Hình học 12 cơ bản - Ôn tập cuối năm

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 1 trang 99 SGK Hình học 12. Cho lăng trụ lục giác đều \(ABCDEF.A'B'C'D'E'F'\), \(O\) và \(O'\) là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy, mặt phẳng \((P)\) đi qua trung điểm của \(OO'\) và cắt các cạnh bên cúa lăng trụ. Chứng minh rằng \((P)\) chia lăng trụ đã cho thành hai đa diện có thể tích bằng nhau.

    Giải

    [​IMG]


    Gọi \(I\) là trung điểm của \(OO'\) thì \(I\) là tâm đối xứng của lăng trụ. Giả sử mặt phẳng \((P)\) đi qua \(I\) và chia khối lăng trụ thành hai phần (H1) và (H2).

    Lấy điểm \(M\) bất kì thuộc (H1) thì điểm \(M'\) đối xứng với \(M\) cũng nằm trong hình lăng trụ, và do đó \(M' ∈\) (H2) và ngược lại, một điểm \(N ∈\) (H2), lấy đối xứng qua \(I\) sẽ được \(N' ∈\) (H1).

    Do đó hai hình (H1) và (H2) đối xứng với nhau qua tâm \(I\).

    Vì vậy thể tích (H1) bằng thể tích (H2)

    Nhận xét: Trong một hình bất kì trong không gian mà có tâm đối xứng, thì mặt phẳng đi qua tâm sẽ chia hình không gian đó thành hai phần có thể tích bằng nhau.

    Bài 2 trang 99 SGK Hình học 12. Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh bằng \(a\). Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và \(C'D'\). Mặt phẳng \((AEF)\) chia khối lập phương đó thành hai khối đa diện (H) và (H') trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh \(A'\). Tính thể tích của (H).

    Giải

    [​IMG]




    Cách vẽ thiết diện:

    Ta có \(EF // B'D'\) mà \(B'D' // BD\) nên từ \(A\) kẻ đường song song với \(BD\), cắt \(CD\) kéo dài tại \(D_1\) và \(CB\) kéo dài tại \(B_1\).

    Nối \(B_1E\) cắt \(BB'\) tại \(G\). Nối \(D_1F\) cắt \(DD'\) tại \(K\).

    Thiết diện là ngũ giác \(AGEFK\).

    Hình (H) là khối \(AGEFK.A'B'D'\).

    Theo giả thiết \(E\) là trung điểm của \(B'C'\); \(F\) là trung điểm của \(C'D'\), ta có

    \(BB_1= BC = a = 2B'E\) \( \Rightarrow BG = 2GB' = {2 \over 3}a\)

    Từ đó \({V_{(A.B{B_1}G)}} = {1 \over 3}{S_{\Delta B{B_1}G}}.AB = {1 \over 9}{a^3} = {V_1}\)

    \({V_{(A.D{D_1}K)}} = {1 \over 3}.{S_{\Delta D{D_1}K}}.AD = {1 \over 9}{a^3} = {V_2}\)

    Ta có \({S_{\Delta C{B_1}{D_1}}} = {1 \over 2}C{B_1}.C{D_1} = 2{a^2}\);

    \({S_{\Delta EC'F}} = {1 \over 2}.C'E.C'F = {{{a^2}} \over 8}\)

    Chiều cao hình chóp cụt \(CB_1D_1.C'EF \)là \(CC' = a\)

    \({V_{C{C_1}{D_1}.C'EF}} = {1 \over 3}a\left( {2{a^2} + {{{a^2}} \over 8} + {{{a^2}} \over 2}} \right) = {{7{a^3}} \over 8}\)

    Thể tích của khối (H') bằng:

    \({V_{(H')}} = {V_{C{C_1}{D_1}.C'EF}} - ({V_1} + {V_2}) = {7 \over 8}{a^3} - {2 \over 9}{a^3} \)

    \(= {{47} \over {72}}{a^3}\)

    Từ đó thể tích của khối (H) bằng:

    \({V_{(H)}} = \)\(V\)lập phương - \(V\)(H') = a3 - \({{47} \over {72}}{a^3} = {{25} \over {72}}{a^3}\)

    Bài 3 trang 99 SGK Hình học 12. Cho mặt cầu \((S)\) tâm \(O\) bán kính \(r\). Hình nón có đường tròn đáy \((C)\) và đỉnh \(I\) đều thuộc \((S)\) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu \((S)\). Gọi \(h\) là chiều cao của hình nón đó.

    a) Tính thể tích của hình nón theo \(r\) và \(h\).

    b) Xác định \(h\) để thể tích của hình nón là lớn nhất.

    Giải

    [​IMG]

    a) Cắt hình vẽ bằng một mặt phẳng qua trục hình nón, ta có hình vẽ trên, trong đó \(AH\) là bán kính đáy hình nón, \(SH\) là chiều cao hình nón \(SH = h\), \(SS'\) là đường kính hình cầu \(SS' = 2r\).

