Tóm tắt lý thuyết Kiến thức cần nhớ: 1. Định lí * Đường phân giác trong của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy. * Đường phân giác ngoài tại một đỉnh của tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn thẳng ấy. \(\begin{array}{l}\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\\\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\end{array}\) Như vậy, chân các đường phân giác trong và phân giác ngoài của một góc tại một đỉnh của tam giác là các điểm chia trong và chia ngoài cạnh đối diện theo tỉ số bằng tỉ số của hai cạnh bên tương ứng. \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\) Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với AB = c, AC = b, BC = a. Kẻ tia phân giác AD của góc A. 1. Tính độ dài các đoạn thẳng BD, CD. 2. Đường thẳng song song với AC, kẻ từ D, cắt cạnh AB tại điểm E. Tính BE, AE và DE. Giải 1. Ta có, theo định lí về tính chất của đường phân giác: \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{c}{b} \Rightarrow \frac{{DB}}{{DB + DC}} = \frac{c}{{b + c}}\) \( \Rightarrow \frac{{DB}}{{BC}} = \frac{c}{{b + c}} \Rightarrow DB = \frac{{ac}}{{b + c}}.\) Tương tự, ta có: \(DC = \frac{{ab}}{{b + c}}\) 2. DE // AC cho ta: \(\frac{{BE}}{{BA}} = \frac{{BD}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{BE}}{c} = \frac{c}{{b + c}}\) \( \Rightarrow BE = \frac{{{c^2}}}{{b + c}}\) Tương tự, ta có: \(AE = \frac{{bc}}{{b + c}}\) AD là phân giác góc A: \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) DE//AC: \(\widehat D = \widehat {{A_1}}\) \( \Rightarrow \Delta AED\) cân tại E cho ta \(DE = AE = \frac{{bc}}{{b + c}}\) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác AD. Trên tia đối của tia BA, lấy điểm E sao cho BE = BD và trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF = CD. 1. Chứng minh EF // BC. 2. Chứng minh ED là phân giác của góc BEF và FD là phân giác của góc CFE. Giải 1. AD là phân giác của góc A nên: \(\) \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) Theo giả thiết, BE = BD và CF = CD nên ta được: \(\frac{{EB}}{{FC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{EB}}{{AB}} = \frac{{FC}}{{AC}}\) Theo định lí Talet, ta suy ra EF // BC. 2. \(\Delta DBE\) cân \( \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}}\) \({\rm{EF}}//BC \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{E_2}} \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}}\) \( \Rightarrow ED\) là tia phân giác của góc BEF. Trường hợp còn lại, chứng minh tương tự (hoặc có thể nhận xét, D là giao điểm của các đường phân giác trong của tam giác AEF). Ví dụ 3: Cho tam giác ABC và một điểm D thuộc cạnh BC, biết \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\) Chứng minh AD là phân giác của góc A. Giải Kẻ phân giác AD’ của góc A. Theo định lí về tính chất của tam giác, ta có: \(\frac{{D'B}}{{D'C}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) Giả thiết cho \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) Vậy \(\frac{{D'B}}{{D'C}} = \frac{{DB}}{{DC}} \Rightarrow \frac{{D'B}}{{D'C + D'B}} = \frac{{DB}}{{DB + DC}} \Rightarrow \frac{{D'B}}{{BC}} = \frac{{DB}}{{BC}}\) \( \Rightarrow D'B = DB.\) Vậy điểm D trùng với D’ hay AD là phân giác của góc A. Bài tập minh họa Bài 1: Cho hình thoi ABCD. Trên tia đối của tia CD, lấy một điểm E, gọi F là giao điểm của AE và cạnh BC. Đường thẳng song song với AB kẻ qua F, cắt đoạn thẳng BE tại điểm P. Chứng minh CP là phân giác của góc BCE. Giải \(AB//DE \Rightarrow \frac{{BF}}{{FC}} = \frac{{AB}}{{CE}}\) Mà AB = BC nên \(\frac{{BF}}{{FC}} = \frac{{BC}}{{CE}}\,\,\,\,(1)\) FP // CE \( \Rightarrow \frac{{BF}}{{FC}} = \frac{{PB}}{{PE}}\,\,\,\,\,(2)\) Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{PB}}{{PE}} = \frac{{CB}}{{CE}} \Rightarrow \) CP là tia phân giác góc BCE. Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Phân giác của góc A cắt đường chéo BD tại E và phân giác của góc B cắt đường chéo AC tại F. Chứng minh EF // AB. Giải Ta có \(\frac{{ED}}{{EB}} = \frac{{ED}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\) \(\frac{{FC}}{{FA}} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\) Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{ED}}{{EB}} = \frac{{FC}}{{FA}}\) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, ta có: \(\frac{{ED}}{{EB}} = \frac{{FC}}{{FA}} \Rightarrow \frac{{ED}}{{EB - ED}} = \frac{{FC}}{{FA - FC}}\)\( \Rightarrow \frac{{ED}}{{OE}} = \frac{{FC}}{{OF}}\) \( \Rightarrow {\rm{EF//DC}}\) Bài 3: Cho tam giác ABC, có cạnh BC cố định, đỉnh A thay đổi nhưng tỉ số \(\frac{{AB}}{{AC}} = k,\) với k là một số thực dương cho trước. Các tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh A, cắt cạnh BC và cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại các điểm D, E. 1. Chứng minh rằng D, E là hai điểm cố định. 2. Tìm quỹ tích đỉnh A. Giải 1. Theo định lí về tính chất của đường phân giác, ta có: \(\begin{array}{l}\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = k\\\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = k.\end{array}\) Các tỉ số \(\frac{{DB}}{{DC}}\) và \(\frac{{EB}}{{EC}}\) bằng k không đổi, hai điểm B, C cố định, suy ra hai điểm D, E chia trong và chia ngoài đoạn thẳng cố định BC theo một tỉ số không đổi nên D và E là hai điểm cố định. 2. AD và AE là các tia phân giác của hai góc kề bù, vậy: \(AD \bot AE \Rightarrow \widehat {DAE} = {90^0}\) Điểm A nhìn đoạn thẳng cố định DE dưới một góc vuông. Vậy quỹ tích A là đường tròn đường kính DE (có tâm là trung điểm I của DE và bán kính \(\frac{{DE}}{2}\)).
