Hình học 12 cơ bản - Chương 3 - Bài 3. Phương trình đường thẳng trong không gian

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài tập 1 - Trang 89 - SGK Hình học 12. Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) trong các trường hợp sau:

    a) \(d\) đi qua điểm \(M(5 ; 4 ; 1)\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}(2 ; -3 ; 1)\) ;

    b) \(d\) đi qua điểm \(A(2 ; -1 ; 3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((α)\) có phương trình:

    \(x + y - z + 5 = 0\) ;

    c) \(d\) đi qua điểm \(B(2 ; 0 ; -3)\) và song song với đường thẳng \(∆\) có phương trình:

    \(\left\{\begin{matrix} x =1+2t\\ y=-3+3t\\ z=4t \end{matrix}\right.\) ;

    d) \(d\) đi qua hai điểm \( P(1 ; 2 ; 3)\) và \( Q(5 ; 4 ; 4)\).

    Giải:

    a) Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng: \(\left\{\begin{matrix} x =5+2t\\ y=4-3t\\ z=1+t \end{matrix}\right.\), với \(t ∈ \mathbb{R}\).

    b) Đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \((α): x + y - z + 5 = 0\) nên có vectơ chỉ phương

    \(\overrightarrow{u}(1 ; 1 ; -1)\) vì \(\overrightarrow{u}\) là vectơ pháp tuyến của \((α)\).

    Do vậy phương trình tham số của \(d\) có dạng:

    \(\left\{\begin{matrix} x= 2+t & \\ y=-1+t &,t\in R .\\ z=3-t& \end{matrix}\right.\)

    c) Vectơ \(\overrightarrow{u}(2 ; 3 ; 4)\) là vectơ chỉ phương của \(∆\). Vì \(d // ∆\) nên \(\overrightarrow{u}\) cùng là vectơ chỉ phương của \(d\). Phương trình tham số của \(d\) có dạng:

    \(\left\{\begin{matrix} x=2+2s & \\ y=3s &,s\in R. \\ z=-3 + 4s & \end{matrix}\right.\)

    d) Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(P(1 ; 2 ; 3)\) và \(Q(5 ; 4 ; 4)\) có vectơ chỉ phương

    \(\overrightarrow{PQ}(4 ; 2 ; 1)\) nên phương trình tham số có dạng:

    \(\left\{\begin{matrix}x= 1+4s & \\ y =2+2s&,s\in R. \\ z=3+s& \end{matrix}\right.\)

    Bài tập 2 - Trang 89 - SGK Hình học 12. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng

    \(d\): \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=-3+2t & \\ z= 1+3t& \end{matrix}\right.\)

    lần lượt trên các mặt phẳng sau:

    a) \((Oxy)\) ;

    b) \((Oyz)\).

    Giải:

    a) Xét mặt phẳng \((P)\) đi qua \(d\) và \((P) ⊥ (Oxy)\), khi đó \(∆ = (P) ∩ (Oxy)\) chính là hình chiếu vuông góc của \(d\) lên mặt phẳng \((Oxy)\).

    Phương trình mặt phẳng \((Oxy)\) có dạng: \(z = 0\) ; vectơ \(\overrightarrow{k}\)(0 ; 0 ;1) là vectơ pháp tuyến của \((Oxy)\), khi đó \(\overrightarrow{k}\) và \(\overrightarrow{u}( 1 ; 2 ; 3)\) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((P)\).

    \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{k} \right ] = (2 ; -1 ; 0)\) là vectơ pháp tuyến của \((P)\).

    Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng:

    \(2(x - 2) - (y + 3) +0.(z - 1) = 0\)

    hay \(2x - y - 7 = 0\).

    Đường thẳng hình chiếu \(∆\) thỏa mãn hệ:

    \(\left\{\begin{matrix} z=0 & \\ 2x-y-7=0.& \end{matrix}\right.\)

    Điểm \(M_0( 4 ; 1 ; 0) ∈ ∆\) ; vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{v}\) của \(∆\) vuông góc với \(\overrightarrow{k}\) và vuông góc với \(\overrightarrow{n}\), vậy có thể lấy \(\overrightarrow{v}=\left [\overrightarrow{k},\overrightarrow{n} \right ]= (1 ; 2 ; 0)\).