    Tam giác \(SAS'\) vuông tại đỉnh \(A\), và \(AH\) là đường cao nên:

    \(AH^2= SH.S'H\) \( \Rightarrow AH^2 = h(2r - h)\)

    \(V\)nón = \({1 \over 3}\pi .A{H^2}.SH \Rightarrow V\)nón = \({1 \over 3}\pi {h^2}(2r - h)\)

    b) Ta có:

    \(V\)nón max \( \Leftrightarrow \) \(2V\)nón = \({\pi \over 3}.{h^2}(4r - 2h)\) lớn nhất.

    Ta có \(h^2(4r - 2h) = h.h.(4r - 2h)\)\( \le {\left( {{{h + h + 4r - 2h} \over 3}} \right)^3} = {\left( {{{4r} \over 3}} \right)^3}\)

    Dấu bằng xảy ra thì \(V\)nón lớn nhất.

    Khi đó \(h = 4r - 2h\) \( \Rightarrow h = {4 \over 3}r\)

    và \(V\)nón max = \({\pi \over 6}{\left( {{{4r} \over 3}} \right)^3} = {{32} \over {81}}\pi {r^3}\)

    Bài 4 trang 99 SGK Hình học 12. Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1 ; 2 ;-1), B(7 ; -2 ; 3)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình:

    \(\left\{ \matrix{
    x = - 1 + 3t \hfill \cr
    y = 2 - 2t \hfill \cr
    z = 2 + 2t. \hfill \cr} \right.\)

    a) Chứng minh rằng hai đường thẳng \(d\) và \(AB\) cùng nằm trong một mặt phẳng.

    b) Tìm điểm \(I\) trên \(d\) sao cho \(AI + BI\) nhỏ nhất.

    Giải

    a) Đường thẳng \(AB\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} =(6; -4; 4)\)

    Đường thẳng \((d)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (3; -2; 2)\)

    Xét vectơ

    \(\overrightarrow n = \left( {\left| \matrix{
    - 4 \hfill \cr
    - 2 \hfill \cr} \right.} \right.\)\(\left. \matrix{
    4 \hfill \cr
    2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
    4 \hfill \cr
    2 \hfill \cr} \right.\)\(\left. \matrix{
    6 \hfill \cr
    3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
    6 \hfill \cr
    3 \hfill \cr} \right.\)\(\left. {\left. \matrix{
    - 4 \hfill \cr
    - 2 \hfill \cr} \right|} \right)\) = \(( 0; 0; 0)\) \( \Rightarrow \overrightarrow n = \overrightarrow 0 \)

    \( \Rightarrow \) Hai đường thẳng \((d)\) và \(AB\) cùng thuộc một mặt phẳng. Ta lại có:

    \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow a \) và \(A ∉ (d)\)

    \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow a \) cùng phương \( \Rightarrow AB\) và \((d)\) song song với nhau.

    b) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của điểm \(A\) qua phép đối xứng qua đường thẳng \(d\) thì điểm \(I\) cần tìm là giao điểm của đường thẳng \(A'B\) và đường thẳng \(d\).

    Trong câu a) ta chứng minh được \(AB // d\), từ đó suy ra \(I\) chính là giao điểm của đường thẳng \(d\) với mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\).

    Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) thì \(M(4; 0; 1)\).

    Phương trình mặt phẳng trung trực của \(AB\):

    \(3(x - 4) - 2(y - 0) + 2(z - 1) = 0\) \( \Rightarrow 3x - 2y + 2z - 14 = 0\)

    Phương trình tham số của \((d)\):\(\left\{ \matrix{
    x = - 1 + 3t \hfill \cr
    y = 2 - 2t \hfill \cr
    z = 2 + 2t \hfill \cr} \right.\)

    Giá trị tham số ứng với giao điểm \(I \)của \((d)\) và mặt phẳng trung trực của \(AB\) là nghiệm của phương trình:

    \(3( -1 + 3t) - 2(2 - 2t) + 2(2 + 2t) - 14 = 0\) \( \Rightarrow t = 1\)

    Từ đây ta được \(I (2; 0; 4)\)

    Bài 5 trang 99 SGK Hình học 12. Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AD\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Biết rằng \(AC = AD = 4 cm\), \(AB = 3 cm, BC = 5 cm\).

    a) Tính thể tích tứ diện \(ABCD\).

    b) Tính khoảng cách từ điểm \(A\) tới mặt phẳng \((BCD)\).

    Giải

    [​IMG]

    Chọn hệ toạ độ gốc là điểm \(A\), các đường thẳng \(AB, AC, AD\) theo thứ tự là các trục \(Ox, Oy, Oz\).

