Bài 1 trang 90 sgk toán 7 tập 2. Cho điểm M và hai đường thẳng a, b không song song với nhau (h.59) a) Vẽ đường thẳng MH vuông góc với a (H ∈ a) , MK vuông góc với b (K ∈ b). Nêu cách vẽ. b) Qua M vẽ đường thẳng xx’ song song với a và đường thẳng yy’ song song với b. Nêu cách vẽ. c) Viết tên các cặp góc bằng nhau, bù nhau. Hướng dẫn làm bài: a) Trước hết, ta nêu cách vẽ một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. 1.Cách vẽ dùng ê ke và thước kẻ: +Cho trước đường thẳng p và M ∉ p. Đặt một lề ê ke trùng với p, dịch chuyển ê ke trên p sao cho lề thứ hai của ê ke sát vào M +Cho trước đường thẳng p và \(M \in p\) Đặt một lề ê ke trùng với p và dịch chuyển ê ke trên p sao cho góc ê ke trùng với M. 2.Cách vẽ dùng compa và thước kẻ: +Cho trước đường thẳng p và M ∉ p. Vẽ đường thẳng qua M vuông góc với p. Chọn trên p hai điểm A và B. Vẽ các đường tròn (A; AM) và (B; BM) Hai đường tròn này cắt nhau tại M và M’ thì NM’ vuông góc với p Chú ý: Có thể xem bài tập 51 phần hình học. Cho trước đường thẳng p và Vẽ đường thẳng vuông góc với p tại M Dùng compa vẽ đường tròn (M; r1) cắt p tại A và B. Vẽ các đường tròn (A;r2) và (B; r2) với r2 > r1. Các đường tròn này cắt nhau tại E và F thì đường thẳng EF vuông góc p tại M. Bây giờ ta theo một trong hai cách vẽ nêu trên vẽ đường thẳng qua M vuông góc a tại H và đường thẳng qua M vuông góc với b tại K b) Vẽ đường thẳng xx’ vuông góc với MH tại M và đường thẳng yy’ vuông góc với MK tại M thì xx’ // a (vì cùng vuông góc với MH) và yy’ //b. c) Giả sử a cắt yy’ tại N và b cắt xx’ tại P. Một số cặp góc bằng nhau là x’My’ và x’PK, HNM và MPK. Một số cặp góc bù nhau, chẳng hạn như HNM và NMx’, KPM và PMy’. Bài 2 trang 91 sgk toán 7 tập 2. Xem hình 60. a) Giải thích vì sao a//b. b) Tính số đo góc NQP. Hướng dẫn làm bài: a) Các đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng MN nên a//b. b) \(\widehat {NQP} và \widehat {QPM}\) là hai góc trong cùng phía tạo bởi đường thẳng PQ cắt hai đường thẳng song song nên chúng bù nhau. \(\widehat {NQP} + \widehat {QPM} = {180^0}\) => \(\widehat {NQP} = {180^0} - \widehat {QPM} = {180^0} - {50^0} = {130^0}\) Bài 3 trang 91 sgk toán 7 tập 2. Hình 61 cho biết a//b, \(\hat C = {44^0},\hat D = {132^0}\). Tính số đo góc COD. (Hướng dẫn: Vẽ đường thẳng song song với đường thẳng a và đi qua điểm O). Hướng dẫn làm bài: Vẽ tia Ot // a (Ca, Ot nằm ở hai nửa mp đối nhau có bờ OC). \(\widehat {COD} = \widehat {COt} + \widehat {DOt}\) Mà a // Ot => \(\widehat {COt} = {180^0} - \widehat {OPb}\) (hai góc trong cùng phía) Suy ra: \(\widehat {tOD} = {180^0} - {132^0} = {48^0}\) Vậy \(\widehat {COD} = {44^0} + {48^0} = {92^0}\) Bài 4 trang 91 sgk toán 7 tập 2. Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy. Đường trung trực của đoạn thẳng OA cắt Ox ở D, đường thẳng trung trực của đoạn thẳng OB cắt Oy ở E. Gọi C là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh rằng: a) CE = OD; b) CE ⊥ CD; c) CA = CB; d) CA // DE; e) Ba điểm A, B, C thẳng hàng. Hướng dẫn làm bài: a) EC // Ox (cùng vuông góc Oy) DC // Oy (cùng vuông góc Ox) Do đó: \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{E_2}}\) (So le trong) \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_2}}\) (So le trong) Mà DE chung =>∆CDE = ∆OED =>CE = OD và CD = OE b) Vì ∆CDE = ∆OED => \(\widehat {ECD} = \widehat {DOE}\) =>CE ⊥ CD c) Hai tam giác vuông BEC, CDA có : CD = BE (cùng bằng OE) CE = AD (cùng bằng OD) => ∆BCE = ∆CDA => CB = CA d) Hai tam giác vuông CDA, DCE bằng nhau vì có hai cặp cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau nên \(\widehat {DCA} = \widehat {{D_2}}\) lại so le trong nên CA // DE. e) Chứng minh tương tự như d suy ra CB // DE. Do đó theo tiên đề Ơ clit ta suy ra hai đường thẳng BC và CA trùng nhau hay A, B, C thẳng hàng. Bài 5 trang 91 sgk toán 7 tập 2. Tính số đo x trong mỗi hình 62, 63, 64: Hướng dẫn làm bài: a)∆ABC có AC = AB, \(\hat A = {90^0}\)nên vuông cân tại A. => \(\widehat {ACB} = {45^0}\) Mà ∆BCD cân tại C (BC = CD) có \(\widehat {ACB}\) là góc ngoài tại C nên \(\widehat {ACB} = 2{\rm{x}} \Rightarrow x = {1 \over 2}\widehat {ACB} = {1 \over 2}{45^0} \Rightarrow x = {22^0}30'\) b)Vẽ tia Cx // BA (BA, Cx thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ BC) => \(\widehat {ABC} = \widehat {BCx} = {27^0}\) Mà \(\widehat {xCD} = \widehat {BCD} - \widehat {BCx} = {112^0} - {27^0} = {85^0}\) Vì Cx //ED (cùng song song AB) => \(\widehat {CDE} = \hat x = {85^0}\) c)Vì AB // CD => \(\widehat {ABC} = {67^0}\) (đvi) ∆ABC cân tại A (AB = AC) nên \(\hat x = \widehat {BAC} = {180^0} - 2\widehat {ABC} = {180^0} - {2.67^0} = {46^0}\) Bài 6 trang 92 sgk toán 7 tập 2. Cho tam giác ADC (AD = DC) có \(\widehat {ACD} = {31^0}\). Trên cạnh AC lấy một điểm B sao cho \(\widehat {ABD} = {88^0}\). Từ C kẻ một tia song song với BD cắt tia AD ở E. a) Hãy tính các góc DCE và DEC. b) Trong tam giác CDE, cạnh nào lớn nhất? Tại sao? Hướng dẫn làm bài: a)∆ADC cân tại D, có \(\widehat {ADC} = {31^0} = > \widehat {ADC} = {180^0} - 2.\hat C\) => \(\widehat {ADC} = {180^0} - {62^0} = {118^0}\) +∆ADB có \(\hat A = {31^0},\widehat {ABD} = {88^0}\) => \(\widehat {ADB} = {180^0} - \left( {{{31}^0} + {{88}^0}} \right)\) Hay \(\widehat {ADB} = {61^0}\) +BD //CE => \(\widehat {DEC} = \widehat {ADB} = {61^0}\) (đồng vị) b) \(\widehat {EDC}\) là góc ngoài ∆ADC cân tại D => \(\widehat {EDC} = 2.\hat C = {62^0}\) ∆DEC có \(\hat E = {61^0};\hat D = {62^0} = > \widehat {DCE} = {57^0}\) Vì \({57^0} < {61^0} < {62^0} = > DE < DC < CE\) Vậy CE là cạnh lớn nhất. Bài 7 trang 92 sgk toán 7 tập 2. Từ một điểm M trên tia phân giác của góc nhọn xOy, kẻ đường vuông góc với cạnh O (tại A), đường thẳng này cắt cạnh Oy tại B. a)Hãy so sánh hai đoạn thẳng OA và MA. b)Hãy so sánh hai đoạn thẳng OB và OM. Hướng dẫn làm bài: a) ∆AOM vuông tại A có => \(\widehat {{O_1}} < {45^0}\) ( \(\widehat {xOy}nhn)\) Mà \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{M_1}} = {90^0}\) => \(\widehat {{M_1}} > {45^0} = > \widehat {{M_1}} > \widehat {{O_1}}\) =>OA > MA b) ∆OMB có \(\widehat {{M_2}}\) là góc ngoài tại M của ∆OMA => \(\widehat {{M_2}} = > \widehat {{O_1}} + {90^0} = > \widehat {{M_2}} > {90^0}hay\widehat {{M_2}}\) là góc tù =>OB là cạnh lớn nhất nên OB > OM Bài 8 trang 92 sgk toán 7 tập 2. Cho tam giác ABC vuông tại A; đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC (\(H \in BC)\). Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng: a)∆ABE= ∆HBE. b)BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH. c)EK = EC. d)AE < EC. Hướng dẫn làm bài: a)∆ABE = ∆HBE Xét hai tam giác vuông ∆ABE và ∆HBE, ta có: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (do BE là phân giác của góc B) BE : cạnh huyền chung Vậy ∆ABE = ∆HBE (g.c.g) b) Chứng minh BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH. Vì ∆ABE = ∆HBE =>BA = BH, EA = EH =>E, B cùng thuộc trung trực của AH nên đường thẳng EB là trung trực của AH. c) EK = EC. Xét 2 tam giác ∆AEK và ∆HEC , ta có: \(\widehat H = \widehat A = {90^0}\) EA = EH (chứng minh trên) \(\widehat {{E_2}} = \widehat {{E_1}}\) (đối đỉnh) Vậy ∆AEK = ∆HEC => EK = EC (đpcm) Trong tam giác vuông AEK ta có: AE < EK (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông) Mà EC = EK. Suy ra EC < EK (đpcm) Bài 9 trang 92 sgk toán 7 tập 2. Chứng minh rằng: Nếu tam giác ABC có đường trung tuyến xuất phát từ A bằng một nửa cạnh BC thì tam giác đó vuông tại A. Ứng dụng: Một tờ giấy bị rách ở mép (h.65). Hãy dùng thước và compa dựng đường vuông góc ở cạnh AB tại A. Hướng dẫn làm bài: Giả sử ∆ABC có AD là đường trung tuyến ứng với BC và \(DA = {1 \over 2}BC = > AD = BD = DC\) Hay ∆ADC, ∆ADB cân tại D. Do đó: \(\left. {\matrix{ {\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}} \cr {\widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}}} \cr } } \right\} = > \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}\) Mà \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = {180^0}\) (tổng các góc ∆ABC) => \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = {90^0}\) Hay ∆ABC vuông tại A. Áp dụng -Vẽ đường tròn (A;r); \(r = {{AB} \over 2}\); vẽ đường tròn (B, r) -Gọi C là giao điểm của 2 cung tròn nằm ở phía trong tờ giấy. -Trên tia BC lấy D sao cho BC = CD => AB ⊥ AD. Thật vậy: ∆ABD có AC là trung tuyến ứng với BD (BD = CD) và AC = BC = CD. => \(AC = {1 \over 2}BD => ∆ ABD vuông tại A Bài 10 trang 92 sgk toán 7 tập 2. Cho hình 66. Không vẽ giao điểm của a, b, hãy nêu cách vẽ đường thẳng đi qua giao điểm này và điểm M. Hướng dẫn làm bài: Áp dụng bài 69 ta có cách vẽ sau: -Vẽ đường thẳng qua M vuông góc với a tại A cắt b tại B. -Vẽ đường thẳng qua M vuông góc với b tại C cắt a tại D. -Vẽ đường thẳng c qua M vuông góc với BD =>C là đường qua M và qua giao điểm của hai đường a, b Vì 3 đường thẳng a, b, c là 3 đường cao trong ∆DMB nên đồng quy Bài 11 trang 92 sgk toán 7 tập 2. Đố: Cho tam giác ABC. Em hãy tô màu để xác định phần bên trong của tam giác gồm các điểm M sao cho: MA < MB < MC. (Hướng dẫn: Trước tiên tô màu để xác định các điểm M ở trong tam giác mà MA< MB; lần thứ hai là MA < MC. Phần trong tam giác được tô màu hai lần là phần phải tìm). Hướng dẫn làm bài: Điểm M nằm trong ∆ABC sao cho AM < BM thì tô phần tam giác ABC thuộc nửa mp bờ là trung trực của đoạn AB có chứa điểm A. -Điểm M nằm trong ABC sao cho MB
