Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. ABCD là hình thang cân (đáy AB; CD) \( \Leftrightarrow {\rm{ AB // CD }}\) và \({\rm{\hat C = \hat D}}\) 2. Tính chất: Định lí 1: Trong một hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau, ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD) => AD = BC Định lí 2: Trong một hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau, ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD) => AC = BD Định lí 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. Hình thang ABCD (đáy AB, CD) có AC = BD => ABCD là hình thang cân. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân: - Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân. - Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. Lưu ý: * Hình thang cân thì có 2 cạnh bên bằng nhau nhưng hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau chưa chắc là hình thang cân. Ví dụ như hình vẽ dưới đây: Bài tập minh họa Bài 1: Cho hình thang cân ABCD có \(AB\parallel CD\), AB < CD, H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên CD. Chứng minh rằng: DK=HC. Hướng dẫn: Ta có hình vẽ như sau: Xét hai tam giác vuông ADH và BCK ta có: AD=BC (hai cạnh bên của hình thang cân) \(\angle ADH = \angle BCK\) (hai góc kề một đáy của hình thang cân) \( \Rightarrow \Delta ADH = \Delta BCK\) (cạnh huyền- góc nhọn) ⇒DH = CK ⇒DH+HK =CK+HK ⇒DK=CH ( điều phải chứng minh) Bài 2: Cho hình thang cân ABCD có \(AB\parallel CD\) ,AB < CD, gọi E là giao điểm của hai cạnh bên, F là giao điểm của hai đường chéo. chứng minh rằng EF là trung trực của AB. Hướng dẫn: Ta có hình vẽ: Dễ thấy rằng EAB là tam giác cân tại E , ta có EA=EB nên E nằm trên đường trung trực của AB.(1) Xét hai tam giác ABD và BAC ta có: AB là cạnh chung AD=BD (cạnh bên của hình thang cân) AC=BD (hai đường chéo của hình thang cân) \( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta BAC\) (cạnh-cạnh-cạnh) ⇒\(\angle ABD = \angle BAC\) ⇒ AFD là tam giác cân tại F ⇒AF=BF nên F cũng nằm trên đường trung trực của AB(2) Từ (1) và (2) có È là đường trung trực của AB (điều phải chứng minh) Bài 3: Hình thang cân ABCD với AB, CD là hai đáy, AB < CD có \(BD \bot BC\) , BD là phân giác của góc D, biết BC=6 cm. Tính chu vi hình thang. Hướng dẫn: Ta có:\(\angle ADC = \angle BCD\) (tính chất hình thang cân) Mà \(\angle BDC = \frac{1}{2}\angle ADC\) (tính chất đường phân giác) \( \Rightarrow \angle BDC = \frac{1}{2}\angle BCD\) Bên cạnh đó ta còn có \(\angle BDC + \angle BCD = {90^0}\) Từ đó ta được \(\begin{array}{l} \angle BDC = {30^0}\\ \angle BCD = {60^0} \end{array}\) Gọi E là trung điểm của CD, xét tam giác BEC ta có: \(BE = EC = \frac{1}{2}CD\) (BE là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên bằng một nửa cạnh huyền) \(\angle BCD = {60^0}\) ⇒Tam giác BEC là tam giác đều ⇒\(BC = BE = EC = \frac{1}{2}CD\) ⇒CD=2.BC=2.6=12 (cm) Ta có: \(\angle ADB = \angle BDE\) (tính chất đường phân giác) \(\angle BDE = \angle ABD\) (hai góc so le trong) ⇒\(\angle ADB = \angle ABD\) ⇒ Tam gác ABD cân tại A ⇒AB=AD mà AD=BC=6 nên AB=6 cm Vậy chu vi hình thang ABCD là : AB+BC+CD+DA=6+6+12+6=30 (cm)
