Bài 1 trang 68 sgk Toán 9 - tập 1. Hãy tính x và y trong mỗi hình sau (hình 4a, b): Hướng dẫn giải: a) Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới: Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH \(AB^2=BC.BH\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{6^2}{10}=3,6\) \(HC=BC=BH=10-3,6=6,4\) Hay: x = 3,6; y = 6,4 b) Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới Ta vẽ hình và đặt tên thích hợp: Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, ta có: \(AB^2=BH.BC=20.x\Rightarrow x=\frac{AB^2}{BC}=\frac{12^2}{20}=7,2\) \(HC=BC-BH=20-7,2=12,8\) Hay x = 7,2; y = 12,8 Bài 2 trang 68 sgk Toán 9 - tập 1. Hãy tính x và y trong hình dưới đây : Hướng dẫn giải: Từ đề bài ta có cạnh huyền của tam giác có độ lớn là: 1 + 4 = 5 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đó là bình phương cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân hình chiếu của cạnh ấy trên cạnh huyền, ta được: \(x^2=1.5\Leftrightarrow x=\sqrt{5}\) \(y^2=5.4\Leftrightarrow y=2\sqrt{5}\) Bài 3 trang 69 sgk Toán 9 - tập 1: Hãy tính x và y trong hình sau: Hướng dẫn giải: Cạnh huyền của tam giác vuông = y: \(\Rightarrow y=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{74}\) Áp dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông, ta có: \(\frac{1}{x^2}=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}\) \(\Rightarrow x=\sqrt{\frac{5^2.7^2}{5^2+7^2}}=\frac{35\sqrt{74}}{74}\) Bài 4 trang 69 sgk Toán 9 - tập 1. Hãy tính x và y trong hình sau: Hướng dẫn giải: Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình bên dưới Áp dụng hện thức \(h^{2}=b'c'\) ta có: \(AH^{2}=HB\cdot HC \Rightarrow HC=\frac{AH^{2}}{HB}=4\) Do đó \(x= 4\) Áp dụng hệ thức \(b^{2}=ab'\) ta có \(AC^{2}=BC\cdot HC\Rightarrow y^{2}=5\cdot 4=20\Rightarrow y=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) Nhận xét: Ta có thể tính y theo định lý Pi-ta-go: \(y^{2}=2^{2}+4^{2}=20\Rightarrow y=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\). Bài 5 trang 69 sgk Toán 9 - tập 1. Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền. Hướng dẫn giải: Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\) Áp dụng hệ thức lượng vào các tam giác ABC vuông tại A, AHB vuông tại H, AHC vuông tại H, ta có: \(AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3.4}{5}=2,4\) \(AB^2=BC.BH\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{3^2}{5}=1,8\) \(CH=BC-BH=5-1,8=3,2\) Bài 6 trang 69 sgk Toán 9 - tập 1. Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này. Giải: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, ta có: \(AH^2=BH.CH\Rightarrow AH=\sqrt{BH.CH}=\sqrt{1.2}=\sqrt{2}\) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABH vuông tại H, ta có: \(AH=\sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}\) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có: \(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{3^2-3}=\sqrt{6}\) Bài 7 trang 69 sgk Toán 9 - tập 1. Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là \({x^2} = ab\) ) như trong hai hình sau: Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng. Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông. Hướng dẫn giải: Cách 1: Đặt tên các đoạn thẳng như hình bên. Xét tam giác ABC ta có: \(OA = OB = OC = {{BC} \over 2}\left( { = R} \right)\) Suy ra ∆ABC vuông tại A. Áp dụng hệ thức \({h^2} = b'c' \Rightarrow {x^2} = ab\) Cách 2: Vẽ và đặt tên như hình bên dưới Xét tam giác ABC ta có: \(OA = OB = OC = {{BC} \over 2}\left( { = R} \right)\) Suy ra ∆ABC vuông tại A. Áp dụng hệ thức \(A{B^2} = BC.BH \Rightarrow {x^2} = ab\). Bài 8 trang 70 sgk Toán 9 - tập 1. Tìm x và y trong mỗi hình sau: Hướng dẫn giải: a) Dùng hệ thức lượng bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền \(h^{2}=b'c'\) \(\eqalign{ & \Rightarrow {x^2} = 4.9 = 36 \cr & \Rightarrow x = 6 \cr} \) b) Xét tam giác ABC có cạnh huyền là 2x, ta nhận thấy rằng, tam giác này là tam giác vuông cân. Mặc khác, đường cao của tam giác này có độ lớn bằng 2 nên: \(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{2^2}\Rightarrow y=2\sqrt{2}\) Cạnh huyền của tam giác lớn có độ lớn là 2x, áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông lớn, ta có: \(2x=\sqrt{y^2+y^2}=\sqrt{8+8}=4\Rightarrow x=2\) c) Xét tam giác vuông lớn, ta có: \(12^2=16x\Rightarrow x=9\) Xét tam giác vuông có cạnh huyền là y, ta có: \(y^2=\sqrt{12^2+9^2}=15\) Bài 9 trang 70 sgk Toán 9 - tập 1. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và Tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông goác với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng a) Tam giác DIL là một tam giác cân; b) Tổng \(\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}\) không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB. Hướng dẫn giải: a) \(\Delta ADI\) và \(\Delta CDL\) có: \(\widehat{A}=\widehat{C}= 90^{\circ}\) \(AD=CD\) (hai cạnh hình vuông) \(\widehat{D_{1}}=\widehat{D_{2}}\) cùng phụ với \(\widehat{CDI}\) Do đó \(\Delta ADI=\Delta CDL\) (g.c.g) Suy ra \(DI=DL\). Vậy \(\Delta DIL\) cân b) Áp dụng hệ thức \(\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\) ta có \(\frac{1}{DC^{2}}=\frac{1}{DL^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}\) Do đó \(\frac{1}{DC^{2}}=\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}\) Do DC không đổi nên \(\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}\) là không đổi. Nhận xét: Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b). Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức \(\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\) Nếu đề bài không cho vẽ \(DL\perp DK\) thì ta vẫn phải vẽ đường phụ \(DL\perp DK\) để có thể vận dụng hệ thức trên.
