Bài 1 trang 91 SGK Hình học 12. Cho hệ toạ độ \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A( 1 ; 0 ; 0 ), B( 0 ; 1 ; 0 ), C( 0 ; 0 ; 1 ), D( -2 ; 1 ; -1)\). a) Chứng minh \(A, B, C, D\) là bốn đỉnh của một tứ diện. b) Tìm góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\). c) Tính độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\). Giải a) Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\): Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có: \((ABC)\): \({x \over 1} + {y \over 1} + {z \over 1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\) Thế các toạ độ của \(D\) vào vế phải của phương trình mặt phẳng \((ABC)\), ta có: \(-2 + 1 - 1 - 1 = 1 ≠ 0\) Vậy \(D ∉ (ABC)\) hay bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng, suy ra đpcm. b) Gọi \(α\) là góc giữa hai đường thẳng \(AB, CD\) ta có: \(cos α =\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|\) Do đó, ta tính \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \),\(\overrightarrow {CD} \) được tính theo công thức: \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = {{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}\) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 1,1,0)\), \(\overrightarrow {CD} = ( - 2,1, - 2)\) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}= (-1).(-2) + 1.1 + 0.(-2) = 3\) \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2 \) \(\left| {\overrightarrow {CD} } \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} = 3\) \( \Rightarrow \cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = {3 \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = 45^0\) \( \Rightarrow α = 45^0\) c) Ta có \(\overrightarrow {BC} = (0; - 1;1),\) \(\overrightarrow {BD} = ( - 2;0; - 1)\) Gọi \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của \((BCD)\) thì: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (-1; -2; 2)\) Phương trình mặt phẳng \((BCD)\): \(-1(x - 0) - 2(y - 1) + 2( z - 0) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y - 2z - 2 = 0\) Chiều cao của hình chóp \(A.BCD\) bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((BCD)\): \(h = d(A,(BCD)) = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = {3 \over 3} = 1\) Bài 2 trang 91 SGK Hình học 12. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\) có đường kính là \(AB\) biết rằng \(A( 6 ; 2 ; -5), B(-4 ; 0 ; 7)\). a) Tìm toạ độ tâm \(I\) và tính bán kính \(r\) của mặt cầu \((S)\) b) Lập phương trình của mặt cầu \((S)\). c) Lập phương trình của mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) tại điểm \(A\). Giải a) Tâm \(I\) của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\): \(\left\{ \matrix{ {x_1} = {1 \over 2}(6 - 4) \Rightarrow {x_1} = 1 \hfill \cr {y_1} = {1 \over 2}(2 + 0) \Rightarrow {y_1} = 1 \hfill \cr {z_1} = {1 \over 2}(7 - 5) \Rightarrow {z_1} = 1 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(I(1; 1; 1)\) Bán kính \(R = {{AB} \over 2}\) \(A{B^2} = {\rm{ }}{\left( { - 4{\rm{ }} - {\rm{ }}6} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {{\rm{ }}0{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {7{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)^2} = {\rm{ }}248\) \( \Rightarrow