Bài 15 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao. Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng: a) Đi qua ba điểm \(M\left( {2;0; - 1} \right)\,\,;\,\,N\left( {1; - 2;3} \right)\,\,;\,\,P\left( {0;1;2} \right)\); b) Đi qua hai điểm \(A\left( {1;1; - 1} \right)\,\,;\,\,B\left( {5;2;1} \right)\)và song song với trục Oz ; c) Đi qua điểm (3; 2; -l) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0; d) Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ; e) Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với \(abc \ne 0\)) và song song với một mặt phẳng toạ độ ; g) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ; h) Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Giải a) Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1; - 2;4} \right),\,\overrightarrow {MP} = \left( { - 2;1;3} \right)\). Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( { - 10; - 5; - 5} \right) = - 5\left( {2;1;1} \right)\). Chọn vectơ pháp tuyến của mp(MNP) là \(\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\). Mp(MNP) đi qua \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\) nên có phương trình là: \(2\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 1\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + z - 3 = 0\) b) Mp(P) đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) vuông góc vói \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;1;2} \right)\) và vuông góc với \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) nên: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| \matrix{ 1\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr 0\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 2\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr 1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 4\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 0\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) = \left( {1; - 4;0} \right)\) (P) qua \(A\left( {1;1; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 4;0} \right)\) nên (P) có phương trình: \(1\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + 0\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 4y + 3 = 0\) c) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \(x - 5y + z = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 5;1} \right)\). \(Mp\left( \beta \right)\) qua \(A\left( {3;2; - 1} \right)\) song song với \(mp\left( \alpha \right)\) nên \(\left( \beta \right)\) có cùng vectơ pháp tuyến . Do đó \(\left( \beta \right)\): \(\left( {x - 3} \right) - 5\left( {y - 2} \right) + \left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 5y + z + 8 = 0\) d) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;1} \right)\) \(Mp\left( \alpha \right)\): \(x - y + z + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow m = \left( {1; - 1;1} \right)\). \(Mp\left( \beta \right)\) đi qua A, B và vuông góc với \(mp\left( \alpha \right)\) nên vectơ pháp tuyến của \(\left( \beta \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {AB} \) và vuông góc với \(\overrightarrow m \) nên ta có thể chọn: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow m } \right] = \left( {0;2;2} \right)\) Vậy (P): \(2\left( {y - 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y + z - 2 = 0\) e) Mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) nên có phương trình: \(1\left( {z - c} \right) = 0 \Leftrightarrow z - c = 0\) Tương tự mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oyz) có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oxz) có phương trình y – b = 0. g) Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right)\,,\,B\left( {0,b,0} \right)\,,\,C\left( {0,0,c} \right)\). Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \({{a + 0 + 0} \over 3} = 1;{{0 + b + 0} \over 3} = 2;{{0 + 0 + c} \over 3} = 3 \Rightarrow a = 3;b = 6;c = 9\) Vậy mp(ABC): \({x \over 3} + {y \over 6} + {z \over 9} = 1\). h) Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm \(\Delta ABC\) khi và chỉ khi \(OH \bot mp\left( {ABC} \right)\). Vậy mp(ABC) đi qua H va có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OH} = \left( {2;1;1} \right)\) nên có phương trình : \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + z - 6 = 0\) Bài 16 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mật phẳng cho bởi các phương trình sau: a) \(x + 2y - z + 5 = 0\) và \(2x + 3y - 7z - 4 = 0\). b) \(z - 2y + z - 3 = 0\) và \(2x - y + 4z - 2 = 0\). c) \(x + y + z - 1 = 0\) và \(2x + 2y + 2z + 3 = 0\). d) \(3x - 2y + 3z + 5 = 0\) và \(9x - 6y - 9z - 5 = 0\). e) \(x - y + 2z - 4 = 0\) và \(10x - 10y + 20z - 40 = 0\). Giải a) Ta có \(1:2:\left( { - 1} \right) \ne 2:3:\left( { - 7} \right)\) nên hai mặt phẳng đã cho cắt nhau. b) \(1:\left( { - 2} \right):1 \ne 2:\left( { - 1} \right):4\) nên hai mặt phẳng cắt nhau. c) \({1 \over 2} = {1 \over 2} = {1 \over 2} \ne {{ - 1} \over 3}\) nên hai mặt phẳng song song. d) \(3:\left( { - 2} \right):3 \ne 9:\left( { - 6} \right):\left( { - 9} \right)\)nên hai mặt phẳng cắt nhau. e) \({1 \over {10}} = {{ - 1} \over { - 10}} = {2 \over {20}} = {{ - 4} \over { - 40}}\) nên hai mặt phẳng trùng nhau. Bài 17 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao. Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song: a) \(2x + ny + 2z + 3 = 0\) và \(mx + 2y - 4z + 7 = 0\). b) \(2x + y + mz - 2 = 0\) và \(x + ny + 2z + 8 = 0\). Giải a) Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi: \({2 \over m} = {n \over 2} = {2 \over { - 4}} \ne {3 \over 7} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m = - 4 \hfill \cr n = - 1 \hfill \cr} \right.\) b) Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi: \({2 \over 1} = {1 \over n} = {m \over 2} \ne {{ - 2} \over 8} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m = 4 \hfill \cr n = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\) Bài 18 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao. Cho hai mặt phẳng có phương trình là \(2x - my + 3z - 6 + m = 0\) và \(\left( {m + 3} \right)x - 2y + \left( {5m + 1} \right)z - 10 = 0\) Với giá trị nào của m thì: a) Hai mặt phẳng đó song song ; b) Hai mặt phẳng đó trùng nhau ; c) Hai mặt phẳng đó cắt nhau ; d) Hai mặt phẳng đó vuông góc? Giải Mặt phẳng \(2x - my + 3z - 6 + m = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - m;3} \right)\). Mặt phẳng \(\left( {m + 3} \right)x - 2y + \left( {5m + 1} \right)z - 10 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {m + 3; - 2;5m + 1} \right)\). Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 5{m^2} - m + 6 = 0 \hfill \cr - 7m + 7 = 0 \hfill \cr {m^2} + 3m - 4 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m = 1\) Với m = 1 thì hai mặt phẳng có phương trình \(2x - y + 3z - 5 = 0\) và \(4x - 2y + 6z - 10 = 0\) nên chúng trùng nhau. Vậy: a) Không tồn tại m để hai mặt phẳng đó song song. b) Với m = 1 thì hai mặt phẳng đó trùng nhau. c) Với \(m \ne 1\) thì hai mặt phẳng đó cắt nhau. d) Hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \Leftrightarrow 2\left( {m + 3} \right) + 2m + 3\left( {5m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 19m + 9 = 0 \Leftrightarrow m = {{ - 9} \over {19}}\) Bài 19 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {\alpha '} \right)\) trong mỗi trường hợp sau: \(\eqalign{ & a)\,\,\left( \alpha \right):2x - y + 4z + 5 = 0,\,\,\left( {\alpha '} \right):3x + 5y - z - 1 = 0 \cr & b)\,\,\left( \alpha \right):2x + y - 2z - 1 = 0,\,\,\left( {\alpha '} \right):6x - 3y + 2z - 2 = 0 \cr & c)\,\,\left( \alpha \right):x + 2y + z - 1 = 0,\,\,\left( {\alpha '} \right):x + 2y + z + 5 = 0 \cr} \) Giải a) Điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi: \(\eqalign{ & {{\left| {2x - y + 4z + 5} \right|} \over {\sqrt {4 + 1 + 16} }} = {{\left| {3x + 5y - z - 1} \right|} \over {\sqrt {9 + 25 + 1} }} \cr & \Leftrightarrow \sqrt 5 \left| {2x - y + 4z + 5} \right| = \sqrt 3 \left| {3x + 5y - z - 1} \right| \cr & \Leftrightarrow \sqrt 5 \left( {2x - y + 4z + 5} \right) = \pm \sqrt 3 \left( {3x + 5y - z - 1} \right) \cr} \) Vậy tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng: \(\eqalign{ & \left( {2\sqrt 5 - 3\sqrt 3 } \right)x - \left( {\sqrt 5 + 5\sqrt 3 } \right)y + \left( {4\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)z + 5\sqrt 5 + \sqrt 3 = 0 \cr & \left( {2\sqrt 5 + 3\sqrt 3 } \right)x - \left( {\sqrt 5 - 5\sqrt 3 } \right)y + \left( {4\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)z + 5\sqrt 5 - \sqrt 3 = 0 \cr} \) b) Điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi: \(\eqalign{ & {{\left| {2x + y - 2z - 1} \right|} \over {\sqrt {4 + 1 + 4} }} = {{\left| {6x - 3y + 2z - 2} \right|} \over {\sqrt {36 + 9 + 4} }} \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 7\left( {2x + y - 2z - 1} \right) = 3\left( {6x - 3y + 2z - 2} \right) \hfill \cr 7\left( {2x + y - 2z - 1} \right) = - 3\left( {6x - 3y + 2z - 2} \right) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ - 4x + 16y - 20z - 1 = 0 \hfill \cr 32x - 2y - 8z - 13 = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \) Tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng có phương trình: \( - 4x + 16y - 20z - 1 = 0\,\,;\,\,32x - 2y - 8z - 13 = 0\). c) Điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi: \(\eqalign{ & {{\left| {x + 2y + z - 1} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 1} }} = {{\left| {x + 2y + z + 5} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 