin{matrix} x=1-t & \\ y=2+2t & \\ z=3t& \end{matrix}\right.\) và \(d'\): \(\left\{\begin{matrix} x=1+t' & \\ y=3-2t' & \\ z=1& \end{matrix}\right.\). Chứng minh d và d' chéo nhau. Giải: Đường thẳng \(d\) qua điểm \(M(1 ; 2 ; 0)\) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(-1 ; 2 ; 3)\). Đường thẳng \(d'\) qua điểm \(M'(1 ; 3 ;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u'}(1 ; -2 ; 0)\). Cách 1. Xét \(\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right ]=\left (\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -2&0 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 3 &-1 \\ 0&1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} -1 & 2\\ 1& -2 \end{vmatrix} \right )\) \(= (6 ; 3 ;0)\). \(\overrightarrow{MM'} = (0 ; 1 ; 1)\). Ta có : \(\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right ].\overrightarrow{MM'}= 6.0 + 3.1 + 0.1 = 3≠ 0\). Do đó d và d' chéo nhau. Bài tập 10 - Trang 91 - SGK Hình học 12. Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ: Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(1\). Tính khoảng cách từ đỉnh \(A\) đến các mặt phẳng \((A'BD)\) và \((B'D'C)\). Giải Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1; 0), A'(0 ; 0 ; 1)\) Khi đó \(B'(1 ; 0 ; 1), D'(0 ; 1 ; 1), C(1 ; 1 ; 0)\). Phương trình mặt phẳng \((A'BD)\) có dạng: \(x + y + z - 1 = 0\). (1) \(\overrightarrow{CB'}(0 ; -1 ; 1)\) ; \(\overrightarrow{CD'}(-1 ; 0 ; 1)\). Mặt phẳng \((B'D'C)\) qua điểm \(C\) và nhận \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{CB'},\overrightarrow{CD'} \right ] = (-1 ; -1 ; -1 )\) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng \((B'D'C)\) có dạng: \(x + y + z - 2 = 0\) (2) Ta có \(d_{1}(A,(A'BD))=\frac{1}{\sqrt{3}}.\) \(d_{2}(A,(B'D'C))=\frac{2}{\sqrt{3}}.\)