AB = \sqrt {248} = 2\sqrt {62} \) Vậy \(R = {{AB} \over 2} = \sqrt {62} \) b) Phương trình mặt cầu \((S)\) \({\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^{2}} = {\rm{ }}62\) \( \Leftrightarrow \) \({x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} - {\rm{ }}2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} - {\rm{ }}2z{\rm{ }} - {\rm{ }}59{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) c) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \(A\) chính là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với bán kính \(IA\). Ta có: \(\overrightarrow {IA} = (5; 1 ; -6)\) Phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(5(x - 6) + 1(y - 2) - 6(z + 5) = 0\) \( \Leftrightarrow 5x + y - 6z - 62 = 0\) Bài 3 trang 92 SGK Hình học 12. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A(-2 ; 6 ; 3), B(1 ; 0 ; 6), C(0; 2 ; -1), D(1 ; 4 ; 0)\). a) Viết phương trình mặt phẳng \((BCD)\). Suy ra \(ABCD\) là một tứ diện. b) Tính chiều cao \(AH\) của tứ diện \(ABCD\). c) Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\). Giải a) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = (-1; 2; -7)\), \(\overrightarrow {BD}= (0; 4; -6)\) Xét vectơ \(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]\) \( \Rightarrow \overrightarrow a = (16; - 6; - 4) = 2(8; - 3; - 2)\) Mặt phẳng \((BCD)\) đi qua \(B\) và nhận \(\overrightarrow {a'} = (8; -3; -2)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: \(8(x - 1) -3y - 2(z - 6) = 0\) \( \Leftrightarrow 8x - 3y - 2z + 4 = 0\) Thay toạ độ của \(A\) vào phương trình của \((BC)\) ta có: \(8.(-2) - 3.6 - 2.6 + 4 = -42 ≠ 0\) Điều này chứng tỏ điểm \(A\) không thuộc mặt phẳng \((BCD)\) hay bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng, và \(ABCD\) là một tứ diện. b) Chiều cao \(AH\) là khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((BCD)\): \(AH = d(A,(BCD))\) = \({{\left| {8.( - 2) - 3.6 - 2.3 + 4} \right|} \over {\sqrt {{8^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = {{36} \over {\sqrt {77} }}\) c) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (3; - 6; 3)\), \(\overrightarrow {CD} = ( 1; 2; 1)\) Mặt phẳng \((α)\) chứa \(AB\) và \(CD\) chính là mặt phẳng đi qua \(A(-2; 6; 3)\) và nhận cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {CD} \) làm cặp vectơ chỉ phương, có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]\) \(\Rightarrow \overrightarrow n \) = \((-12; 0; 12) = -12(1; 0; -1)\) Vậy phương trình của \((α)\) là: \(1(x + 2) + 0(y - 6) - 1(z - 3) = 0 \)\( \Leftrightarrow x - z + 5 = 0\) Bài 4 trang 92 SGK Hình học 12. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), lập phương trình tham số của đường thẳng: a) Đi qua hai điểm \(A(1 ; 0 ; -3), B(3 ; -1 ; 0)\). b) Đi qua điểm \(M(2 ; 3 ; -5)\) và song song với đường thẳng \(∆\) có phương trình. \(\left\{ \matrix{ x = - 2 + 2t \hfill \cr y = 3 - 4t \hfill \cr z = - 5t. \hfill \cr} \right.\) Giải a) Đường thẳng \(d\) qua \(A, B\) có vectơ chỉ phương \((2, -1, 3)\) nên phương trình tham số của \(d\) có dạng: \(\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - t \hfill \cr z = - 3 + 3t \hfill \cr} \right.