Bài 17 trang 59 SGK Hình học 12 Nâng cao. Trong mỗi trường hợp sau, hãy gọi tên hình tròn xoay: a) Sinh bởi ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của tam giác đó. b) Sinh bởi một tam giác vuông (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông. Giải a) Hình nón b) Khối nón. Bài 18 trang 59 SGK Hình học 12 Nâng cao. Cho điểm \(A\) nằm trong mặt cầu \(S\). Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua \(A\) tiếp xúc với mặt cầu \(S\) luôn nằm trên một mặt nón xác định. Giải Giả sử \(Al\) là một tiếp tuyến của mặt cầu \(S(I;R)\) với tiếp điểm là \(M\). Khi đó nếu \(\Delta \) là đường thẳng \(AI\) và \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(Al\) và \(\Delta \) thì \(\alpha = \widehat {MAI}\). Ta có: \(9\sin \alpha = {{MI} \over {IA}} = {R \over {IA}}\), suy ra góc \(\alpha \) không đổi. Vậy \(Al\) là đường sinh của mặt nón \((N)\) có đỉnh \(A\) và góc ở đỉnh là \(2\alpha \). Bài 19 trang 60 SGK Hình học 12 Nâng cao. Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó. a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất. b) Một hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy bằng \(r\). Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó. c) Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính \(R\). Nếu hình nón đó có chiều cao bằng \(h\) thì bán kính đáy của nó bằng bao nhiêu? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. Giải a) Hình nón \((N)\) có đỉnh \(S\) và đường tròn đáy là \((O;r)\). Lấy điểm \(M\) trên \((O;r)\) thì \(\Delta SOM\) vuông tại \(O\). \(SO\) là trục của đường tròn \((O;r)\) nên \(I\) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình nón khi và chỉ khi \(I\) thuộc \(SO\) và cách đều hai điểm \(S, M\). Vậy \(I\) là giao điểm của \(SO\) với mặt phẳng trung trực của \(SM\). Mặt cầu tâm \(I\) bán kính \(R = IS\) là mặt cầu ngoại tiếp duy nhất. b) Kẻ đường kính \(SS’\) của mặt cầu ngoại tiếp hình nón \((SS’ > h)\) \(\Delta MSS'\) vuông tại \(M\) có đường cao \(MO = r\). Ta có: \(\eqalign{ & M{O^2} = OS.OS' \Rightarrow {r^2} = h\left( {SS' - h} \right) \cr & \Rightarrow SS' = {{{r^2}} \over h} + h = {{{r^2} + {h^2}} \over h} \cr} \) Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là \(R = {1 \over 2}SS' = {{{r^2} + {h^2}} \over {2h}}\) c) Nếu hình nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy là \(r\) nội tiếp mặt cầu bán kính \(R\) thì theo câu b) ta có hệ thức \({r^2} = h\left( {2R - h} \right)\). Vậy \(r = \sqrt {h\left( {2R - h} \right)} \) Độ dài đường sinh \(l = SM = \sqrt {SO.SS'} = \sqrt {2R.h} \) Diện tích xung quanh của hình nón là \({S_{xq}} = \pi rl = \pi \sqrt {h\left( {2R - h} \right)} .\sqrt {2Rh} = \pi h\sqrt {2R\left( {2R - h} \right)} \) Bài 20 trang 60 SGK Hình học 12 Nâng cao. Một mặt cầu gọi là nội tiếp hình nón nếu nó tiếp xúc với mặt đáy của hình nón và tiếp xúc với mọi đường sinh của hình nón. Khi đó hình nón được gọi là ngoại tiếp mặt cầu. a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có một mặt cầu nội tiếp duy nhất. b) Một hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy bằng \(r\). Hãy tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón đó. Giải a) Cho hình nón có đỉnh \(S\) và đáy là đường tròn \((O;r)\). Tâm \(I\) của mặt cầu nội tiếp hình nón nằm trên \(SO\). Lấy điểm \(A\) cố định trên \((O;r)\) thì \(I\) là giao điểm của \(SO\) với đường phân giác trong của góc \(A\) của \(\Delta SAO\). \(I\) hoàn toàn xác định và là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón, bán kính mặt cầu là \(R = IO\). b) Ta có: \(SA = \sqrt {O{S^2} + O{A^2}} = \sqrt {{h^2} + {r^2}} \) Theo tính chất đường phân giác ta có: \({{IO} \over {IS}} = {{OA} \over {SA}} \Rightarrow {{SA} \over {SI}} = {{OA} \over {IO}} = {{SA + OA} \over {SI + IO}} \Rightarrow {{IO} \over {IO + IS}} = {{OA} \over {OA + SA}} \Rightarrow {{IO} \over h} = {r \over {r + \sqrt {{h^2} + {r^2}} }}\) Vậy bán kính mặt cầu nội tiếp là \(R = IO = {{rh} \over {r + \sqrt {{h^2} + {r^2}} }}\) Bài 21 trang 60 SGK Hình học 12 Nâng cao. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A, AB = c, AB = b\). Tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi quay quanh đường thẳng \(BC\). Giải Gọi \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\). Ta có: \({1 \over {A{H^2}}} = {1 \over {A{B^2}}} + {1 \over {A{C^2}}} = {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \Rightarrow A{H^2} = {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}\) Hai tam giác \(ABH\) và \(ACH\) khi quay quanh \(BC\) lần lượt tạo thành hai khối nón \({H_1},{H_2}\) có thể tích lần lượt là \({V_1} = {1 \over 3}\pi A{H^2}BH\,\,,\,\,{V_2} = {1 \over 3}\pi A{H^2}CH\) Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác \(ABC\) khi quay quanh \(BC\) là: \(\eqalign{ & V = {V_1} + {V_2} = {1 \over 3}\pi A{H^2}BH + {1 \over 3}\pi A{H^2}CH = {1 \over 3}\pi A{H^2}BC \cr & \,\,\,\,\, = {1 \over 3}\pi {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}\sqrt {{b^2} + {c^2}} = {{\pi {b^2}{c^2}} \over {3\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} \cr} \)
