Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song. ABCD là hình bình hành \( \Leftrightarrow \) AB // CD và AD // BC. Như vậy, hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên song song. 2. Tính chất Định lí: Trong một hình bình hành thì: a) Các cạnh đối bằng nhau. ABCD là hình bình hành \( \Rightarrow \) AB =DC và AD = BC. b) Các góc đối bằng nhau ABCD là hình bình hành \( \Rightarrow \)\(\widehat {A\,} = \widehat C\) và \(\widehat B = \widehat D\) c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. ABCD là hình bình hành \( \Rightarrow \) OA = OC và OB = OD 3. Dấu hiệu nhận biết Tứ giác có một trong các tính chất sau đây là hình bình hành 1. Các cạnh đối song song Tứ giác ABCD có AB // CD và AD // BC \( \Rightarrow \) ABCD là hình bình hành. 2. Các cạnh đối nhau Tứ giác ABCD có AB = CD và AD = BC \( \Rightarrow \) ABCD là hình bình hành. 3. Các góc đối bằng nhau Tứ giác ABCD có \(\widehat {A\,} = \widehat C\) và \(\widehat B = \widehat D\) \( \Rightarrow \) ABCD là hình bình hành. 4. Có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Tứ giác ABCD có OA = OC và OB = OD \( \Rightarrow \) ABCD là hình bình hành. 5. Có hai cạnh đối song song và bằng nhau Tứ giác ABCD có AB // CD và AB = CD hoặc AD // BC và AD = BC \( \Rightarrow \) ABCD là hình bình hành. Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự, lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành. Giải ABCD là hình bình hành cho ta: AB = CD và \(\widehat B = \widehat D\) Theo giả thiết AM = CP nên từ trên ta suy ra: BM = DP Xét hai tam giác BMN và DPQ có: \(\begin{array}{l}BM = DP\\\widehat B = \widehat D\\BN = DQ\\ \Rightarrow \Delta BMN = \Delta DPQ \Rightarrow \widehat M = \widehat P\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array}\) Gọi E là giao điểm của PQ và đường thẳng AB \(DC//AB \Rightarrow \widehat P = \widehat E\) (2) Từ (1), (2) và vì \(\widehat M,\widehat E\) là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra: MN // PQ Chứng minh tương tự ta có: MQ // NP Tứ giác MNPQ có các cạnh đối song song nên theo định nghĩa nó là hình bình hành. Ví dụ 2: Cho tam giác cân ABC, AB = AC và P là một điểm bất kì thuộc cạnh đáy BC. Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng BP, CP. Đường trung trực của BP cắt cạnh AB tại điểm E. Đường trung trực của CP cắt cạnh AC tại điểm F. 1. Chứng tỏ tứ giác AEPF là hình bình hành 2. Tổng PE + PF không phụ thuộc vào việc chọn điểm P trên BC. Giải 1. \(\Delta PFC\) cân đỉnh F vì FP = FC Nên \(\widehat {{P_1}} = \widehat C\) mà \(\widehat C = \widehat B\) \( \Rightarrow \widehat {{P_1}} = \widehat B \Rightarrow PF//AB\) Tương tự, ta có PE // AC Tứ giác AEPF có các cạnh đối song song. Vậy nó là hình bình hành. 2. AEPF là hình bình hành nên PE = BE PF = EA \(\Rightarrow PE + PF = BE + EA = AB\) Tổng PE + PF luôn bằng cạnh bên AB của tam giác cân. Vậy nó không phụ thuộc vào việc chọn điểm P trên cạnh BC. Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo AC lấy hai điểm E, F sao cho AE = EF = FC. 1. Chứng minh tứ giác BEDF là hình bình hành 2. DF cắt BC tại M. Chứng minh DF = 2FM 3. BF cắt DC tại I và DE cắt AB tại J. Chứng minh ba điểm I, O, J thẳng hàng. Giải 1. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, ta có: OA = OC Kết hợp với AE = CF, ta suy ra OE = OF \( \Rightarrow \) O là trung điểm của EF Ta cũng có O là trung điểm của DB. Vậy BEDF là hình bình hành 2. Ta có \({\rm{OF}} = \frac{1}{2}{\rm{EF}} \Rightarrow {\rm{FC = }}\frac{2}{3}OC.