\) với \(t ∈ \mathbb{R}\). b) Đường thẳng \(d // ∆\). Mà \(\overrightarrow u (2, -4, -5)\) là vectơ chỉ phương của \(∆\) nên cũng là vectơ chỉ phương của \(d\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \(\left\{ \matrix{ x = 2 + 2s \hfill \cr y = 3 - 4s \hfill \cr z = - 5 - 5s \hfill \cr} \right.\) với \(s ∈ \mathbb{R}\). Bài 5 trang 92 SGK Hình học 12. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\) có phương trình: \({(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 100\) và mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(2x - 2y - z + 9 = 0\). Mặt phẳng \((α)\) cắt mặt cầu \((S)\) theo một đường tròn \((C)\). Hãy xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn \((C)\). Giải Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(3, -2, 1)\) và bán kính \(R = 10\). Khoảng cách từ tâm \(I\) của mặt cầu \((S)\) đến mặt phẳng \((α)\) là: \(d(I, α)\) = \(\left| {{{2.3 - 2.( - 2) - 1 + 9} \over {\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 1)}^2}} }}} \right| = {{18} \over 3} = 6\) Vì \(d(I, α) < R\) \( \Rightarrow \) Mặt phẳng \((α)\) cắt mặt cầu \((S)\) theo đường tròn \((C)\) có phương trình \((C)\): \(\left\{ \matrix{ 2x - 2y - z + 9 = 0 \hfill \cr {(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 100 \hfill \cr} \right.\) Tâm \(K\) của đường tròn \((C)\) là hình chiếu vuông góc của tâm \(I\) của mặt cầu trên mặt phẳng \((α)\). Mặt phẳng \(((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (2, -2. -1)\). Đường thẳng \(d\) qua \(I\) và vuông góc với \((α)\) nhận \(\overrightarrow n = (2, -2, -1)\) làm vectơ chỉ phương và có phương trình \(d\) : \(\left\{ \matrix{ x = 3 + 2t \hfill \cr y = - 2 - 2t \hfill \cr z = 1 - t \hfill \cr} \right.\) Thế các biểu thức của \(x,y,z\) theo \(t\) vào phương trình của \((\alpha)\) ta được: \(2.(3+2t)-2.(-2-2t)-(1-t)+9=0\) \(\Rightarrow t=-2\) Thay \(t = -2\) vào phương trình của \(d\), ta được toạ độ tâm \(K\) của đường tròn \((C)\). \(\left\{ \matrix{ x = 3 + 2.( - 2) = - 1 \hfill \cr y = - 2 - 2.( - 2) = 2 \hfill \cr z = 1 - 2.( - 2) = 3 \hfill \cr} \right.\) \( \Rightarrow K(-1; 2;3)\) Ta có: \(I{K^2} = {\rm{ }}{\left( { - 1{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {3{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^2} = {\rm{ }}36\) Bán kính \(r\) của đường tròn \((C)\) là: \({r^2} = {\rm{ }}{R^2} - {\rm{ }}I{K^2} = {\rm{ }}{10^2} - {\rm{ }}36{\rm{ }} = {\rm{ }}64\) \( \Rightarrow r= 8\) Bài 6 trang 92 SGK Hình học 12. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(3x + 5y - z -2 = 0\) và đường thẳng \(d\) có phương trình \(\left\{ \matrix{ x = 12 + 4t \hfill \cr y = 9 + 3t \hfill \cr z = 1 + t. \hfill \cr} \right.\) a) Tìm giao điểm \(M\) của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((α)\). b) Viết phương trình mặt phẳng \((β)\) chứa điểm \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(d\). Giải a) Thay toạ độ \(x, y, z\) trong phương trình đường thẳng \(d\) vào phương trình \((α)\), ta có: \(3(12 + 4t) + 5( 9 + 3t) - (1 + t) - 2 = 0\). \(\Rightarrow 26t + 78 = 0\) \( \Rightarrow t = - 3\) \( \Rightarrow M(0; 0; - 2)\). b) Vectơ \(\overrightarrow u (4; 3; 1)\) là vectơ chỉ phương của \(d\). Mặt phẳng \((β)\) vuông góc với \(d\) nhận \(\overrightarrow u \) làm vectơ pháp tuyến. Vì \(M(0; 0; -2) ∈ (β)\) nên phương trình \((β)\) có dạng: \(4(x - 0) + 3(y - 0) + (z + 2) = 0\) hay \(4x + 3y + z + 2 = 0\) Bài 7 trang 92 SGK Hình học 12. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho điểm \(A(-1 ; 2 ; -3)\), vectơ \(\vec a= (6 ; -2 ; -3)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình: \(\left\{ \matrix{ x = 1 + 3t \hfill \cr y = - 1 + 2t \hfill \cr z = 3 - 5t. \hfill \cr} \right.\) a) Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa điểm \(A\) và vuông góc với giá của \(\vec a\). b) Tìm giao điểm của \(d\) và \((α)\). c) Viết phương trình đường thẳng \(∆\) đi qua điểm \(A\), vuông góc với giá của \(\vec a\) và cắt đường thẳng \(d\). Giải a) Mặt phẳng \((α)\) vuông góc với giá của \(\vec a\) nhận \(\vec a\) làm vectơ pháp tuyến; \((α)\) đi qua \(A(-1; 2; -3)\) có phương trình: \(6(x + 1) - 2(y - 2) - 3(z + 3) = 0\) \( \Leftrightarrow 6x - 2y - 3z + 1 = 0\) b) Thay các biểu thức của \(x, y, z\) theo \(t\) trong phương trình tham số của \(∆\) vào phương trình \((α)\) ta có: \(6.(1 + 3t) - 2(-1 + 2t) - 3(3 - 5t) + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow t = 0\). Từ đây ta tính được toạ độ giao điểm \(M\) của \(d\) và \((α)\): \(M(1; -1; 3)\). c) Đường thẳng \(∆\) cần tìm chính là đường thẳng \(AM\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AM} \) làm vectơ chỉ phương: \(\overrightarrow {AM} = (2; -3; 6)\) Phương trình đường thẳng \(AM\): \(\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - 3t \hfill \cr z = 3 + 6t \hfill \cr} \right.\) Bài 8 trang 93 SGK Hình học 12. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 10x + 2y + 26z + 170 = 0\) và song song với hai đường thẳng \(d:\left\{ \matrix{ x = - 5 + 2t \hfill \cr y = 1 - 3t \hfill \cr z = - 13 + 2t \hfill \cr} \right.\) \(d':\left\{ \matrix{ x = - 7 + 3k \hfill \cr y = - 1 - 2k \hfill \cr z = 8 \hfill \cr} \right.\) Giải Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (2; -3; 2)\) \(d'\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {a'} = (3; -2; 0)\) Mặt phẳng \((α)\) song song với \(d\) và \(d'\) nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right]\) làm vectơ pháp tuyến. \(\overrightarrow n \) = (4; 6; 5) Phương trình mặt phẳng \((α)\) có dạng: \(4x + 6y + 5z + D = 0\) Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(5; -1; -13)\) và bán kính \(R = 5\). Để \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\), ta phải có: \(d(I, (α)) = R \Leftrightarrow {{\left| {4.5 + 6( - 1) + 5( - 13) + D} \right|} \over {\sqrt {{4^2} + {6^2} + {5^2}} }} = 5\) \( \Leftrightarrow \left| {D - 5} \right| = 5\sqrt {77} \) Ta được hai mặt phẳng thoả mãn yêu cầu: +) \(D - 51 = 5\sqrt{77}\) \( \Rightarrow ({\alpha _1}):4x + 6y + 5z + 51 + 5\sqrt {77} = 0\) +) \(D - 51 = -5\sqrt{77}\) \( \Rightarrow ({\alpha _2}):4x + 6y + 5z + 51 - 5\sqrt {77} = 0\) Bài 9 trang 93 SGK Hình học 12. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), tìm toạ độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M( 1 ; -1 ; 2)\) trên mặt phẳng \((α): 2x - y + 2z +11 = 0\) Giải Điểm \(H\), hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mp \((α)\) chính là giao điểm của đường thẳng \(∆\) đi qua \(M\) và vuông góc với \((α)\). Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (2; -1; 2)\). Đường thẳng \(∆\) vuông góc với mp\( (α)\) nhận \(\overrightarrow n \) làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của \(∆\): \(\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 2 + 2t \hfill \cr} \right.\) Thay các biểu thức này vào phương trình \(mp (α)\), ta có: \(2(1 + 2t) - (-1 - t) + 2(2 + 2t) + 11 = 0 \) \(\Leftrightarrow t = -2\). Từ đây ta được \(H(-3; 1; -2)\). Bài 10 trang 93 SGK Hình học 12. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho điểm \(M(2 ; 1 ; 0)\) và mặt phẳng \((α): x + 3y - z - 27 = 0\). Tìm toạ độ điểm \(M'\) đối xứng với \(M\) qua \((α)\). Giải Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên mặt phẳng \((α)\) và \(M'\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \((α)\) thì \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MM'\). Xét đường thẳng \(∆\) qua \(M\) và \(∆\) vuông góc với \((α)\). Phương trình \(∆\) có dạng: \(\left\{ \matrix{ x = 2 + t \hfill \cr y = 1 + 3t \hfill \cr z = - t \hfill \cr} \right.\) Từ đây ta tìm được toạ độ điểm \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên \((α)\). Thay các tọa độ \(x,y,z\) theo \(t\) từ phương trình \(\Delta\) và phương trình \((\alpha)\) ta được: \(2+t+3(1+3t)-(-t)-27=0\Rightarrow 11t=22\) \(\Rightarrow t=2\) \(\Rightarrow H(4; 7; -2)\) \(M\) và \(M'\) đối xứng nhau qua \((α)\) nên \(\overrightarrow {MM'} = 2\overrightarrow {MH} \) Gọi \((x, y, z)\) là toạ độ của \(M'\) ta có: \(\overrightarrow {MM'} = (x - 2; y - 1; z)\); \(\overrightarrow {MH} = (2; 6; -2)\) \(\overrightarrow {MM'} \)=\(2\overrightarrow {MH} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - 2 = 2.2 \Rightarrow x = 6 \hfill \cr y - 1 = 2.6 \Rightarrow y = 13 \hfill \cr z = 2.( - 2) \Rightarrow z = - 4 \hfill \cr} \right.\) \( \Rightarrow M' (6; 13; -4)\) Bài 11 trang 93 SGK Hình học 12. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(∆\) vuông góc với mặt phẳng toạ độ \((Oxz)\) và cắt hai đường thẳng \(d:\left\{ \matrix{ x = t \hfill \cr y = - 4 + t \hfill \cr z = 3 - t \hfill \cr} \right.\) \(d':\left\{ \matrix{ x = 1 - 2k \hfill \cr y = - 3 + k \hfill \cr z = 4 - 5k. \hfill \cr} \right.\) Giải Gọi \(M\) là điểm thuộc đường thẳng \(d\), toạ độ của \(M\) là \(M( t; -4 + t; 3 - t)\). \(N\) là điểm thuộc đường thẳng \(d'\), toạ độ của \(N\) là \(N(1 - 2k; -3 + k; 4 - 5k)\). Ta có: \(\overrightarrow {MN}= (1 - 2k - t; 1 + k - t; 1 - 5k + 1)\) Vì \(MN ⊥ (Oxz)\) nên \(MN ⊥ Ox\) và \(MN ⊥ Oz\) \(Ox\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i = (1; 0; 0)\); \(Oz\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow j = (0; 0; 1)\). \(MN ⊥ Ox\) \( \Leftrightarrow (1 - 2k - t).1 + (1 + k - t).0 + (1 - 5k + t).0\) \(= 0\) \( \Leftrightarrow 1 - 2k - t = 0\) (1) \(MN ⊥ Oz\) \( \Leftrightarrow (1 - 2k - t).0 + (1 + k - t).0 + (1 - 5k + t) = 0\) (2) Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ \matrix{ 1 - 2k - t = 0 \hfill \cr 1 - 5k + t = 0 \hfill \cr} \right.