Bài 24 trang 102 SGK Hình học 12 Nâng cao. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây: a) Các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. b) Các đường thẳng đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) (với \({x_0}.{y_0}.{z_0} \ne 0\)) và song song với mỗi trục tọa độ; c) Đường thẳng đi qua \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 1;3;5} \right)\); d) Đường thẳng đi qua \(N\left( { - 2;1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {0;0; - 3} \right)\); e) Đường thẳng đi qua \(N\left( {3;2;1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(2x - 5y + 4 = 0\); g) Đường thẳng đi qua \(P\left( {2;3; - 1} \right)\) và \(Q\left( {1;2;4} \right)\). Giải a) Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) nên có phương trình tham số là \(\left\{ \matrix{ x = t \hfill \cr y = 0 \hfill \cr z = 0 \hfill \cr} \right.\) Tương tự, trục Oy có phương trình tham số là \(\left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = t \hfill \cr z = 0 \hfill \cr} \right.\) Trục Oz có phương trình tham số là \(\left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = 0 \hfill \cr z = t \hfill \cr} \right.\) Các phương trình đó không có phương trình chính tắc. b) Đường thẳng đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) song song với trục Ox có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) nên có phương trình tham số là \(\left\{ \matrix{ x = {x_0} + t \hfill \cr y = {y_0} \hfill \cr z = {z_0} \hfill \cr} \right.\) Tương tự đường thẳng đi qua \({M_0}\) với trục Oy có phương trình tham số là \(\left\{ \matrix{ x = {x_0} \hfill \cr y = {y_0} + t \hfill \cr z = {z_0} \hfill \cr} \right.\) Đường thẳng đi qua \({M_0}\) với trục Oz có phương trình tham số là \(\left\{ \matrix{ x = {x_0} \hfill \cr y = {y_0} \hfill \cr z = {z_0} + t \hfill \cr} \right.\) Các đường thẳng trên không có phương trình chính tắc. c) Đường thẳng đi qua \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) có vectơ chỉ phương có phương trình tham số: \(\overrightarrow u = \left( { - 1;3;5} \right)\) Tương tự đường thẳng đi qua \({M_0}\) với trục Oy có phương trình tham số là \(\left\{ \matrix{ x = 2 - t \hfill \cr y = 3t \hfill \cr z = - 1 + 5t \hfill \cr} \right.\) và có phương trình chính tắc \({{x - 2} \over { - 1}} = {y \over 3} = {{z + 1} \over 5}\). d) Đường thẳng đi qua \(N\left( { - 2;1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {0;0; - 3} \right)\) có phương trình tham số \(\left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr y = 1 \hfill \cr z = 2 - 3t \hfill \cr} \right.\) Không có phương trình chính tắc. e) Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \) của đường thẳng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(2x - 5y + 4 = 0\) nên \(\overrightarrow u = \left( {2; - 5;0} \right)\). Vậy đường thẳng có phương trình tham số \(\left\{ \matrix{ x = 3 + 2t \hfill \cr y = 2 - 5t \hfill \cr z = 1 \hfill \cr} \right.\) Không có phương trình chính tắc. g) Đường thẳng đi qua \(P\left( {2;3; - 1} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {PQ} = \left( { - 1; - 1;5} \right)\) nên có phương trình tham số là \(\left\{ \matrix{ x = 2 - t \hfill \cr y = 3 - t \hfill \cr z = - 1 + 5t \hfill \cr} \right.\) và có phương trình chính tắc là \({{x - 2} \over { - 1}} = {{y - 3} \over { - 1}} = {{z + 1} \over 5}\) Bài 25 trang 102 SGK Hình học 12 Nâng cao. Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây: a) Đường thẳng đi qua điểm (4; 3; 1) và song song với đường thẳng có phương trình \(\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 3t \hfill \cr z = 3 + 2t \hfill \cr} \right.