Tóm tắt lý thuyết Trung điểm của đoạn thẳng AB là điểm M thuộc đoạn thẳng ấy và cách đều hai điểm A, B. Ta có: M là trung điểm của đoạn thẳng AB \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in AB\\MA = MB\end{array} \right.\) Hoặc M là trung điểm của đoạn thẳng AB \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM + MB = AB\\MA = MB\end{array} \right.\) Hoặc M là trung điểm của đoạn thẳng AB \( \Leftrightarrow AM = MB = \frac{1}{2}AB.\) Ví dụ 1: Trên tia Ox có ba điểm A, M, B. Biết OA = 8, OB = 14 và OM = 11. Chứng tỏ rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Hướng dẫn giải: Ta có OA < OM < OB \( \Rightarrow \) Điểm M thuộc đoạn thẳng AB (1) Ta lại có MA=OM-OA= 3; MB=OB-OM= 3 \( \Rightarrow \) MA = MB (2) Từ (1) và (2) suy ra đpcm. Ví dụ 2: Trên tia Ox có ba điểm A, B, C biết OA = 10cm, OB = 24cm, OC =16cm. Gọi M N theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng AC, BC. a) Chứng minh điểm C thuộc đoạn thẳng AB. b) Tính OM, ON suy ra điểm C thuộc đoạn thẳng MN. c) Tính MN. Hướng dẫn giải: a. Ta có OA < OC < OB suy ra C nằm giữa hai điểm A và B. Vậy C thuộc đoạn thẳng AB. b. Ta có: AC=OC-OA=16-10=6 (cm) Do M là trung điểm của AC nên: \(MA = MC = \frac{{AC}}{2} = 3\,\,(cm)\) Vậy OM=OA+AM=10+3=13 (cm). Tương tự, ta có: BC=OB-OC=24-16=8 (cm) Do N là trung điểm của BC nên ta có: \(NC = NB = \frac{{BC}}{2} = 4\,\,(cm)\) Vậy ON=OC+CN=16+4=20 (cm). Do OM < OC < ON nên C nằm giữa hai điểm M và N. c. Ta có: MN=MC+CN=4+3= 7 (cm). Bài tập minh họa Bài 1: Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB và C là điểm bất kì ở giữa A và M. Chứng tỏ rằng: \(CM = \frac{{CB - CA}}{2}.\) Hướng dẫn giải: Vì M là trung điểm của AB và C ở giữa A và M nên ta có: \(MA = \frac{{AB}}{2} = \frac{{CA + CB}}{2}\) (vì CA+CB=AB). Ta lại có: \(CM + CA = MA \Rightarrow CM = MA - CA\) \( \Rightarrow CM = \frac{{CA + CB}}{2} - CA = \frac{{CB - CA}}{2}.\) Bài 2: Trên đường thẳng xy cho ba điểm A, B, C theo thứ tự đó. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng tỏ rằng: \(MN = \frac{{AB + BC}}{2}.\) Hướng dẫn giải: M là trung điểm của AB nên: \(MB = \frac{{AB}}{2}.\) N là trung điểm của BC nên: \(MC = \frac{{BC}}{2}.\) Suy ra: \CMN = MB + BN = \frac{{AB}}{2} + \frac{{BC}}{2} = \frac{{AB + BC}}{2} = \frac{{AC}}{2}.\)