\) Hệ này cho ta \(k = {2 \over 7}\); t =\({3 \over 7}\) và được toạ độ của M\(\left( {{3 \over 7}; - {{25} \over 7};{{18} \over 7}} \right)\) , N\(\left( {{3 \over 7}; - {{19} \over 7};{{18} \over 7}} \right)\) Từ đây ta có \(\overrightarrow {MN} = (0; 1; 0)\) và được phương trình đường thẳng \(MN\) là: \(\left\{ \matrix{ x = {3 \over 7} \hfill \cr y = - {{25} \over 7} + t \hfill \cr z = {{18} \over 7} \hfill \cr} \right.\) Bài 12 trang 93 SGK Hình học 12. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), tìm toạ độ điểm \(A'\) đối xứng với điểm \(A(1 ; -2 ; -5)\) qua đường thẳng \(∆\) có phương trình \(\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 2t. \hfill \cr} \right.\) Giải Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên đường thẳng \(△\). Khi đó \(H\) là trung điểm của \(AA'\). Xét mặt phẳng \((P)\) qua \(A\) và \((P) ⊥ △\). Khi đó \(H = (P) ⋂ △\). Vì \(\overrightarrow u (2; -1; 2)\) là vectơ chỉ phương của \(△\) nên \(\overrightarrow u \) là vectơ pháp tuyến của \((P)\). Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng: \(2(x - 1) - (y + 2) + 2(z + 5) = 0\) hay \(2x - y + 2z + 6 = 0\) (1) Để tìm giao điểm \(H = (P) ⋂ △\). Thay toạ độ \(x, y, z\) trong phương trình của \(△\) vào (1), ta có: \(2(1 + 2t) + (1 + t) + 4t + 6 = 0\) \( \Rightarrow 9t + 9 = 0\Rightarrow t = -1\) \( \Rightarrow H(-1; 0; -2)\). Từ đó ta tìm được \(A'(-3; 2; 1)\) Bài 1 trang 94 SGK Hình học 12. Trong không gian \(Oxyz\) cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0)\), \(\overrightarrow b = (1;1;0)\) và \(\overrightarrow c = (1;1;1)\) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? (A) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 2 \); (B) \(\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt 3 \); (C) \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \); (D) \(\overrightarrow b \bot \overrightarrow c \). Giải Chọn (D) \(\overrightarrow b \bot \overrightarrow c \). Bài 2 trang 94 SGK Hình học 12. Trong không gian \(Oxyz\) cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0)\), \(\overrightarrow b = (1;1;0)\) và \(\overrightarrow c = (1;1;1)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? (A) \(\overrightarrow a .\overrightarrow c = 1;\) (B) \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng phương; (C) cos (\(\overrightarrow b \), \(\overrightarrow c \))= \({2 \over {\sqrt 6 }}\); (D) \(\overrightarrow a \) + \(\overrightarrow b \) + \(\overrightarrow c \) = \(\overrightarrow 0 \) Giải Chọn (C) cos (\(\overrightarrow b \), \(\overrightarrow c \))= \({2 \over {\sqrt 6 }}\) Bài 3 trang 94 SGK Hình học 12. Trong không gian \(Oxyz\) cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0)\), \(\overrightarrow b = (1;1;0)\) và \(\overrightarrow c = (1;1;1)\) Cho hình bình hành \(OADB\) có \(\overrightarrow {OA} \) = \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \) (\(O\) là gốc toạ độ). Toạ độ của tâm hình bình hành \(OADB\) là: (A) \((0 ; 1 ; 0)\) (B) \((1 ; 0 ; 0)\) (C) \((1 ; 0 ; 1)\) (D) \((1 ; 1 ; 0)\). Giải Gọi tọa độ của \(D(x;y;z)\) \(OADB\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow a + \overrightarrow b=(0;2;0) \) Gọi \(I\) là tâm của hình bình hành nên \(\vec{OI}={1\over2}\vec{OD}=(0;1;0)\) Vậy \(I(0;1;0)\) Chọn (A) \((0 ; 1 ; 0)\). Bài 4 trang 94 SGK Hình học 12. Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1)\) và \(D(1; 1; 1)\) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? (A) Bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện ; (B) Tam giác ABD là tam giác đều ; (C) \(AB ⊥ CD\) ; (D) Tam giác \(BCD\) là tam giác vuông. Giải Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = ( - 1;1;0) \cr & \overrightarrow {CD} = (1;1;0) \cr & \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = - 1.1 + 1.1 + 0.0 = 0 \cr} \) Chọn (D) Tam giác \(BCD\) là tam giác vuông. Bài 5 trang 95 SGK Hình học 12. Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1)\) và \(D(1; 1; 1)\) Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Toạ độ điểm \(G\) là trung điểm của \(MN\) là: (A) G \(\left( {{1 \over 3};{1 \over 3};{1 \over 3}} \right)\) ; (B) G \(\left( {{1 \over 4};{1 \over 4};{1 \over 4}} \right)\) ; (C) G \(\left( {{2 \over 3};{2 \over 3};{2 \over 3}} \right)\) ; (D) G \(\left( {{1 \over 2};{1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\). Giải Chọn (D) G \(\left( {{1 \over 2};{1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\). Bài 6 trang 95 SGK Hình học 12. Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1)\) và \(D(1; 1; 1)\) Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) có bán kính là: (A) \({{\sqrt 3 } \over 2}\) ; (B) \(\sqrt2\) ; (C) \(\sqrt3\); (D) \({3 \over 4}\) . Giải Phương trình tổng quát của mặt cầu là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) Mặt cầu đi qua \(A,B,C,D\) nên ta có hệ: \(\left\{ \matrix{ 1 - 2a + d = 0(1) \hfill \cr 1 - 2b + d = 0(2) \hfill \cr 1 - 2c + d = 0(3) \hfill \cr 3 - 2a - 2b - 2c + d = 0(4) \hfill \cr} \right.\) Lấy (1)+(2)+(3)-(4) ta được: \( \Rightarrow d = 0\) Từ đây ta được: \(a = {1 \over 2},b = {1 \over 2},c = {1 \over 2}\) \({R} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = {{\sqrt 3 } \over 2}\) Chọn (A) \({{\sqrt 3 } \over 2}\). Bài 7 trang 95 SGK Hình học 12. Cho mặt phẳng \((α)\) đi qua điểm \(M(0 ; 0 ; -1)\) và song song với giá của hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2;3} \right)\) và \(\overrightarrow b = (3 ; 0 ; 5)\). Phương trình của mặt phẳng \((α)\) là: (A) \(5x - 2y - 3z - 21 = 0\) ; (B) \( - 5x + 2y + 3z + 3 = 0\) ; (C) \(10x - 4y - 6z + 21 = 0\) ; (D) \(5x - 2y - 3z + 21 = 0\) . Giải Gọi \(\vec n\) là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\) thì \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] = ( - 10;4;6)\). Phương trình của mặt phẳng \((\alpha)\) là: \(- 10(x - 0) + 4(y - 0) + 6(z + 1) = 0\) \(\Leftrightarrow 10x + 4y + 6z + 6 = 0 \) \(\Leftrightarrow - 5x + 2y + 3z + 3 = 0\) Chọn (B) \( - 5x + 2y + 3z + 3 = 0\). Bài 8 trang 95 SGK Hình học 12. Cho ba điểm \(A (0 ; 2 ; 1), B(3; 0 ;1), C(1 ; 0 ; 0)\). Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là: (A) \(2x - 3y - 4z +2 = 0\) (B) \(2x + 3y - 4z - 2 = 0\) (C) \(4x + 6y - 8z + 2 = 0\) (D) \(2x - 3y - 4z + 1 = 0\). Giải \(\overrightarrow {AB} = (3; - 2;0),\overrightarrow {AC} = (1; - 2; - 1)\) Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = (2; - 3; - 4)\) Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là: \(2(x - 0) + 3(y - 2) - 4(z - 1) = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x + 3y - 4z - 2 = 0\) Chọn (B) \(2x + 3y - 4z - 2 = 0\).
