Tóm tắt lý thuyết 1. Hai điểm đối xứng qua một điểm Hai điểm gọi đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm ấy. M và M’ đối xứng nhau qua O \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M,\,O,\,M'\,thang\,hang\,\\OM' = OM\end{array} \right.\) 2. Hai hình đối xứng qua một điểm a) Định nghĩa: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm của hình này đối xứng qua O với một điểm thuộc hình kia và ngược lại b) Tính chất Định lí: Nếu hai đoạn thẳng AB và A’B’ có các điểm A và A’, B và B’ đối xứng với nhau qua điểm O thì: - AB = A’B’ - AB và A’B’ đối xứng với nhau qua O. c) Chú ý: Từ định lí trên, ta suy ra rằng trong đối xứng tâm: - Hình đối xứng với một đường thẳng là một đường thẳng song song với nó. - Hình đối xứng của một góc là một góc bằng nó. - Hình đối xứng của một tam giác là một tam giác bằng nó. - Hình đối xứng của một đường tròn là một đường tròn bằng nó. 3. Tâm đối xứng của một hình a) Định nghĩa: Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình F nếu điểm đối xứng qua O của mỗi điểm thuộc hình F cũng thuộc hình F. b) Một vài hình có tâm đối xứng quen thuộc - Đường tròn có tâm đối xứng là tâm của nó - Hình bình hành có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo. 4. Ứng dụng đối xứng tâm để vẽ đường thẳng song song Cho một đường thẳng a và một điểm A không thuộc a. Để vẽ qua A đường thẳng a’ // a, ta làm như sau: - Lấy một điểm \(A' \in a.\) Nối AA’ vẽ trung điểm O của AA’ - Lấy một điểm \(B' \in a\) và vẽ điểm B đối xứng với B’ qua điểm O. Đường thẳng AB chính là đường thẳng a’, đi qua A và song song với a. Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Trên đường chéo AC có hai điểm I, J sao cho AI = IJ = JC. 1. Chứng minh hai điểm I, J đối xứng với nhau qua tâm O. 2. Chứng minh tứ giác DIBJ nhận điểm O làm tâm đối xứng. 3. DI cắt AB ở E và BJ cắt CD ở F. Chứng minh hai điểm E, F đối xứng với nhau qua tâm O. Giải 1. Tứ giác ABCD là hình bình hành nên: OA = OB Kết hợp với IA = JC Ta suy ra OI = OJ O là trung điểm của IJ. Vậy hai điểm I, J đối xứng với nhau qua điểm O. 2. Hai điểm I và J đối xứng với nhau qua điểm O. Hai điểm D và B đối xứng với nhau qua điểm O. Vậy hai đoạn thẳng DE và BJ đối xứng với nhau qua điểm O, cho ta DI // BJ và \(DI{\rm{ }} = {\rm{ }}BJ \Rightarrow DIBJ\) là hình bình hành. Rõ ràng hình bình hành DIBJ nhận trung điểm O của đường chéo DB là tâm đối xứng. 3. Do DE // BF và DF // EB \( \Rightarrow \) DEBF là hình bình hành. Hình bình hành DEBF cũng có tâm là điểm O nên hai đỉnh E, F đối xứng với nhau qua tâm O. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trọng tâm G. 1. Vẽ tam giác A’B’C’ đối xứng với tam giác ABC qua điểm G 2. Chứng minh hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm. Giải 1. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Theo tính chất của trọng tâm, ta có \(GM = \frac{1}{2}AG.\) Trên tia GM ta đặt đoạn MA’ = GM, như vậy A’G = AG. Hai điểm A và A’ đối xứng nhau qua trọng tâm G. Tương tự, ta vẽ được các điểm B’ đối xứng với B qua G và điểm C’ đối xứng với C qua G. 2. Gọi M’ là giao điểm của B’C’ với AG. Vì B’C’ và BC đối xứng với nhau qua G mà M là trung điểm của BC nên suy ra M’ là trung điểm của B’C’ và M’ cũng là trung điểm của AG, cho ta \(GM' = \frac{1}{3}M'A' \Rightarrow G\) là trọng tâm của \(\Delta A'B'C'.\) Ví dụ 3: 1. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, điểm B nằm giữa hai điểm A, C. Gọi A’, B’, C’ theo thứ tự là các điểm đối xứng của A, B, C qua một điểm O trong mặt phẳng. Chứng minh rằng ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng và điểm B’ nằm giữa hai điểm A’, C’. 