    Ta có: \(A(0; 0; 0), B(3; 0; 0)\)

    \(C(0; 4; 0), D(0; 0; 4)\)

    Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (3; 0; 0) \Rightarrow AB = 3\)

    \(\overrightarrow {AC} = (0; 4; 0) \Rightarrow AC = 4\)

    \(\overrightarrow {AD} = (0; 0; 4) \Rightarrow AD = 4\)

    \(V_{ABCD}\) = \({1 \over 6}AB.AC.AD = 8 (cm^3)\)

    b) Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng \((BDC)\) là:

    \({x \over 3} + {y \over 4} + {z \over 4} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y + 3z - 12 = 0\)

    Từ đây ta có: \(d(A, (BDC)) ={{\left| {12} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2} + {4^2}} }} = {{12} \over {\sqrt {34} }}\)

    Bài 6 trang 100 SGK Hình học 12. Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S)\) có phương trình \({x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} = {\rm{ }}4{a^{2}}\left( {a > 0} \right)\).

    a) Tính diện tích mặt cầu \((S)\) và thể tích của khối cầu tương ứng.

    b) Mặt cầu \((S)\) cắt mặt phẳng \((Oxy)\) theo đường tròn \((C)\). Xác định tâm và bán kính của \((C)\).

    c) Tính diện tích xung quanh của hình trụ nhận \((C)\) làm đáy và có chiều cao là \(a\sqrt3\). Tính thể tích của khối trụ tương ứng.

    Giải

    a) Mặt cầu \((S)\) có tâm là gốc toạ độ \(O\) và bán kính \(R = 2a\) nên có

    \(S = 16πa^2\) ; \(V ={{32\pi {a^2}} \over 3}\)

    b) Phương trình đường tròn \((C)\), giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng \(Oxy\) là:\(\left\{ \matrix{
    {x^2} + {y^2} + {z^2} = 4{a^2} \hfill \cr
    z = 0 \hfill \cr} \right.\)

    Từ đây suy ra mặt phẳng \(z = 0\) cắt mặt cầu theo đường tròn \((C)\) có tâm là gốc toạ độ \(O\) và bán kính là \(2a\).

    c) Hình trụ có đáy là đường tròn \((C)\) và chiều cao \(a\sqrt3\) có:

    \(S_{xq} = 2π.(2a).a\sqrt3\) \( \Rightarrow S_{xq}= 4πa^2\sqrt3\)

    \(V = π(2a)^2.a\sqrt3\) \( \Rightarrow V = 4πa^3\sqrt3\)

    Bài 7 trang 100 SGK Hình học 12. Trong không gian \(Oxyz\) cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình

    d1:\(\left\{ \matrix{
    x = 1 - t \hfill \cr
    y = t \hfill \cr
    z = - t \hfill \cr} \right.\) và d2:\(\left\{ \matrix{
    x = 2k \hfill \cr
    y = - 1 + k \hfill \cr
    z = k. \hfill \cr} \right.\)

    a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.

    b) Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa d1 và song song với d2.

    Giải

    a) (d1) đi qua điểm \(M(1; 0; 0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (-1; 1; -1)\)

    (d2) đi qua điểm \(M'(0; -1; 0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {a'} = (2; 1; 1)\)

    Vì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \) không cùng phương nên d1 và d2 có thể chéo nhau hoặc cắt nhau. Xét giao của d1 và d2:\(\left\{ \matrix{
    1 - t = 2k \hfill \cr
    t = - 1 + k \hfill \cr
    - 1 = k \hfill \cr} \right.\), hệ vô nghiệm

    do đó d1 và d2 không cắt nhau. Từ đó suy ra d1 và d2 chéo nhau.

    b) Mặt phẳng \((α)\) chứa (d1) và song song với d2 thì \((α)\) qua điểm \(M_1(1; 0; 0)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= (2; -1; -3)\)

    Phương trình mặt phẳng \((α)\) có dạng:

    \(2(x - 1) - (y - 0) - 3(z - 0) = 0\)

    hay \(2x - y - 3z - 2 = 0\)

    Bài 8 trang 100 SGK Hình học 12. Trong không gian \(Oxyz\) cho các điểm \(A(1; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1; 1), D(3 ; 0 ;3)\).

    a) Chứng minh rằng \(A, B, C, D\) không đồng phẳng.

    b) Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\) và tính khoảng cách từ \(D\) đến \((ABC)\).

    c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).

    d) Tính thể tích tứ diện \(ABCD\).

    Giải

    a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (2; 4; 3)\).

    Phương trình tham số của đường thẳng \(AB\):

    \(\left\{ \matrix{
    x = 1 + 2t \hfill \cr
    y = 4t \hfill \cr
    z = - 1 + 3t \hfill \cr} \right.\)

    \(\overrightarrow {CD} = (-1; 1; 2)\). Phương trình tham số của \(CD\):

    \(\left\{ \matrix{
    x = 4 - k \hfill \cr
    y = - 1 + k \hfill \cr
    z = 1 + 2k \hfill \cr} \right.\)

    Do \(\overrightarrow {AB} \ne k\overrightarrow {CD} \) nên hai đường thẳng \(AB, CD\) không cùng phương, chúng cắt nhau hoặc chéo nhau.