\) Trong tam giác CDB, điểm F nằm trên trung tuyến CO và cách đỉnh một đoạn bằng \(\frac{2}{3}\) trung tuyến. Vậy F là trọng tâm của \(\Delta CDB,\) suy ra: DF = 2FM 3. F là trọng tâm của \(\Delta CDB\) suy ra I là trung điểm của DC: \(DI = \frac{1}{2}DC.\) Tương tự, E là trọng tâm của \(\Delta ADB\), suy ra \(BJ = \frac{1}{2}AB\) Vậy DI = BJ Tứ giác BIDJ có DI // BJ và DI = BJ nên nó là hình bình hành, suy ra IJ đi qua trung điểm O của DB. Bài tập minh họa Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC và I, J, K theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng DF, BF và CD. Chứng minh: 1. Các tứ giác IJFK và IEKJ là các hình bình hành 2. Ba điểm E, K, F thẳng hàng Giải 1. Ta có IJ // DB và \({\rm{IJ}} = \frac{1}{2}DB\) KF // DB và \(KF = \frac{1}{2}DB\) \( \Rightarrow {\rm{IJ}}//KF\) và IJ = KF \( \Rightarrow \) IJFK là hình bình hành Tương tự ta có IEKJ là hình bình hành. 2. Ta có DE // FC và DE = FC \( \Rightarrow \) DECF là hình bình hành \( \Rightarrow \) EF đi qua K. Bài 2: Chứng minh rằng: 1. Trong một hình bình hành, giao điểm của các đường chéo trùng với giao điểm của các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối 2. Ngược lại, nếu một tứ giác có giao điểm của hai đường chéo trùng với giao điểm của các đoạn thẳng nối hai trung điểm của các cạnh đối thì tứ giác đó là hình bình hành. Giải 1. Xét hình bình hành ABCD, I là trung điểm của AB, J là trung điểm của DC. Dễ thấy \(\Delta AIO = \Delta CJO\), suy ra: Ba điểm I, O, J thẳng hàng OI = OJ \( \Rightarrow \) O là trung điểm của IJ Tương tự, với H là trung điểm của AD và K là trung điểm của BC thì O cũng là trung điểm của HK. 2. Ngược lại, giả sử tứ giác ABCD có giao điểm O của hai đường chéo AC, BD cũng là trung điểm của các đoạn thẳng IJ, HK nối trung điểm của các cạnh đối diện. Tứ giác HIKJ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành, cho ta: \(IK//HJ \Rightarrow \widehat {{I_1}} = \widehat {{J_1}}\) Xét hai tam giác MOJ và NOI ta có: \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{J_1}}\) \(OI = {\rm{OJ}}\) \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) (đối đỉnh) \( \Rightarrow \Delta M{\rm{OJ}} = \Delta NOI \Rightarrow OM = ON\) (1) Trong tam giác ABC, IK là đường trung bình, suy ra N là trung điểm của OB: \(ON = \frac{1}{2}OB\) (2) Tương tự ta có \(OM = \frac{1}{2}OD\,\,\,\,\,(3)\) Từ (2), (3) và (3) suy ra OB = OD Chứng minh tương tự, ta có OA = OC. Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành. Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của hai cạnh đối AB, CD, M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AF, CE, BF và DE. 1. Chứng minh các đường thẳng MP, NQ và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 2. Suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành. Giải 1. ME // FP và ME = FP (ME là đường trung bình của tam giác AFB) \( \Rightarrow \) MEPF là hình bình hành nên EF và MP giao nhau tại O là trung điểm của EF và MP QF // NE và QF = NE (QF là đường trung bình của tam giác DEC) \( \Rightarrow \) QFNE là hình bình hành nên QN và MP cùng giao nhau tại trung điểm của mỗi đường, hay QN cũng đi qua O. 2. Từ kết quả trên ta suy ra: OM = OP và ON = OQ \( \Rightarrow \)MNPQ là hình bình hành.