2. Hãy nêu và giải bài toán với giả thiết ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Giải 1. Xét hai tam giác OAB và OA’B’ ta có: OA = OA’ \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) (đối đỉnh) OB = OB’ \(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta OAB = \Delta OA'B'\\ \Rightarrow AB = A'B'\end{array}\) Tương tự ta có BC = B’C’ CA=C’A’ Vì điểm B thuộc đoạn thẳng AC nên AC = AB + BC Kết hợp với các kết quả trên, ta suy ra A’C’ = A’B’ + B’C’. Đẳng thức này chứng tỏ ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng và điểm B’ thuộc đoạn thẳng A’C’. 2. Giả sử ba điểm A, B, C không thẳng hàng Như vậy AC < AB + BC Cũng từ đây suy ra A’C’ < A’B’ + B’C’ Bất đẳng thức này chứng tỏ ba điểm A’, B’, C’ không thẳng hàng. Ta có thể phát biểu đề: “Nếu ba điểm A, B, C không thẳng hàng thì các điểm A’, B’, C’ đối xứng với chúng qua O cũng không thẳng hàng. Bài tập minh họa Bài 1: Cho hình bình hành ABCD và một hình bình hành A’B’C’D’ có các đỉnh \(A' \in AB;B' \in BC;\,C' \in CD\) và \(D' \in DA.\) Chứng minh hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ có chung một tâm đối xứng. Giải Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD. Xét hai tam giác AA’D’ và CC’B’ có: \(\begin{array}{l}A'D' = B'C'\\\widehat {A{'_1}} = \widehat {C{'_1}}\\\widehat {D{'_1}} = \widehat {B{'_1}}\\ \Rightarrow \Delta {\rm{AA}}'D' = \Delta CC'B'\,\,\,(g.c.g) \Rightarrow {\rm{AA}}' = CC'\end{array}\) Kết hợp với AB = CD, suy ra A’B = DC’ Mặt khác A’B // DC’ Vậy tứ giác A’BC’D là hình bình hành có hai đường chéo C’A’ và DB, hay C’A’ nhận giao điểm O là trung điểm. Vậy O cũng là tâm đối xứng của hình bình hành A’B’C’D’. Bài 2: Cho tam giác ABC và một điểm M thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC và A’, B’, C’ theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua các điểm F, E, D. 1. Chứng minh tứ giác ABA’B’ là hình bình hành. Trên hình vẽ có bao nhiêu hình bình hành? 2. Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy. Giải 1. Tứ giác AB’CM có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành, cho AB’ // MC và AB’ = MC (1) Tương tự, BA’CM là hình bình hành, cho ta BA’ //MC và BA’ = MC Từ (1) và (2) suy ra AB’ // BA’ và AB’ = BA’ \( \Rightarrow \) AB’A’B là hình bình hành Có tất cả 6 hình bình hành trên hình vẽ. AB’CM; AC’BM; BA’CM AB’A’B; BC’B’C; AC’A’C 2. AB’A’B là hình bình hành nên hai đường chéo AA’ và BB’ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. Ta chứng minh được BC’B’C cũng là hình bình hành nên đường chéo BB’ và CC’ cùng giao nhau tại trung điểm của mỗi đường, tức là CC’ cũng đi qua O. Chú ý về phương pháp: Trong bài toán này để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta chứng minh rằng đường thẳng thứ ba (CC’) đi qua giao điểm của hai đường kia (AA’ và BB’). Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và M là trung điểm của đoạn thẳng \(AA;{\rm{ }}{B_1},{C_1}\) theo thứ tự là các điểm đối xứng qua M của các điểm B, C. 1. Chứng minh \({C_1}{B_1}CB\) là hình bình hành 2. Ba điểm \({C_1},A,B\) thẳng hàng 3. B’ và C’ đối xứng với nhau qua điểm M. Giải 1. Ta có: \(\begin{array}{l}MC = M{C_1}\\MB = M{B_1}\end{array}\) \( \Rightarrow BC{B_1}{C_1}\)là hình bình hành 2. A là điểm đối xứng của BC qua M \({B_1}{C_1}\) là hình đối xứng của BC qua M \(A' \in BC \Rightarrow A \in {B_1}{C_1}\) 3. M là trung điểm của B’C’.