    Xét hệ:

    \(\left\{ \matrix{
    1 + 3t = 4 - t'(1) \hfill \cr
    4t = - 1 + t'(2) \hfill \cr
    - 1 + 3t = 1 + 2t'(3) \hfill \cr} \right.\)

    Từ hai phương trình đầu, ta có: \(t = {2 \over 7}\); \(t' = {{15} \over 7}\)

    Hai giá trị này không thoả mãn phương trình (3) nên hệ vô nghiệm, suy ra \(AB\) và \(CD\) không cắt nhau.

    Vậy \(AB\) và \(CD\) là hai đường thẳng chéo nhau hay bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng.

    b) Ta có \(\overrightarrow {AB} = (2; 4; -1)\), \(\overrightarrow {AC} = (3; -1; 2)\)

    Gọi \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\)

    \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (7; -7; -14)\)

    phương trình mp \((ABC)\): \(7(x - 1) - 7(y - 0) -14(z + 1) = 0\)

    \(7x - 7y -14z - 21 = 0 \Leftrightarrow x - y - 2z - 3 = 0\).

    \(d(D, (ABC))\) =\({{\left| {1.3 - 0 - 2.3 - 3} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = {6 \over {\sqrt 6 }} = \sqrt 6 \)

    c) Phương trình tổng quát của mặt cầu:

    \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\)

    Mặt cầu đi qua \(A(1; 0; -1)\) ta có:

    \({1^2} + {0^2} + {( - 1)^2} + 2A - 2C + D = 0\)

    \( \Leftrightarrow 2A - 2C + D + 2 = 0 \) (1)

    Tương tự, mặt cầu đi qua \(B, C, D\) cho ta các phương trình:

    \(2A + 8B - 2C + D + 18 = 0 \) (2)

    \(4A + 8B + 6C + D + 29 = 0 \) (3)

    \(4A + 4B - 2C + D + 9 = 0 \) (4)

    Hệ bốn phương trình (1), (2), (3), (4) cho ta: \(A = 3; B = 2; C = {1 \over 2}; D = 3\). Ta được tâm của mặt cầu \(I\)\(\left( { - 3; - 2; - {1 \over 2}} \right)\) và bán kính:

    \(R = 3^2+ 2^2 + {\left( {{1 \over 2}} \right)^2} - 3 = {{41} \over 4} \Rightarrow R = {{\sqrt {41} } \over 2}\)

    Phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm \(A, B, C, D\) là:

    \((x - 3)^2 + (y - 2)^2 + {\left( {z - {1 \over 2}} \right)^2} = {{41} \over 4}\)

    d) Ta có \(\overrightarrow {AB} = (2; 4; -1)\) \( \Rightarrow AB^2= 4 + 16 + 1 = 21\)\( \Rightarrow AB = \sqrt {21} \)

    \(\overrightarrow {AC} = (3; -1; 2)\) \( \Rightarrow AC^2 = 9 + 1 + 4 = 14\)\( \Rightarrow AC = \sqrt {14} \)

    Xét \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 2.3 + 4.(-1) + (-1).2 = 0\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \)

    Tam giác \(ABC\) vuông tại đỉnh \(A\), có diện tích:

    \({S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}\sqrt {21} .\sqrt {14} \)

    Thể tích tứ diện \(ABCD\):

    \({V_{ABCD}} = {1 \over 3}.{S_{ABC}}.DH = {1 \over 3}.{1 \over 2}.\sqrt {21} .\sqrt {14} .\sqrt 6 = 7\) (Đvdt)

    Bài 9 trang 100 SGK Hình học 12. Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(2 ; 4 ; -1), B(1 ; 4 ; -1), C(2 ; 4; 3), D(2 ; 2 ; -1)\).

    a) Chứng minh rằng các đường thẳng \(AB, AC, AD\) vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối tứ diện \(ABCD\).

    b) Viết phương trình mặt cầu \((S)\) đi qua bốn điểm \(A, B, C, D\).

    c) Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) và song song với mặt phẳng \((ABD)\).

    Giải

    [​IMG]

    a) Ta xét các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \); \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \); \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \)

    Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (-1; 0; 0)\), \(\overrightarrow {AC} = (0; 0; 4)\), \(\overrightarrow {AD} = (0; 2; 0)\)

    \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = (-1).0 + 0.0 + 0.4 = 0\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \)

    Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.

    Ta có: \(V_{ABCD}\) =\({1 \over 3}.{1 \over 2}.AB.AC.AD\)

    Ta tính được: \(AB = 1; AC = 4; AD = 2\)

    \( \Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 \over 6}.1.4.2 = {4 \over 3}\)(đtdt)

    b) Gọi \(I(a; b; c)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).