\) b) Đường thẳng đi qua điểm (-2; 3; 1) và song song với đường thẳng có phương trình : \({{x - 2} \over 2} = {{y + 1} \over 1} = {{z + 2} \over 3}\) Giải a) Đường thẳng đã cho có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 3;2} \right)\). Đường thẳng cần tìm đi qua A(4; 3; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 3;2} \right)\) nên có phương trình tham số là \(\left\{ \matrix{ x = 4 + 2t \hfill \cr y = 3 - 3t \hfill \cr z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.\) và có phương trình chính tắc là \({{x - 4} \over 2} = {{y - 3} \over { - 3}} = {{z - 1} \over 2}\). b) Đường thẳng đã cho có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;1;3} \right)\) Đường thẳng cần tìm có phương trình \({{x + 2} \over 2} = {{y - 3} \over 1} = {{z - 1} \over 3}\) và \(\left\{ \matrix{ x = - 2 + 2t \hfill \cr y = 3 + t \hfill \cr z = 1 + 3t \hfill \cr} \right.\) Bài 26 trang 102 SGK Hình học 12 Nâng cao. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d:\,\,{{x - 1} \over 2} = {{y + 2} \over 3} = {{z - 3} \over 1}\) trên mỗi mặt phẳng tọa độ. Giải Đường thẳng d có phương trình tham số là: \(\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 2 + 3t \hfill \cr z = 3 + t \hfill \cr} \right.\) Mỗi điểm M(x; y; z) \( \in d\) có hình chiếu trên mp(Oxy) là điểm M’(x; y; 0) , d’ là hình chiếu của d trên mp(Oxy). Vậy d’ có phương trình tham số là \(\left\{ \matrix{ x = 1 +2 t \hfill \cr y = - 2 + 3t \hfill \cr z = 0 \hfill \cr} \right.\) Tương tự phương trình hình chiếu của d trên mp(Oxz), mp(Oyz) lần lượt là: \(\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = 0 \hfill \cr z = 3 + t \hfill \cr} \right.\) và \(\left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = - 2 + 3t \hfill \cr z = 3 + t \hfill \cr} \right.\) Bài 27 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao. Cho đường thẳng \(d:\left\{ \matrix{ x = t \hfill \cr y = 8 + 4t \hfill \cr z = 3 + 2t \hfill \cr} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 7 = 0\). a) Tìm một vectơ chỉ phương của d và một điểm nằm trên d. b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P). c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P). Giải a) Một vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u = \left( {1;4;2} \right)\). Cho t = 0 ta có một điểm \({M_0}\left( {0;8;3} \right)\) nằm trên d. b) Vectơ pháp tuyến của mp(P) là \({\overrightarrow n _P} = \left( {1;1;1} \right)\). Gọi \(\left( \alpha \right)\)là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với cả \(\overrightarrow u \) và \({\overrightarrow n _P}\) nên ta lấy \({\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}} = \left[ {\overrightarrow u ;{{\overrightarrow n }_P}} \right] = \left( {2;1; - 3} \right)\). \(Mp\left( \alpha \right)\) đi qua \({M_0}\left( {0;8;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \({\overrightarrow n _\alpha } = \left( {2;1; - 3} \right)\) nên có phương trình là: \(2\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 8} \right) - 3\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 3z + 1 = 0\) c) Vì d không vuông góc với (P) nên hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng d’, d’ là giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và (P): \(\left\{ \matrix{ x + y + z - 7 = 0 \hfill \cr 2x + y - 3z + 1 = 0 \hfill \cr} \right.\) Cho z = 0 ta có x = – 8; y = 15, d’ qua A(– 8; 15; 0). d’ có phương trình tham số là: \(\left\{ \matrix{ x = - 8 + 4t \hfill \cr y = 15 + 5t \hfill \cr z = - t \hfill \cr} \right.\) Bài 28 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao. Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi phương trình: a) \(d:{{x - 1} \over 2} = y - 7 = {{z - 3} \over 4}\,;\,d':{{x - 3} \over 6} = {{y + 1} \over { - 2}} = {{z + 2} \over 1}\) b) \(d:\left\{ \matrix{ x = t \hfill \cr y = - 3 - 4t \hfill \cr z = - 3 - 3t \hfill \cr} \right.