Tóm tắt lý thuyết Kiến thức cần nhớ: I. Đường trung bình của tam giác: 1.Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. Ở hình trên ta gọi DE là đường trung bình cùa tam giác ABC. 2.Các định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba. Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. II. Đường trung bình của hình thang: 1.Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên của hình thang. Ở hình trên ta gọi EF là đường trung bình của hình thang ABCD. 2.Các định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và sông sông với hai đáy thì đi qua trung điểm cânhj bên thứ hai. Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và có độ dài bằng một nửa tổng hai đáy. Bài tập minh họa Bài 1: Cho tam giác ABC có D,E,F lần lượt là trung điểm của các danh AB,AC,BC. gọi G là trung điểm của AF. Chứng minh D,G,E thẳng hàng và G là trung điểm DE. Hướng dẫn: Chứng minh D, G, E thẳng hàng Xét tam giác ABF có: D là trung điểm AB G là trung điểm AF ⇒DG là đường trung bình của tam giác ABF \( \Rightarrow DG\parallel BF\) và \(DG = \frac{1}{2}BF\) Xét tam giác AFC có: G là trung điểm AF E là trung điểm AC ⇒GE là đường trung bình của tam giác AFC \( \Rightarrow GE\parallel FC\) và \(GE = \frac{1}{2}FC\) Ta có: \( DG\parallel BF\) và \( GE\parallel FC\) ⇒D, G, E thẳng hàng (tiên đề Euclid) Chứng minh G là trung điểm của DE Ta có: \(DG = \frac{1}{2}BF\) và \(GE = \frac{1}{2}FC\) Mà BF=CF (F là trung điểm BC) ⇒DG=GE Mà D,E,G thẳng hàng ⇒G là trung điểm của DE Bài 2: Cho tam giác ABC có BD và CE là các đường trung tuyến cắt nhau tại G, gọi I, K lần lượt theo hứ tự là trung điểm của GB và GC. Chứng minh rằng \(DE\parallel IK\) và DE=IK Hướng dẫn: Xét tam giác ABC có: E là trung điểm AB D là trung điểm AC ⇒DE là đường trung bình của tam giác ABC. \( \Rightarrow DE\parallel BC\) và \(DE = \frac{1}{2}BC\) Tương tự với tam giác GBC ta cũng có: I là trung điểm GB K là trung điểm GC ⇒IK là đường trung bình của tam giác GBC. \( \Rightarrow IK\parallel BC\) và \(IK = \frac{1}{2}BC\) \( \Rightarrow IK\parallel DE\) (cùng song song với BC ) và IK=DE (cùng bằng một nửa BC) Bài 3: Cho hình thang ABCD có AB, CD là hai đáy va AB < CD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BD và AC. Chứng minh rằng: \(EF = \frac{{CD - AB}}{2}\) Hướng dẫn: Gọi G và H lần lượt là trung điểm của AD và BC. Xét tam giác ADC có: G là trung điểm AD F là trung điểm AC ⇒GF là đường trung bình của tam giác ADC \( \Rightarrow GF\parallel DC\) và \(GF = \frac{1}{2}CD\) Chứng minh tương tự với tam giác BCD ta cũng có: EH là đường trung bình của tam giác BCD \( \Rightarrow EH\parallel CD\) và \(EH = \frac{1}{2}CD\) Ta có \(GF\parallel DC\) và \(EH\parallel CD\) ⇒E,F,G,H thẳng hàng. Xét tam giác ABD dễ thấy GE là đường trung bình của tam giác ABD nên \(GE = \frac{1}{2}AB\) Tương tự với tam giác ABC ta cũng chứng minh được \(FH = \frac{1}{2}AB\) Mặt khác ta có GH là đường trung bình của hình thang ABCD nên \(GH = \frac{{AB + CD}}{2}\) Ta có \(\begin{array}{l} GH = GE + EF + FH\\ \,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}AB + EF + \frac{1}{2}AB\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,= AB + EF = \frac{{AB + CD}}{2} \end{array}\) \( \Rightarrow EF = \frac{{CD - AB}}{2}\) (điều phải chứng minh)