    \(IA = IB = IC\) \( \Rightarrow I\) nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACD\). Tam giác \(ACD\) vuông tại đỉnh \(A\) nên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACD\) là đường thẳng vuông góc với mp \((ACD)\) và đi qua trung điểm \(M\) của cạnh huyền \(CD\).

    Như vậy \(MI // AB\) (1)

    Ta lại có \(IA = IB\). Gọi \(P\) là trung điểm của \(AB\), ta có:

    \(MI = AP\) = \({1 \over 2}AB\) (2)

    Từ (1) và (2), suy ra \(\overrightarrow {MI} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \)

    Với \(C (2; 4; 3), A (2; 4; -1)\) \( \Rightarrow M (2; 3; 1)\)

    \(\overrightarrow {MI}= (a - 2; b - 3; c - 1)\); \(\overrightarrow {AB} = (-1; 0; 0) \)

    \(\left\{ \matrix{
    a - 2 = {1 \over 2}( - 1) \Rightarrow a = {3 \over 2} \hfill \cr
    b - 3 = {1 \over 2}.0 \Rightarrow b = 3 \hfill \cr
    c - 1 = {1 \over 2}.0 \Rightarrow c = 1 \hfill \cr} \right.\)

    Tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) là \(I\)\(\left( {{3 \over 2};3;1} \right)\)

    Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) là \(r\) thì:

    \(r^2 = IA^2\) =\({\left( {2 - {3 \over 2}} \right)^2} + {(4 - 3)^2} + {( - 1 - 1)^2} = {{21} \over 4}\)

    Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\):

    \({\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 1)^2} = {{21} \over 4}\)

    c) Ta cũng có \(AC ⊥ (ABD)\). Mặt phẳng \((α)\) song song với mặt phẳng \((ABD)\) nên nhận \(\overrightarrow {AC} \) làm vectơ pháp tuyến.

    Ta có \(\overrightarrow {AC} = (0; 0; 4)\) nên phương trình mặt phẳng \((α)\) có dạng \(z + D = 0\).

    Khoảng cách từ tâm \(I\) của mặt cầu đến mặt phẳng \((α)\) là:

    \(d(I,(α)) ={{\left| {1 + D} \right|} \over 1} = \left| {1 + D} \right|\)

    Để mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu, ta cần có:

    \(d(I,(α)) = r \Rightarrow \left| {1 + D} \right| = {{\sqrt {21} } \over 2}\)

    Ta có hai mặt phẳng:

    (1) \(1 + D ={{\sqrt {21} } \over 2} \Rightarrow D = {{\sqrt {21} } \over 2} - 1\)

    \(\left( {{\alpha _1}} \right):z + {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 = 0\)

    (2) \(1 + D = - {{\sqrt {21} } \over 2} \Rightarrow D = - {{\sqrt {21} } \over 2} - 1\)

    \(\left( {{\alpha _2}} \right):z - {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 = 0\)

    Bài 10 trang 100 SGK Hình học 12. Trong không gian \(Oxyz\) cho đường thẳng \(d\):

    \(\left\{ \matrix{
    x = 1 - 2t \hfill \cr
    y = 2 + t \hfill \cr
    z = 3 - t \hfill \cr} \right.\)và mặt phẳng \((α) : 2x + y + z = 0\).

    a) Tìm toạ độ giao điểm \(A\) của \(d\) và \((α)\).

    b) Viết phương trình mặt phẳng \((β)\) qua \(A\) và vuông góc với \( d\).

    Giải

    Thay các biểu thức theo \(t\) của \(x, y, z\) trong phương trình tham số của \((d)\) vào phương trình của mặt phẳng \((α)\), ta có:

    \(2(1 - 2t) + (2 + t) + (3 - t) = 0 \Rightarrow t = {7 \over 4}\)

    Từ đây, ta có toạ độ giao điểm \(A\) của \((d)\) và \((α)\)

    \(\left\{ \matrix{
    x = 1 - 2.{7 \over 4} = - {{10} \over 4} \hfill \cr
    y = 2 + {7 \over 4} = {{15} \over 4} \hfill \cr
    z = 3 - {7 \over 4} = {5 \over 4} \hfill \cr} \right.\)\( \Rightarrow A\left( { - {{10} \over 4};{{15} \over 4};{5 \over 4}} \right)\)

    b) Đường thẳng \((d)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (-2; 1; -1)\). Mặt phẳng \((β)\) vuông góc với \((d)\), nhận \(\overrightarrow a \) làm vectơ pháp tuyến.