\) d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - z = 0,\,\,\left( {\alpha '} \right):2x - y + 2z = 0\). Giải Đường thẳng d đi qua M(1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;1;4} \right)\). Đường thẳng d’ đi qua \(M'\left( {3; - 1; - 2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ' = \left( {6; - 2;1} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {MM'} = \left( {2; - 8; - 5} \right)\) và \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow u '} \right] = \left( {9;22; - 10} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow u '} \right].\overrightarrow {MM'} = - 108 \ne 0\). Vậy d và d’ chéo nhau. b) Đường thẳng d đi qua \(M\left( {0; - 3; - 3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1; - 4; - 3} \right)\) Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương d và d’ có cùng vectơ chỉ phương và \(M\left( {0; - 3; - 3} \right)\) không nằm trên d’ nên d và d’ song song. Bài 29 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao. Viết phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {1; - 1;1} \right)\) và cắt cả hai đường thẳng sau: \(d:\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = t \hfill \cr z = 3 - t \hfill \cr} \right.\,\,;\,\,d':\left\{ \matrix{ x = t \hfill \cr y = - 1 - 2t \hfill \cr z = 2 + t \hfill \cr} \right.\) Giải Lấy điểm \(M\left( {1 + 2t,t,3 - 1} \right)\) nằm trên d và điểm \(M'\left( {t', - 1 - 2t',2 + t'} \right)\) nằm trên d’. Rõ ràng \(A \notin d\) và \(A \notin d'\). Ta tìm t và t’ sao cho A, M, M’ thẳng hàng, tức \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM'} \) cùng phương. Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {2t,1 + t,2 - t} \right);\overrightarrow {AM'} = \left( { - 1 + t', - 2t',1 + t'} \right)\). Do đó: $$\eqalign{ & \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM'} } \right] = \left( {\left| \matrix{ {1 + t}\,\,\,\,\,{2 - t} \hfill \cr - 2t'\,\,\,\,\,\,{1 + t'} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ {2 - t}\,\,\,\,\,\,\,\,\,2t \hfill \cr {1 + t'}\,\, \,\,{- 1 + t' }\hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{1 + t} \hfill \cr {- 1 + t'}\,\,\,\,{ - 2t'} \hfill \cr} \right|} \right) \cr & = \left( {1 + t + 5t' - tt'; - 2 - t + 2t' - 3tt';1 + t - t' - 5tt'} \right) \cr} $$ Hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM'} \) cùng phương khi và chỉ khi \(\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM'} } \right] = \overrightarrow 0 \) hay: \(\left\{ \matrix{ 1 + t + 5t' - tt' = 0 \hfill \cr - 2 - t + 2t' - 3tt' = 0 \hfill \cr 1 + t - t' - 5tt' = 0 \hfill \cr} \right.\) Khử số hạng tt’ từ các phương trình trên, ta được hệ \(\left\{ \matrix{ 5 + 4t + 13t' = 0 \hfill \cr 4 + 4t + 26t' = 0 \hfill \cr} \right.\). Suy ra \(t = - {3 \over 2};t' = {1 \over {13}}\). Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \left( { - 3; - {1 \over 2};{7 \over 2}} \right)\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua A và M, \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AM} = \left( { - 6; - 1;7} \right)\) nên có phương trình tham số là: \(\left\{ \matrix{ x = 1 - 6t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 1 + 7t \hfill \cr} \right.\) Bài 30 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \({d_1}\) và cắt cả hai đường thẳng \({d_2}\) và \({d_3}\), biết phương trình của \({d_1},{d_2}\) và \({d_3}\) là: \({d_1}:\left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = {- 2 + 4t} \hfill \cr z ={ 1 - t} \hfill \cr} \right.\) \( {d_2}:{{x - 1} \over 1} = {{y + 2} \over 4} = {{z - 2} \over 3}\) \( {d_3}:\left\{ \matrix{ x ={ - 4 + 5t'} \hfill \cr y = {- 7 + 9t'} \hfill \cr z = {t'} \hfill \cr} \right.\) Giải Đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương \({\overrightarrow u _1} = \left( {0;4; - 1} \right)\), \({d_2}\) có phương trình tham số là \(\left\{ \matrix{ x = 1 + t \hfill \cr y = - 2 + 4t \hfill \cr z = 2 + 3t \hfill \cr} \right.