Tóm tắt lý thuyết 1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn Nhận xét: Từ định nghĩa trên, dễ thấy các tỉ số lượng giác của một góc nhọn luôn luôn dương. Hơn nữa ta có: \(sin\alpha < 1, cos\alpha <1\) Chú ý: Nếu hai góc nhọn \(\alpha\) và \(\beta\) có \(sin\alpha =sin\beta\) ( hoặc \(cos\alpha =cos\beta , tan\alpha =tan\beta ,cotg \alpha =cotg\beta\) ) thì \(\alpha =\beta\) vì chúng là hai góc tương ứng của hai tam giác vuông đồng dạng 2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau Định lý: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia Cụ thể trong hình trên với \(\alpha\) và \(\beta\) là hai góc phụ nhau nên: \(sin\alpha =cos\beta , cos\alpha =sin\beta, tan \alpha =cotg\beta , cotg\alpha =tan\beta\) BẢNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CÁC GÓC ĐẶC BIỆT Chú ý: Từ nay khi viết các tỉ số lượng giác của một góc nhọn trong tam giác, ta bỏ kí hiệu "^". Chẳng hạn viết \(sinA\) thay vì viết \(sin\widehat{A}\) Từ định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn ta có: \(tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }; cotg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }\) và \(tan\alpha .cotg\alpha =1 , sin^2\alpha +cos^2\alpha =1\); \(1+tan^2\alpha =\frac{1}{cos^2\alpha }; 1+cot^2\alpha =\frac{1}{sin^2\alpha }\) (các công thức trên có thể chứng minh dễ dàng) Bài tập minh họa 1. Bài tập cơ bản Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=6, BC=10. Tính sinB và cosB Hướng dẫn: Ta có: \(cosB=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=0.6 ;AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=8 \Rightarrow sinB=\frac{AC}{BC}=0.8\) Bài 2: Chuyển các tỉ số lượng giác sau thành các tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn \(45^{\circ}\) : \(sin72^{\circ};cos50^{\circ}; tan68^{\circ}; cotg88^{\circ}\) Hướng dẫn: Ta có: \(sin72^{\circ}=cos18^{\circ};cos50^{\circ}=sin40^{\circ}; tan68^{\circ}=cotg22^{\circ}; cotg88^{\circ}=tan2^{\circ}\) Bài 3: Cho tam giác ABC. Biết cosB=0,6. Tính các tỉ số lượng giác góc C Hướng dẫn: Ta có: \(sinC=cosB=0.6\) và \(cosC=sinB=\sqrt{1-cos^2B}=0.8\) \(tanC=\frac{sinC}{cosC}=\frac{0.6}{0.8}=\frac{3}{4}\) và \(cotC=\frac{cosC}{sinC}=\frac{0.8}{0.6}=\frac{4}{3}\) 2. Bài tập nâng cao Bài 1: a) Rút gọn biểu thức: \(S=cos^2\alpha +tan^2\alpha .cos^2\alpha\) b) chứng minh: \(\frac{(sin\alpha +cos\alpha )^2-(sin\alpha -cos\alpha )^2}{sin\alpha .cos\alpha }=4\) Hướng dẫn: a) \(S=cos^2\alpha +tan^2\alpha .cos^2\alpha=cos^2\alpha+\frac{sin^2\alpha }{cos^2\alpha }.cos^2\alpha =sin^2\alpha +cos^2\alpha =1\) b) \(VT=\frac{(1+2.sin\alpha .cos\alpha )-(1-2.sin\alpha .cos\alpha )}{sin\alpha.cos\alpha }=\frac{4.sin\alpha .cos\alpha }{sin\alpha .cos\alpha }=4\) ( Áp dụng: \(sin^2\alpha +cos^2\alpha =1\) ) Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C. Chứng minh: \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\) Hướng dẫn:Kẻ AH vuông góc với BC ( \(H\in BC\) ) Khi đó: \(sinB=\frac{AH}{c}\Rightarrow sinB.c=AH\) và \(sinC=\frac{AH}{b}\Rightarrow sinC.b=AH\) từ đó ta có: \(sinB.c=sinC.b\Rightarrow \frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\) . Tương tự kẻ đường cao BD ( \(D\in AC\) ) sẽ chứng minh được: \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB} \Rightarrow \frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)