    Phương trình của \((β)\) là:

    \( - 2\left( {x + {{10} \over 4}} \right) + 1.\left( {y - {{15} \over 4}} \right) - 1.\left( {z - {5 \over 4}} \right) = 0\)

    \( \Leftrightarrow 4x - 2y + 2z + 15 = 0\)

    Bài 11 trang 101 SGK Hình học 12. Trong không gian \(Oxyz\) cho các điểm \(A(-1 ; 2 ; 0), B(-3 ; 0 ; 2), C(1 ; 2 ; 3), D(0 ; 3 ;-2)\).

    a) Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\) và phương trình tham số của đường thẳng \(AD\).

    b) Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa \(AD\) và song song với \(BC\).

    Giải

    a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (-2; -2; 2)\), \(\overrightarrow {AC} = (2; 0; 3)\).

    Gọi \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) thì:

    \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\)

    \(\Rightarrow \overrightarrow n = ( - 6;10;4) =-2(3; -5; -2)\).

    Chọn vectơ \((3; -5; -2)\) là vectơ pháp tuyến của mp \((ABC)\) và được phương trình:

    \(3(x + 1) - 5(y - 2) - 2(z - 0) = 0\)

    \( \Leftrightarrow 3x - 5y - 2z + 13 = 0\)

    Đường thẳng \(AD\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AD} = (1; 1; -2)\) và đi qua \(A(-1; 2; 0)\) có phương trình chính tắc là:

    \({{x + 1} \over 1} = {{y - 2} \over 1} = {z \over { - 2}}\)

    b) Ta có: \(\overrightarrow {AD} = (1; 1; -2)\), \(\overrightarrow {BC} = (4; 2; 1)\)

    Gọi \(\overrightarrow m \) là vectơ pháp tuyến của mp \((α)\) thì:

    \(\overrightarrow m = \left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} } \right]= (5; -9; -2)\)

    \((α)\) chứa \(AD\) nên chứa điểm \(A(-1; 2; 0)\)

    Phương trình của \((α)\) là:

    \(5(x + 1) - 9(y - 2) - 2(z - 0) = 0\)

    \( \Leftrightarrow 5x - 9y - 2z + 23 = 0\).

    Bài 12 trang 101 SGK Hình học 12. Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(3 ; -2 ; -2), B(3 ; 2 ; 0), C(0 ; 2 ; 1)\) và \(D(-1 ; 1 ; 2)\)

    a) Viết phương trình mặt phẳng \((BCD)\). Suy ra \(ABCD\) là một tứ diện.

    b) Viết phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(A\) và tiếp xúc với mặt phẳng \((BCD)\).

    c) Tìm toạ độ tiếp điểm của \((S)\) và mặt phẳng \((BCD)\).

    Giải

    a) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = (-3; 0; 1)\), \(\overrightarrow {BD} = (-4; -1; 2)\)

    Gọi \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mp \((BCD)\) thì:

    \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (1;2;3)\)

    Mặt phẳng \((BCD)\) đi qua \(B\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1; 2; 3)\) có phương trình:

    \(1(x - 3) + 2(y - 2) + 3(z - 0) = 0\)

    \( \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 7 = 0\)

    Thay toạ độ điểm \(A\) vào phương trình của mp \((BCD)\), ta có:

    \(3 + 2(-2) + 3(-2) - 7 = -14 ≠ 0\)

    Vậy \(A ∉ (BCD)\) \( \Rightarrow \)bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng.

    b) Mặt cầu tâm \(A\), tiếp xúc với mp \((BCD)\) có bán kính bằng khoảng cách từ \(A\) đến mp \((BCD)\):

    \(r = d (A,(BCD))\) =\({{\left| { - 14} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \sqrt {14} \)

    Phương trình mặt cầu cần tìm:

    \((S) (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z + 2)^2 = 14\)

    c) Phương trình đường thẳng \((d)\) đi qua \(A\) và vuông góc với mp \((BCD)\) là:

    \(\left\{ \matrix{
    x = 3 + t \hfill \cr
    y = - 2 + 2t \hfill \cr
    z = - 2 + 3t \hfill \cr} \right.\)

    Thay các biểu thực này vào phương trình của \((BCD)\), ta có:

    \((3 + t) + 2(-2 + 2t) + 3(-2 + 3t) - 7 = 0 \)\( \Leftrightarrow t = 1\)

    Từ đây ta được toạ độ điểm \(H\), tiếp điểm của mặt cầu \((S)\) và mp \((BCD)\):

    \(\left\{ \matrix{
    x = 3 + t \Rightarrow x = 4 \hfill \cr
    y = - 2 + 2 \Rightarrow y = 0 \hfill \cr
    z = - 2 + 3 \Rightarrow z = 1 \hfill \cr} \right.\)

    \( \Rightarrow \) \( H(4; 0; 1)\)

    Bài 13 trang 101 SGK Hình học 12. Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng:

    d1:\(\left\{ \matrix{
    x = - 1 + 3t \hfill \cr
    y = 1 + 2t \hfill \cr
    z = 3 - 2t \hfill \cr} \right.\) và d2 :\(\left\{ \matrix{
    x = k \hfill \cr
    y = 1 + k \hfill \cr
    z = - 3 + 2k. \hfill \cr} \right.\)

    a) Chứng minh rằng d1 và d2 cùng thuộc một mặt phẳng.

    b) Viết phương trình mặt phẳng đó.

