Bài tập minh họa Bài 1: Cho tam giác ABC với D là một điểm bất kì trên AB, đường thẳng qua D và song song với BC cắt AC tại E, đường thẳng qua E và song song với AB cắt BC tại F, đường thẳng qua F và song song với BE cắt AC tại G. Chứng minh rằng: \(\frac{{A{\rm{D}}}}{{AB}} = \frac{{EG}}{{EC}}\) Hướng dẫn: Áp đụng định lí Thales cho tam giac ABC có DE song song BC ta có :\(\frac{{A{\rm{D}}}}{{AB}} = \frac{{A{\rm{E}}}}{{AC}}\) (1) Áp đụng định lí Thales cho tam giac ABC có FE song song AB ta có : \(\frac{{A{\rm{E}}}}{{AC}} = \frac{{BF}}{{BC}}\) (2) Áp đụng định lí Thales cho tam giac BEC có FG song song BE ta có : \(\frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{EG}}{{EC}}\) (3) Từ (1),(2) và (3) ta được :\(\frac{{A{\rm{D}}}}{{AB}} = \frac{{EG}}{{EC}}\) Bài 2: Cho hình tang ABCD (AB, CĐ là đáy). Trên cạnh AD lấy E sao cho \(\frac{{A{\rm{E}}}}{{E{\rm{D}}}} = \frac{p}{q}\). Qua E kẻ đường thẳng song song với các đáy cắt BC tại F. Chứng minh rằng \(EF = \frac{{p.C{\rm{D}} + q.AB}}{{p + q}}\) Hướng dẫn: Ta có: \(\begin{array}{l} \frac{{AE}}{{ED}} = \frac{p}{q} \Rightarrow \frac{{ED}}{{AE}} = \frac{{AD - AE}}{{AE}} = \frac{{AD}}{{AE}} - 1 = \frac{q}{p}\\ \Rightarrow \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{p}{{p + q}} \end{array}\) Gọi I là giao điểm của AC và EF. Tam giác ACD có EI song song CD nên theo định lí Thales ta được: \(\begin{array}{l} \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{EI}}{{CD}} = \frac{{AI}}{{AC}} = \frac{p}{{p + q}}\\ \Rightarrow \left( {p + q} \right).EI = p.CD (1) \end{array}\) Ta có: \(\begin{array}{l} \frac{{AI}}{{AC}} = \frac{{AC - IC}}{{AC}} = 1 - \frac{{IC}}{{AC}} = \frac{p}{{p + q}}\\ \Rightarrow \frac{{IC}}{{AC}} = 1 - \frac{p}{{p + q}} = \frac{q}{{p + q}} \end{array}\) Tam giác ABC có IF song song AB áp dụng định lí Thales ta có : \(\begin{array}{l} \frac{{IC}}{{AC}} = \frac{{IF}}{{AB}} = \frac{q}{{p + q}}\\ \Rightarrow \frac{{IF}}{{AB}} = \frac{q}{{p + q}} \Rightarrow \left( {p + q} \right)IF = q.AB (2) \end{array}\) Cộng (1) và (2) theo vế ta được: \(\begin{array}{l} \left( {p + q} \right).EI + \left( {p + q} \right)IF = p.CD + q.AB\\ \left( {p + q} \right)\left( {EI + IF} \right) = p.CD + q.AB\\ EF = \frac{{p.CD + q.AB}}{{p + q}} \end{array}\) Ta được điều cần chứng minh. Bài 3: Cho hình thang ABCD với AB và CD là hai đáy AB < CD. Olà giao điểm của hai đường chéo. E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng EO đi qua trung điểm của hai đáy. Hướng dẫn: Gọi F và H lần lượt là giao điểm của OE và AB, CD. Đường thẳng qua A và song song với BD cắt OE tại P. Áp đụng định lí Thales trong tam giác EOD ta có:\(\frac{{EA}}{{ED}} = \frac{{EP}}{{EO}}\) (1) Bên cạnh đó áp dụng định lí Thales trong tam giác ECD ta cũng có:\(\frac{{EA}}{{ED}} = \frac{{EB}}{{EC}}\)(2) Từ (1) và (2) ta được :\(\frac{{EP}}{{EO}} = \frac{{EB}}{{EC}}\) Trong tam giác EOC ta có \(\frac{{EP}}{{EO}} = \frac{{EB}}{{EC}}\) nên theo định lí Thales đảo ta được \(PB\parallel OC\) hay \(PB\parallel OA\) Xét tứ giác APBO có : \(\begin{array}{l} AP\parallel OB\\ PB\parallel OA \end{array}\) Nên APBO là hình bình hành. ⇒ F là trung điểm AB (APBO là hình bình hành).(3) Sử dụng định lí Thales trong tam giác ADH ta có :\(\frac{{AF}}{{DH}} = \frac{{EF}}{{EH}}\) Tương tự trong tam giác EHC ta cũng có:\(\frac{{BF}}{{CH}} = \frac{{EF}}{{EH}}\) \( \Rightarrow \frac{{AF}}{{DH}} = \frac{{BF}}{{CH}}\) mà AF=BF nên CH=DH vậy H là trung điểm CD (4) Từ (3) và (4) ta được điều phải chứng minh.