    Phương trình tham số của hình chiếu \(∆\) có dạng:

    \(\left\{\begin{matrix} x=4+t & \\ y=1+2t& ,t\in R\\ z=0& \end{matrix}\right.\).

    b) Tương tự phần a), mặt phẳng \((Oxy)\) có phương trình \(x = 0\).

    lấy \(M_1( 2 ; 3 ; -1) ∈ d\) và \(M_2( 0 ; -7 ; -5) ∈ d\), hình chiếu vuông góc của

    \(M_1\) trên \((Oxy)\) là \(M_1\)\((0 ; -3 ; 1)\), hình chiếu vuông góc của \(M_2\) trên \((Oyz)\) là chính nó.

    Đườn thẳng \(∆\) qua \(M'_1, MM_2\) chính là hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \((Oyz)\).

    Ta có: \(\overrightarrow{M'_{1}M_{2}}(0 ; -4 ; -6)\) // \(\overrightarrow{v} (0 ; 2 ; 3)\).

    Phương trình \(M'_1M_2\) có dạng:

    \(\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=-3+2t&,t \in R \\ z=1+3t& \end{matrix}\right.\).

    Bài tập 3 - Trang 90 - SGK Hình học 12. Xét vị trí tương đối của đường thẳng dd' trong các trường hợp sau:

    a) d: \(\left\{\begin{matrix} x=-3+2t & \\ y=-2+3t& \\ z=6+4t& \end{matrix}\right.\) và

    d': \(\left\{\begin{matrix} x=5+t'& \\ y=-1-4t'& \\ z=20+t'& \end{matrix}\right.\) ;

    b) d: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t& \\ y=2+t& \\ z=3-t& \end{matrix}\right.\) và

    d': \(\left\{\begin{matrix} x=1+2t'& \\ y=-1+2t'& \\ z=2-2t'.& \end{matrix}\right.\)

    Giải:

    a) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M_1( -3 ; -2 ; 6)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{1}}(2 ; 3 ; 4)\).

    Đường thẳng \(d'\) đi qua \(M_2( 5 ; -1 ; 20)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{2}}(1 ; -4 ; 1)\).

    Ta có \(\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ] = (19 ; 2 ; -11)\) ; \(\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (8 ; 1 ; 14) \)

    và \(\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ].\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (19.8 + 2 - 11.4) = 0\)

    nên \(d\) và \(d'\) cắt nhau.

    Nhận xét : Ta nhận thấy \(\overrightarrow{u_{1}}\), \(\overrightarrow{u_{2}}\) không cùng phương nên d và d' chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

    Xét hệ phương trình:\(\left\{\begin{matrix} -3+2t=5+t' & (1)\\ -2+3t=-1-4t' & (2) \\ 6+4t=20+t'& (3) \end{matrix}\right.\)

    Từ (1) với (3), trừ vế với vế ta có \(2t = 6 => t = -3\), thay vào (1) có \(t' = -2\), từ đó \(d\) và \(d'\) có điểm chung duy nhất \(M(3 ; 7 ; 18)\). Do đó dd' cắt nhau.

    b) Ta có : \(\overrightarrow{u_{1}}(1 ; 1 ; -1)\) là vectơ chỉ phương của d và \(\overrightarrow{u_{2}}(2 ; 2 ; -2)\) là vectơ chỉ phương của d' .

    Ta thấy \(\overrightarrow{u_{1}}\) và \(\overrightarrow{u_{2}}\) cùng phương nên d và d' chỉ có thể song song hoặc trùng nhau.

    Lấy điểm \(M(1 ; 2 ; 3) ∈d\) ta thấy \(M \notin d'\) nên \(d\) và \(d'\) song song.

    Bài tập 4 - Trang 90 - SGK Hình học 12. Tìm \(a\) để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:

    d: \(\left\{\begin{matrix} x=1+at & \\ y=t & \\ z= -1+2t & \end{matrix}\right.\) d': \(\left\{\begin{matrix} x=1-t' & \\ y=2+2t' & \\ z= 3-t'. & \end{matrix}\right.\)

    Giải:

    Xét hệ \(\left\{\begin{matrix} 1+at=1-s &(1)\\ t = 2+2s & (2)\\ -1+2t=3-s & (3) \end{matrix}\right.\)

    Hai đường thẳng dd' cắt nhau khi và chỉ khi hệ có nghiệm duy nhất.

    Nhân hai vế của phương trình (3) với 2 rồi cộng vế với vế vào phương trình (2), ta có \(t = 2\); \(s = 0\). Thay vào phương trình (1) ta có \(1 + 2a = 1 => a =0\).