    Giải

    a) Đường thẳng d1 đi qua điểm \(M_1(-1; 1; 3)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_1}} = (3;2; - 2)\); đường thẳng d2 đi qua điểm \(M_2\)\((0; 1; -3)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_2}} = (1; 1; 2)\).

    Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= (6; -8; 1)\), \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (1; 0; -6)\) và \(\left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]\). \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 0\)

    nên ba vectơ \(\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) đồng phẳng.

    Vậy hai đường thẳng d1, d2 nằm cùng một mặt phẳng.

    b) Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa d1 và d2.

    Khi đó \((P)\) qua điểm \(M_1 (-1; 1; 3)\) và có vectơ pháp tuyến

    \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= (6; -8; 1)\).

    Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng:

    \(6(x + 1) - 8(y - 1) + (z - 3) = 0\)

    hay \(6x - 8y + z + 11 = 0\)

    Bài 14 trang 101 SGK Hình học 12. Trong không gian cho ba điểm \(A, B, C\).

    a) Xác định điểm \(G\) sao cho \(\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} = 0.\)

    b) Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MA^2 + 2MB^2 - 2MC^2 = k^2\), với \(k\) là hằng số.

    Giải

    a) Ta có

    \(\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GA} +2(\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} ) = \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {CB} \)

    Gọi \(D\) là điểm mà \(\overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {CB} \) tức là điểm \(B\) là trung điểm của \(CD\) thì \(G\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(ACDG\).

    b) Gọi \(G\) là điểm trong câu a): \(\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).

    Ta có: \(M{A^2} = {\overrightarrow {MA} ^2}= {(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} )^2}\)

    \(= M{G^2} + G{A^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} \);

    \(M{B^2} = {\overrightarrow {MB} ^2} = {(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} )^2}\)

    \(= M{G^2} + G{B^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} \);

    \(M{C^2} = {\overrightarrow {MC} ^2} = {(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} )^2} \)

    \(= M{G^2} + G{C^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} \).

    Từ đó \(MA^2 + MB^2 -2 MC^2 = k^2\)

    \( \Leftrightarrow M{G^2} + G{A^2} + 2G{B^2} - 2G{C^2} \)

    \(+ 2\overrightarrow {MG} (\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} ) = {k^2}\)

    \( \Leftrightarrow M{G^2} = {k^2} - (G{A^2} + 2G{B^2} - 2G{C^2})\)

    vì \(\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).

    Do vậy:

    Nếu \(k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 > 0\) thì tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G bán kính r.

    Nếu \(k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 =0\) thì tập hợp M chính là điểm G.

    Nếu \(k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 < 0\) thì tập hợp các điểm M chính là tập rỗng.

    Bài 15 trang 101 SGK Hình học 12. Cho hai đường thẳng chéo nhau

    d :\(\left\{ \matrix{
    x = 2 - t \hfill \cr
    y = - 1 + t \hfill \cr
    z = 1 - t \hfill \cr} \right.\) và \(d':\left\{ \matrix{
    x = 2 + 2k \hfill \cr
    y = k \hfill \cr
    z = 1 + k. \hfill \cr} \right.\)

    a) Viết phương trình các mặt phẳng \((α)\) và \((β)\) song song với nhau và lần lượt chứa \(d\) và \(d'\).

    b) Lấy hai điểm \(M(2 ; -1 ; 1)\) và \(M'(2 ; 0 ; 1)\) lần lượt trên \(d\) và \(d'\). Tính khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \((β)\) và khoảng cách từ \(M'\) đến mặt phẳng \((α)\). So sánh hai khoảng cách đó.

    Giải

    a) Mặt phẳng \((α)\) chính là mặt phẳng chứa \(d\) và song song với \(d'\)

    \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (-1; 1; -1)\).

    \(d'\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {a'} = (2; 1; 1)\)

    Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của \((α)\) vuông góc với \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \) nên:

    \(\overrightarrow n = (1.1 - 1.(-1); (-1).2 - 1.(-1); (-1).1 - 2.1) \)

    \(= (2; -1; -3)\)

    Đường thẳng \(d\) chứa điểm \(A(2; -1; 1)\). Mặt phẳng \((α)\) chứa \(d\) nên chứa điểm \(A\). Phương trình của \((α)\):

    \(2(x - 2) - 1(y + 1) - 3(z - 1) = 0\)

    \( \Leftrightarrow 2x - y - 3z - 2 = 0\)

    Tương tự ta có \((β)\): \( 2x - y - 3z - 1 = 0\)

    b) Ta có: \(d (M,(β))\) =\({{\left| {2.2 - 1.( - 1) - 3.1 - 2} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 3)}^2}} }} = {1 \over {\sqrt {14} }}\)