\) Lấy điểm \({M_2}\left( {1 + t; - 2 + 4t;2 + 3t} \right)\) trên \({d_2}\) và \({M_3}\left( { - 4 + 5t'; - 7 + 9t';t'} \right)\) trên \({d_3}\). Ta tìm t và t’ để \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \). Ta có \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} = \left( { - 5 + 5t' - t; - 5 + 9t' - 4t; - 2 + t' - 3t} \right)\), \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \) khi và chỉ khi \(\left\{ \matrix{ - 5 + 5t' - t = 0 \hfill \cr {{ - 5 + 9t' - 4t} \over 4} = {{ - 2 + t' - 3t} \over { - 1}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ t = 0 \hfill \cr t' = 1 \hfill \cr} \right.\) Khi đó \({M_2}\left( {1; - 2;2} \right)\) và \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} = \left( {0;4; - 1} \right)\). Vậy \(\Delta \) qua \({M_2},{M_3}\) có phương trình: \(\left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = - 2 + 4t \hfill \cr z = 2 - t \hfill \cr} \right.\). Rõ ràng \({M_2} \notin {d_1}\). Vậy \(\Delta \) chính là đường thẳng cần tìm. Bài 31 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao. Cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \matrix{ x = 8 + t \hfill \cr y = 5 + 2t \hfill \cr z = 8 - t \hfill \cr} \right.\) và \({d_2}:{{3 - x} \over 7} = {{y - 1} \over 2} = {{z - 1} \over 3}\). a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau. b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với \({d_1}\) và \({d_2}\). c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\). d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Giải a) Đường thẳng \({d_1}\) đi qua \({M_1}\left( {8;5;8} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2; - 1} \right)\). Đường thẳng \({d_2}\) đi qua \({M_2}\left( {3;1;1} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 7;2;3} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {{M_2}{M_1}} = \left( {5;4;7} \right)\,\,;\,\,\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {8;4;16} \right)\). Do đó \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} = 168 \ne 0\). Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau. b) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua O song song với cả \({d_1}\) và \({d_2}\). \(Mp\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;1;4} \right)\). Vậy \(\left( \alpha \right):2\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 4\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 4z = 0\). Rõ ràng \({M_1},{M_2} \notin \left( \alpha \right)\). Vậy \(\left( \alpha \right)\) chính là mặt phẳng cần tìm. c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \({d_1}\) và \({d_2}\) là: \(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = {{168} \over {\sqrt {{8^2} + {4^2} + {{16}^2}} }} = 2\sqrt {21} \) d) Giả sử PQ là đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) với \(P \in {d_1}\,;\,Q \in {d_2}\). Khi đó ta có các giá trị t và t’ sao cho: \(P\left( {8 + t\,;5 + 2t\,;\,8 - t} \right),\,Q\left( {3 - 7t'\,;\,1 + 2t'\,;\,1 + 3t'} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {PQ} = \left( { - 5 - 7t' - t; - 4 + 2t' - 2t; - 7 + 3t' + t} \right)\). Vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) đồng thời vuông góc với hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) nên \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ \overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_1}} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 5 - 7t' - t + 2\left( { - 4 + 2t' - 2t} \right) - \left( { - 7 + 3t' + t} \right) = 0 \hfill \cr - 7\left( { - 5 - 7t' - t} \right) + 2\left( { - 4 + 2t' - 2t} \right) + 3\left( { - 7 + 3t' + t} \right) = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 6t' - 6t = 6 \hfill \cr 62t' + 6t = - 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ t' = 0 \hfill \cr t = - 1 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(P\left( {7;3;9} \right)\,,\,Q\left( {3;1;1} \right)\) và do đó, đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình: \({{x - 3} \over {7 - 3}} = {{y - 1} \over {3 - 1}} = {{z - 1} \over {9 - 1}} \Leftrightarrow {{x - 3} \over 2} = {{y - 1} \over 1} = {{z - 1} \over 4}\) Bài 32 trang 104 SGK Hình học 12 Nâng cao. Cho đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình: \(d:{{x - 2} \over 2} = {{y + 1} \over 3} = {{z - 1} \over 5}\,\,;\,\,\left( \alpha \right):2x + y + z - 8 = 0\). a) Tìm góc giữa d và \(\left( \alpha \right)\). b) Tìm tọa độ giao điểm của d và \(\left( \alpha \right)\). c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên \(\left( \alpha \right)\). Giải a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;3;5} \right)\), \(mp\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa d và \(\left( \alpha \right)\) thì \(0 \le \varphi \le {90^0}\) và \(\sin \varphi = {{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} = {{\left| {2.2 + 3.1 + 5.1} \right|} \over {\sqrt {4 + 9 + 25} .\sqrt {4 + 1 + 1} }} = {6 \over {\sqrt {57} }}\). b) d có phương trình tham số \(\left\{ \matrix{ x = 2 + 2t \hfill \cr y = - 1 + 3t \hfill \cr z = 1 + 5t \hfill \cr} \right.\). Thay x, y, z vào phương trình \(\left( \alpha \right)\) ta có: \(2\left( {2 + 2t} \right) + \left( { - 1 + 3t} \right) + \left( {1 + 5t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = {1 \over 3}\) Ta được giao điểm \(M\left( {{8 \over 3};0;{8 \over 3}} \right)\). c) Gọi \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) thì hình chiếu d’ của d trên \(\left( \alpha \right)\) là giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\). Bởi vậy ta cần tìm phương trình của \(\left( \beta \right)\). Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(\beta )}}} \) của \(\left( \beta \right)\) vuông góc với cả \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow n \) nên ta chọn \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 2;8; - 4} \right)\). Ngoài ra, \(\left( \beta \right)\) đi qua d nên cũng đi qua điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right)\). Do đó \(\left( \beta \right)\) có phương trình: \( - 2\left( {x - 2} \right) + 8\left( {y + 1} \right) - 4\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + 4y - 2z + 8 = 0\). Hình chiếu d’ qua I và có vectơ chỉ phương: \(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {\left| \matrix{ 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 4\,\,\,\,\,\, - 2 \hfill \cr} \right|;\,\left| \matrix{ 1\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr - 2\,\,\,\,\, - 1\, \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 2\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr - 1\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|} \right) = \left( { - 6;3;9} \right) = 3\left( { - 2;1;3} \right)\) Vậy d’ có phương trình tham số là \(\left\{ \matrix{ x = {8 \over 3} - 2t \hfill \cr y = t \hfill \cr z = {8 \over 3} + 3t \hfill \cr} \right.\) Bài 33 trang 104 SGK Hình học 12 Nâng cao. Cho đường thẳng \(\Delta \) và mp(P) có phương trình: \(\Delta :{{x - 1} \over 1} = {{y - 2} \over 2} = {{z - 3} \over 2}\,\,;\,\,\left( P \right):2x + z - 5 = 0\). a) Xác định tọa độ giao điểm A của \(\Delta \) và (P). b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với \(\Delta \). Giải a) Phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ \matrix{ x = 1 + t \hfill \cr y = 2 + 2t \hfill \cr z = 3 + 2t \hfill \cr} \right.\). Thay x, y, z vào phương trình của mp(P) ta được: \(2\left( {1 + t} \right) + 3 + 2t - 5 = 0 \Leftrightarrow t = 0\). Vậy giao điểm của \(\Delta \) và mp(P) là A(1; 2; 3). b) Gọi d là đường thẳng đi qua A nằm trong (P) và vuông góc với \(\Delta \). Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} \) của d phải vuông góc với chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;2;2} \right)\) của \(\Delta \) đồng thời vuông góc với cả vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;0;1} \right)\) của (P) nên ta chọn \(\overrightarrow {u'} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left( {2;3; - 4} \right)\). Vậy d có phương trình tham số là \(\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = 2 + 3t \hfill \cr z = 3 - 4t \hfill \cr} \right.\) Bài 34 trang 104 SGK Hình học 12 Nâng cao. a) Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 1) đến đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \({{x + 2} \over 1} = {{y - 1} \over 2} = {{z + 1} \over { - 2}}\). b) Tính khoảng cách từ điểm \(N\left( {2;3; - 1} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \({M_0}\left( { - {1 \over 2};0; - {3 \over 4}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 4;2; - 1} \right)\). Giải a) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( { - 2;1; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 2} \right)\) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M} = \left( {4;2;2} \right)\,;\,\,\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {{M_0}M} } \right] = \left( {8; - 10; - 6} \right)\). Vậy khoảng cách cần tìm là \(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {{M_0}M} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|}} = {{\sqrt {{8^2} + {{(-10)}^2} + {(-6)^2}} } \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {(-2)^2}} }} = {{10\sqrt 2 } \over 3}\). b) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}N} = \left( {{5 \over 2};3; - {1 \over 4}} \right)\,\,;\,\,\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {{M_0}N} } \right] = \left( {{5 \over 2}; - {7 \over 2};17} \right)\). Vậy khoảng cách cần tìm là: \(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {{M_0}N} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|}} = {{\sqrt {{{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} + {{\left( {{-7 \over 2}} \right)}^2} + {{17}^2}} } \over {\sqrt {{4^2} + {2^2} + {1^2}} }} = {{\sqrt {2870} } \over {14}}\) Bài 35 SGK trang 104 Hình học 12 Nâng cao. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau: a) \(d:\left\{ \matrix{ x = 1 + t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 1 \hfill \cr} \right.\) và \(d':\left\{ \matrix{ x = {2 - 3t'} \hfill \cr y ={ - 2 + 3t'} \hfill \cr z = 3 \hfill \cr} \right.\) b) \(d:\,{x \over { - 1}} = {{y - 4} \over 1} = {{z + 1} \over { - 2}}\) và \(d':\left\{ \matrix{ x ={ - t'} \hfill \cr y = {2 + 3t'} \hfill \cr z = {- 4 + 3t'} \hfill \cr} \right.\) Giải a) Đường thẳng d đi qua \({M_1}\left( {1; - 1;1} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;0} \right)\). Đường thẳng d’ đi qua điểm \({M_2}\left( {2; - 2;3} \right)\), có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 1;1;0} \right)\). Vì \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương nhưng \(\overrightarrow {{u_1}} \); \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương với \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {1; - 1;2} \right)\) nên hai đường thẳng đó song song. Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng đó bằng khoảng cách từ \({M_1}\) tới d’ và bằng \({{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = 2\) b) Đường thẳng d đi qua \(M\left( {0;4; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 1;1; - 2} \right)\). Đường thẳng d’ đi qua \(M'\left( {0;2; - 4} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 1;3;3} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {MM'} = \left( {0; - 2; - 3} \right)\,\,;\,\,\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {9;5; - 2} \right)\). \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} = - 4 \ne 0 \Rightarrow d\) và d’ chéo nhau. Khoảng cách giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) là: \(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = {4 \over {\sqrt {{9^2} + {5^2} + {2^2}} }} = {{2\sqrt {110} } \over {55}}\)