    Vậy \(a = 0\) thì dd' cắt nhau.

    Bài tập 5 - Trang 90 - SGK Hình học 12. Tìm số giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((α)\) :

    a) d: \(\left\{\begin{matrix} x=12+4t & \\ y=9+3t & \\ z=1+t & \end{matrix}\right.\) và \((α) : 3x + 5y - z - 2 = 0\) ;

    b) d: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=2-t & \\ z=1+2t & \end{matrix}\right.\) và \((α) : x + 3y + z = 0\) ;

    c) d: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=1+2t & \\ z=2-3t & \end{matrix}\right.\) và \((α) : x + y + z - 4 = 0\).

    Giải:

    a) Thay các tọa độ \(x ; y ; z\) trong phương trình tham số của \(d\) vào phương trình \((α)\) ta có:

    \(3(12 + 4t) +5(9 + 3t) - (1 + t) = 0\)

    \( ⇔ 26t + 78 = 0 ⇔ t = -3\).

    Tức là \(d ∩ (α) = M(0 ; 0 ; -2)\).

    Trong trường hợp này \(d\) cắt \((α)\) tại điểm \(M\).

    b) Thay các tọa độ \(x ; y ; z\) trong phương trình tham số của \(d\) vào phương trình \((α)\) ta có:

    \((1 + t) + 3.(2 - t) + (1 + 2t) + 1 = 0\)

    \(⇔ 0.t +9= 0\), phương trình vô nghiệm.

    Chứng tỏ \(d\) và \((α)\) không cắt nhau hay \(d // (α)\).

    c) Thay các tọa độ \(x ; y ; z\) trong phương trình tham số của \(d\) vào phương trình \((α)\) ta có:

    \((1 + 1) + (1+ 2t) + (2 - 3t) - 4 = 0\)

    \(⇔ 0t + 0 = 0\)

    phương trình này có vô số nghiệm, chứng tỏ \(d ⊂ (α)\) .

    Bài tập 6 - Trang 90 - SGK Hình học 12. Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(∆\) :

    \(\Delta \left\{ \matrix{
    x = - 3 + 2t \hfill \cr
    y = - 1 + 3t \hfill \cr
    z = - 1 + 2t \hfill \cr} \right.\)

    với mặt phẳng \((α)\) : \(2x - 2y + z + 3 = 0\).

    Giải:

    Đường thẳng \(∆\) qua điểm \(M(-3 ; -1 ; -1)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u (2 ; 3 ; 2)\).

    Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n (2 ; -2 ; 1)\).

    Ta có \(M ∉ (α)\) và \(\overrightarrow u .\overrightarrow n = 0\) nên \(∆ // (α)\).

    Do vậy \(d(∆,(α)) = d(M,(α))\) = \({{| - 6 + 2 - 1 + 3|} \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {2 \over 3}\).

    Bài tập 7 - Trang 91 - SGK Hình học 12. Cho điểm \(A(1 ; 0 ; 0)\) và đường thẳng \(∆\): \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=1+2t & \\ z=t & \end{matrix}\right.\).

    a) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên đường thẳng \(∆\).

    b) Tìm tọa độ điểm \(A'\) đối xứng với \(A\) qua đường thẳng \(∆\).

    Giải.

    a) Đường thẳng \(∆\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(1 ; 2 ; 1)\). \(H ∈ ∆\) nên \(H(2 + t ; 1 + 2t ; t)\).

    Điểm \(H ∈ ∆\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(∆\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AH}\bot\) \(\overrightarrow{u}\).

    Ta có \(\overrightarrow{AH}(1+t ; 1 + 2t ; t)\) nên:

    \(\overrightarrow{AH}\) ⊥ \(\overrightarrow{u}\) ⇔ \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AH}\) = 0.

    ⇔ \(1 + t + 2(1 + 2t) + t = 0\)

    ⇔ \(6t + 3 = 0 ⇔ t = -\frac{1}{2}\).

    ⇔ \(H\left (\frac{3}{2};0;-\frac{1}{2} \right )\).

    b) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(∆\) và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(∆\) thì \(H\) là trung điểm của \(AA'\); vì vậy tọa độ của \(H\) là trung bình cộng các tọa độ tương ứng của \(A\) và \(A'\).

    Gọi \(A'(x ; y ; z)\) ta có:

    \(\frac{x+1}{2}=\frac{3}{2} => x = 2; y = 0; z = -1\).

