Bài 21 trang 111 sgk Toán 9 - tập 1. Cho tam giác ABC có AB=3, AC=4, BC=5. Vẽ đường tròn (B;BA). Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn. Giải: Chứng minh được tam giác ABC vuông tại A (theo định lý Pytago đảo): \(BC^2=AC^2+AB^2\) \(\Rightarrow AC\perp AB\) tại A Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn Bài 22 trang 111 sgk Toán 9 - tập 1. Cho đường thẳng d, điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Hãy dựng đường tròn (O) đi qua điểm B và tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Giải: Phân tích: Giả sử đã dựng được đường tròn thỏa mãn đề bài. Tâm O thỏa mãn hai điều kện: - O nằm trên đường trung trực của AB (vì đường tròn đi qua A và B). - O nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại A (vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d tại A). Vậy O là giao điểm của hai đường thẳng nói trên. Cách dựng: - Dựng đường trung trực m của AB. - Từ A dựng một đường thẳng vuông góc với d cắt đường thẳng m tại O. - Dựng đường tròn (O;OA). Đó là đường tròn phải dựng. Chứng minh: Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA=OB, do đó đường tròn (O;OA) đi qua A và B. Đường thẳng \(d\perp OA\) tại A nên đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Biện luận: Bài toán luôn có nghiệm hình. Bài 23 trang 111 sgk Toán 9 - tập 1. Dây cua-roa trên hình 76 có những phần là tiếp tuyến của các đường tròn tâm A, B, C. Chiều quay của đường tròn tâm B ngược chiều quay của kim đồng hồ. Tìm chiều quay của đường tròn tâm A và đường tròn tâm C (cùng chiều quay hay ngược chiều quay của kim đồng hồ). Giải: Chiều quay đường tròn tâm A và tâm C cùng chiều kim đồng hồ. Đường tròn (B) quay ngược chiều với hai đường tròn (A) và (C). Bài 24 trang 111 sgk Toán 9 - tập 1. Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C. a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tòn. b) Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB=24cm. Tính độ dài OC. Giải: a) Gọi H là giao điểm của OC và AB. Vì \(OH\perp AB\) nên \(HA=HB\), suy ra OC là đường trung trực của AB, do đó \(CB=CA.\) \(\Delta CBO=\Delta CAO\) (c.c.c) \(\Rightarrow \widehat{CBO}=\widehat{CAO}\). Vì AC là tiếp tuyến của đường trong (O) nên: \(AC\perp OA\Rightarrow \widehat{CAO}=90^{\circ}\). Do đó \(\widehat{CBO}=90^{\circ}\). Vậy CB là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) Xét tam giác HOA vuông tại H, có \(OH^{2}=OA^{2}-AH^{2}\) \(=15^{2}-12^{2}=81\) \(\Rightarrow OH=9(cm)\) Xét tam giác BOC vuông tại B, có: \(OB^{2}=OC\cdot OH\) \(\Rightarrow OC=\frac{OB^{2}}{OH}=\frac{225}{9}=25(cm).\) Nhận xét. Ở câu a) ta đã dùng dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến để chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn (O). Ta cũng có thể dựa vào tính chất đối xứng của đường kính để chứng minh CB là tiếp tuyến. Thực vậy B và A đối xứng qua đường thẳng chứa đường kính CO, mà CA là tiếp tuyến nên CB phải là tiếp tuyến. Bài 25 trang 111 sgk Toán 9 - tập 1. Cho đường tròn tâm O có bán kính OA=R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA. a) Từ giác OCAB là hình gì? Vì sao? b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE theo R. Hướng dẫn giải: a) Ta có \(OA\perp BC\Rightarrow MB=MC\). Mặt khác: \(MA=MO\) nên tứ giác ABOC là hình bình hành. Hình bình hành này có hai đường chéo vuông góc nên là hình thoi. b) Ta có \(BA=BO\) (hai cạnh hình thoi) mà \(BO=OA\) (bán kính) nên tam giác ABO là tam giác đều. Suy ra \(\widehat{BOA}=60^{\circ}\). Ta có EB là tiếp tuyến \(\Rightarrow EB\perp OB\). Xét tam giác BOE vuông tại B, có: \(BE=BO\cdot tg60^{\circ}= R.tg60^0=R\sqrt{3}.\)
