Bài 26 trang 115 sgk Toán 9 - tập 1. Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC. b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO. c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết \(OB=2cm, OA=4cm\). Giải: a) Vì AB, AC là các tiếp tuyến nên \(AB=AC\) và \(\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}\). Suy ra \(OA\perp BC\) (tính chất của tam giác cân). b) Điểm B nằm trên đường tròn đường kính CD nên \(\widehat{CBD}=90^{\circ}\). Suy ra BD//AO (vì cùng vuông góc với BC). c) Nối OB thì \(OB\perp AB.\) Xét tam giác AOB vuông tại B có: \(\sin \widehat {{A_1}} = {{OB} \over {OA}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow \widehat{A_{1}}=30^{\circ}\Rightarrow \widehat{BAC}=60^{\circ}.\) Tam giác ABC cân, có một góc \(60^{\circ}\) nên là tam giác đều. Ta có \(AB^{2}=OA^{2}-OB^{2}=4^{2}-2^{2}=12\Rightarrow AB=2\sqrt{3.}\) Vậy \(AB=AC=BC=2\sqrt{3}cm\). Nhận xét. Qua câu c) ta thấy: Góc tạo bởi hai tiếp tuyến của một đường tròn vẽ từ một điểm cách tâm một khoảng bằng đường kính đúng bằng \(60^{\circ}\). Bài 27 trang 115 sgk Toán 9 - tập 1. Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn O, nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB. Hướng dẫn giải: Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có; \(AB=AC; \,\,DB=DM;\,\,EC=EM.\) Chu vi \(\Delta ADE=AD + DM + ME + AE\) \(= AD + DB + EC + AE\) \(= AB + AC = 2AB\) Bài 28 trang 116 sgk Toán 9 - tập 1. Cho góc xAy khác góc bẹt. Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên đường nào? Giải: Gọi O là tâm của một đường tròn bất kì tiếp xúc với hai cạnh góc xAy. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: \(\widehat {xAO} = \widehat {y{\rm{A}}O}\) Hay AO là tia phân giác của góc xAy. Vậy tâm O các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên tia phân giác của góc(xAy). Bài 29 trang 116 sgk Toán 9 - tập 1. Cho góc xAy khác góc bẹt, điểm B thuộc Ax. Hãy dựng đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay. Giải: Phân tích Đường tròn (O) tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nên tâm O nằm trên tia phân giác Am của góc xAy. Đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B nên tâm O nằm trên đường thẳng \(d\perp Ax\) tại B. Vậy O là giao điểm của tia Am với đường thẳng d. Cách dựng - Dựng tia phân giác Am của góc xAy. - Qua B dựng đường thẳng \(d\perp Ax\), cắt tia Am tại O. - Dựng đường tròn (O;OB), đó là đường tròn phải dựng. Chứng minh Vì \(OB\perp Ax\) tại B nên đường tròn (O;OB) tiếp xúc với Ax tại B. Vì O nằm trên tia phân giác của góc xAy nên O cách đều hai cạnh của góc xAy. Do đó đường tròn (O;OB) tiếp xúc với Ay. Biện luận. Bài toán luôn có một nghiệm hình. Bài 30 trang 116 sgk Toán 9 - tập 1. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng: a) \(\widehat {CO{\rm{D}}} = {90^0}\) b) \(CD=AC+BD\) c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. Giải: Ta có: \(OA\perp AC\) \(OB\perp BD\) Suy ra Ax, By là các tiếp tuyến của đường tròn. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: \(\left\{\begin{matrix} CM=CA\\ DM=BD \end{matrix}\right.\) \(\left\{\begin{matrix}\widehat{AOC}=\widehat{COM}\\ \widehat{MOD}=\widehat{DOB} \end{matrix}\right.\) a) Ta có: \(\widehat{AOC}+\widehat{COM}+\widehat{MOD}+\widehat{DOB}=180^o\) \(\Leftrightarrow 2\widehat{COM}+2\widehat{MOD}=180^o\) \(\Leftrightarrow \widehat{COM}+\widehat{MOD}=90^o\) \(\Leftrightarrow \widehat{COD}=90^o\) b) Ta có: \(CD=CM+MD=AC+BD\) c) Xét tam giác COD vuông tại O ta có: \(MO^2=MC.MD=AC.BD=R^2\) Bài 31 trang 116 sgk Toán 9 - tập 1. Trên hình 82, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). a) Chứng minh rằng: \(2AD=AB+AC-BC.\) b) Tìm các hệ thức tương tự hệ thức ở câu a). Giải: a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: \(AD=AF; BD=BE; CF=CE.\) Xét vế phải: \(AB+AC-BC\) \(=(AD+DB)+(AF+FC)-(BE+EC)\) \(=(AD+BE)+(AF+CE)-(BE+EC)\) \(= AD+AF=2AD.\) b) Các hệ thức tương tự là: \(2BD=BA+BC-AC;\) \(2CF=CA+CB-AB.\) Nhận xét. Từ bài toán trên ta có các kết quả sau: \(AD=AF=p-a;\) \(BD=BE=p-b;\) \(CE=CF=p-c\) trong đó \(AB=c; BC=a; CA=b\) và p là nửa chu vi của tam giác ABC. Bài 32 trang 116 sgk Toán 9 - tập 1. Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn bán kính 1cm. Diện tích của tam giác ABC bằng: (A) \(6cm^{2}\); (B) \(\sqrt{3}cm^{2}\); (C) \(\frac{3\sqrt{3}}{4}cm^{2}\) (D) \(3\sqrt{3}cm^{2}.\) Hãy chọn câu trả lời đúng. Giải: Tâm O của đường tròn nội tiếp tam giác đều cũng là giao điểm ba đường trung tuyến, ba đường cao. Do đó đường cao \(h=AE=3.OE=3cm.\) Trong tam giác đều, \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) (a là độ dài mỗi cạnh). Suy ra \(a=\frac{2\cdot h}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot 3}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}(cm).\) Do đó diện tích tam giác ABC là \(S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot 3=3\sqrt{3}(cm^{2}).\) Ta chọn (D).