    Vậy \(A'(2 ; 0 ; -1)\).

    Bài tập 8 - Trang 91 - SGK Hình học 12. Cho điểm \(M(1 ; 4 ; 2)\) và mặt phẳng \((α): x + y + z -1 = 0\).

    a) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mặt phẳng \((α)\) ;

    b) Tìm tọa độ điểm \(M'\) đối xứng với \(M\) qua mặt phẳng \((α)\).

    c) Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((α)\).

    Giải:

    a) Xét đường thẳng \(d\) qua \(M\) và \(d ⊥ (α)\).

    Khi đó \(H\) chính là giao điểm của \(d\) và \((α)\).

    Vectơ \(\overrightarrow{n}(1 ; 1 ; 1)\) là vectơ pháp tuyến của \((α)\) nên \(\overrightarrow{n}\) là vectơ chỉ phương của \(d\).

    Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=4+t & \\ z=2+t & \end{matrix}\right.\).

    Thay tọa độ \(x ; y ; z\) của phương trình trên vào phương trình xác định \((α)\), ta có:

    \(3t + 6 = 0 => t = -2 => H(-1 ; 2 ; 0)\).

    b) Gọi \(M'(x ; y ; z)\) là điểm đối xứng của \(M\) qua mặt phẳng \((α)\), thì hình chiếu vuông góc \(H\) của \(M\) xuống \((α)\) chính là trung điểm của \(MM'\).

    Ta có:

    \(\frac{x+1}{2}=-1 => x = -3\) ;

    \(\frac{y+4}{2}=2 => y = 0\) ;

    \(\frac{z+2}{2}=0 => z = -2\).

    Vậy \(M'(-3 ; 0 ;2)\).

    c) Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((α)\)

    Cách 1: \(d(M,(\alpha ))=\frac{|1+4+2-1|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\).

    Cách 2: Khoảng cách từ M đến (α) chính là khoảng cách MH:

    \(d(M,(α) )= MH\) = \(\sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{3}\).

    Bài tập 9 - Trang 91 - SGK Hình học 12. Cho hai đường thẳng:

    \(d\): \(\left\{\begin{matrix} x=1-t & \\ y=2+2t & \\ z=3t& \end{matrix}\right.\) và \(d'\): \(\left\{\begin{matrix} x=1+t' & \\ y=3-2t' & \\ z=1& \end{matrix}\right.\).

    Chứng minh d và d' chéo nhau.

    Giải:

    Đường thẳng \(d\) qua điểm \(M(1 ; 2 ; 0)\) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(-1 ; 2 ; 3)\).

    Đường thẳng \(d'\) qua điểm \(M'(1 ; 3 ;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u'}(1 ; -2 ; 0)\).

    Cách 1. Xét \(\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right ]=\left (\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -2&0 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 3 &-1 \\ 0&1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} -1 & 2\\ 1& -2 \end{vmatrix} \right )\)

    \(= (6 ; 3 ;0)\).

    \(\overrightarrow{MM'} = (0 ; 1 ; 1)\).

    Ta có : \(\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right ].\overrightarrow{MM'}= 6.0 + 3.1 + 0.1 = 3≠ 0\).

    Do đó d và d' chéo nhau.

    Bài tập 10 - Trang 91 - SGK Hình học 12. Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:

    Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(1\). Tính khoảng cách từ đỉnh \(A\) đến các mặt phẳng \((A'BD)\) và \((B'D'C)\).

    Giải

    [​IMG]


    Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1; 0), A'(0 ; 0 ; 1)\)

    Khi đó

    \(B'(1 ; 0 ; 1), D'(0 ; 1 ; 1), C(1 ; 1 ; 0)\). Phương trình mặt phẳng \((A'BD)\) có dạng:

    \(x + y + z - 1 = 0\). (1)

    \(\overrightarrow{CB'}(0 ; -1 ; 1)\) ; \(\overrightarrow{CD'}(-1 ; 0 ; 1)\).

    Mặt phẳng \((B'D'C)\) qua điểm \(C\) và nhận \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{CB'},\overrightarrow{CD'} \right ] = (-1 ; -1 ; -1 )\) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng \((B'D'C)\) có dạng:

    \(x + y + z - 2 = 0\) (2)

    Ta có \(d_{1}(A,(A'BD))=\frac{1}{\sqrt{3}}.\)

    \(d_{2}(A,(B'D'C))=\frac{2}{\sqrt{3}}.\)