1} }} \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x + 2y + z - 1 = x + 2y + z + 5 \hfill \cr x + 2y + z - 1 = - x - 2y - z - 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 2x + 4y + 2z + 4 = 0 \cr} \) Tập hợp các điểm M là một mặt phẳng có phương trình : \(x + 2y + z + 2 = 0\). Bài 20 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) và \(Ax + By + Cz + D' = 0\) với \(D \ne D'\). Giải Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau. Lấy \(M\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) thuộc mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\). Ta có \(A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0 \Rightarrow A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} = - D\) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng thứ hai, ta có: \(d = {{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D'} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = {{\left| {D' - D} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\) Bài 21 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao. Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau : a) M cách đều điểm A(2 ; 3 ; 4) và mặt phẳng \(2x + 3y + z - 17 = 0\); b) M cách đều hai mặt phẳng \(x + y - z + 1 = 0\) và \(x - y + z + 5 = 0\) Giải a) Giả sử \(M\left( {0;0;c} \right)\) thuộc trục Oz. Ta có \(MA = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {{\left( {4 - c} \right)}^2}} \) và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng đã cho là \(d = {{\left| {c - 17} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2}} }}\) \(MA = d \Leftrightarrow \sqrt {13 + {{\left( {4 - c} \right)}^2}} = {{\left| {c - 17} \right|} \over {\sqrt {14} }} \Leftrightarrow 13 + {\left( {4 - c} \right)^2} = {{{{\left( {c - 17} \right)}^2}} \over {14}} \Leftrightarrow c = 3.\) Vậy \(M\left( {0,0,3} \right)\). b) \(M\left( {0;0;c} \right)\) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi: \({{\left| { - c + 1} \right|} \over {\sqrt 3 }} = {{\left| {c + 5} \right|} \over {\sqrt 3 }} \Leftrightarrow c = - 2 \Rightarrow M\left( {0;0; - 2} \right)\) Bài 22 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác vuông đỉnh O. Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp toạ độ, hãy chứng minh : a) Tam giác ABC có ba góc nhọn. b) \({\cos ^2}\alpha + co{s^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\) Giải a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ta có \(A\left( {a;0;0} \right)\,,\,B\left( {0;b;0} \right)\,,\,C\left( {0;0;c} \right)\,\,\left( {a > 0,b > 0,c > 0} \right)\) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - a;b;0} \right);\overrightarrow {AC} = \left( { - a;0;c} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {a^2} > 0 \Rightarrow \cos A = {{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \over {AB.AC}} > 0\) \( \Rightarrow \) A là góc nhọn. Tương tự các góc B, C của tam giác ABC cũng nhọn. b) Mp(ABC) có phương trình \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {{1 \over a};{1 \over b};{1 \over c}} \right)\). Mp(OBC) \( \equiv \) Mp(Oyz) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa mp(ABC) và mp(OBC) thì: \({\cos ^2}\alpha = {\left( {{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow i } \right|} \over {\left| {\overrightarrow n } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}}} \right)^2} = {{{1 \over {{a^2}}}} \over {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}}}\) Tương tự \({\cos ^2}\beta = {{{1 \over {{b^2}}}} \over {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}}}\) và \({\cos ^2}\gamma = {{{1 \over {{c^2}}}} \over {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}}}\) Từ đó suy ra \({\cos ^2}\alpha + co{s^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\) Bài 23 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng \(4x + 3y - 12z + 1 = 0\) và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\) Giải Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\). Mặt cầu có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) bán kính R = 4. Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng đã cho nên có phương trình \(4x + 3y - 12z + D = 0\) với \(D \ne 1\). Mp(P) tiếp xúc với mặt cầu khi và chỉ khi khoảng cách d từ điểm I đến mp(P) bằng bán kính R. \(d = {{\left| {4 + 6 - 36 + D} \right|} \over {\sqrt {16 + 9 + 144} }} = 4 \Leftrightarrow {{\left| { - 26 + D} \right|} \over {13}} = 4 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ - 26 + D = 12 \hfill \cr - 26 + D = - 12 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ D = 78 \hfill \cr D = - 26 \hfill \cr} \right.\) Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu là: \(4x + 3y - 12z + 78 = 0\,\,;\,\,4x + 3y - 12z - 26 = 0\)