    Tương tự, ta có: \(d (M',(α))\) = \({1 \over {\sqrt {14} }}\)

    \(\Rightarrow d(M,(β)) = d(M', (α))\)

    Bài 16 trang 102 SGK Hình học 12. Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(4x + y + 2z + 1 = 0\) và mặt phẳng \((β)\) có phương trình \(2x - 2y + z + 3 = 0\).

    a) Chứng minh rằng \((α)\) cắt \((β)\).

    b) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là giao của \((α)\) và \((β)\).

    c) Tìm điểm \(M'\) đối xứng với điểm \(M(4 ; 2 ; 1)\) qua mặt phẳng \((α)\).

    d) Tìm điểm \(N'\) đối xứng với điểm \(N(0 ; 2 ; 4)\) qua đường thẳng \(d\).

    Giải

    a) Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (4; 1; 2)\)

    Mặt phẳng \((β)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'} = (2; -2; 1)\)

    Vì \({4 \over 2} \ne {1 \over { - 2}} \ne {2 \over 1} \Rightarrow \overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {n'} \) không cùng phương.

    Suy ra \((α)\) và \((β)\) cắt nhau.

    b) \((α)\) cắt \((β)\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) có giá vuông góc với đường thẳng \(d\), vì vậy vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]= (5; 0; -10\)) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).

    Ta có thể chọn vectơ \(\overrightarrow u = (1; 0; -2)\) làm vectơ chỉ phương.

    Ta tìm một điểm nằm trên \(d\).

    Xét hệ\(\left\{ \matrix{
    4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr
    2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.\)

    Lấy điểm \(M_0(1; 1; -3) ∈ d\).

    Phương trình tham số của \(d\) là:\(\left\{ \matrix{
    x = 1 + s \hfill \cr
    y = 1 \hfill \cr
    z = - 3 - 2s \hfill \cr} \right.\)

    c) Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (4; 1; 2)\).

    Đường thẳng \(∆\) đi qua \(M(4; 2; 1)\) và vuông góc với \((α)\), nhận vectơ \(\overrightarrow n \) làm vectơ chỉ phương và có phương trình tham số:

    \(\left\{ \matrix{
    x = 4 + 4t \hfill \cr
    y = 2 + t \hfill \cr
    z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.\)

    Trước hết ta tìm toạ độ hình chiếu \(H\) của \(M\) trên \((α)\) bằng cách thay các biểu thức của \(x, y, z\) theo \(t\) vào phương trình của \((α)\), ta có:

    \(4(4 + 4t) + (2 + t) + 2(1 + 2t) + 1 = 0\)

    \( \Leftrightarrow 21t + 21 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)

    Từ đây ta tính được \(H (0; 1; -1)\)

    Gọi \(M' (x; y; z)\) là điểm đối xứng với \(M\) qua mp \((α)\) thì \(\overrightarrow {MM'} = 2\overrightarrow {MH} \):

    \(\overrightarrow {MH} = (-4; -1; -2)\)

    \(\overrightarrow {MM'} = (x - 4; y - 2; z - 1)\).

    \(\overrightarrow {MM'} = 2\overrightarrow {MH} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    x - 4 = 2.( - 4) \Rightarrow x = - 4 \hfill \cr
    y - 2 = 2.( - 1) \Rightarrow y = 0 \hfill \cr
    z - 1 = 2.( - 2) \Rightarrow z = - 3 \hfill \cr} \right.\)

    \(\Rightarrow M( - 4;0; - 3)\)

    d) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (1; 0; -2)\).

    Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(N(0; 2; 4)\) và vuông góc với \(d\), nhận \(\overrightarrow a \) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình:

    \(1(x - 0) + 0(y - 2) - 2(z - 4) = 0\)

    \((P)\): \(x - 2y + 8 = 0\)

    Ta tìm giao điểm \(I\) của \(d\) và \((P)\). Ta có:

    \(t - 2(-1 - 2t) + 8 = 0\)\( \Leftrightarrow 5t + 10 = 0\Leftrightarrow t = -2\)

    \( \Leftrightarrow I( -2; 1; 3)\)

    \(N' (x; y; z)\) là điểm đối xứng của \(N\) qua \(d\) thì \(\overrightarrow {NN'} = 2\overrightarrow {NI} \)

    \(\overrightarrow {NI} = (-2; -1; -1)\), \(\overrightarrow {NN'} = (x; y - 2; z - 4) \)

    \( \Rightarrow \left\{ \matrix{
    x = ( - 2).2 \hfill \cr
    y - 2 = ( - 1).2 \hfill \cr
    z - 4 = ( - 1).2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
    x = - 4 \hfill \cr
    y = 0 \hfill \cr
    z = 2 \hfill \cr} \right.\)

    \(\Rightarrow N'( - 4;0;2)\)