Bài 10 trang 71 sgk Toán lớp 9 tập 2. a) Vẽ đường tròn tâm \(O\) bán kinh \(R = 2\) cm. Nêu cách vẽ cung \(\overparen{AB}\) có số đo bằng \(60^0\). Hỏi dây \(AB\) dài bao nhiêu xentimet? b) Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình 12. Hướng dẫn giải: a) Vẽ đường tròn \((O; R)\). Vẽ góc ở tâm có số đo \(60^0\). Góc này chắn \(\overparen{AB}\) có số đo \(60^0\) (hình a). Tam giác \(AOB\) cân có \(\widehat{O}=60^0\) nên tam giác đều, suy ra \(AB = R\). b) Theo câu a, ta có góc ở tâm bằng \(sđ\overparen{AB}=60^0\). Số đo góc ở tâm vẽ được theo cách này là \(360^0:60^0= 6\). Suy ra được \(6\) cung tròn bằng nhau trên đường tròn. Từ đó suy ra cách vẽ như sau: Vẽ \(6\) dây cung bằng nhau và bằng bán kính \(R\): \(\overparen{{A_1}{A_2}} = \overparen{{A_2}{A_3}} = \overparen{{A_3}{A_4}}= \overparen{{A_4}{A_5}} = \overparen{{A_5}{A_6}} = \overparen{{A_6}{A_1}}\) \(= {\rm{ }}R\) Từ đó suy ra \(6\) cung bằng nhau. (hình b) Bài 11 trang 72 sgk Toán lớp 9 tập 2. Cho hai đường tròn bằng nhau \((O)\) và \((O')\) cắt nhau tại hai điểm \(A\) và \(B\). Kẻ các đường kính \(AOC, AO'D\). Gọi \(E\) là giao điểm thứ hai của \(AC\) với đường tròn \((O')\). a) So sánh các cung nhỏ \(\overparen{BC}, \overparen{BD}\). b) Chứng minh rằng \(B\) là điểm chính giữa của cung \(\overparen{EBD}\) ( tức điểm \(B\) chia cung \(\overparen{EBD}\) thành hai cung bằng nhau: \(\overparen{BE}\) = \(\overparen{BD}\) ). Hướng dẫn giải: a) Nối \(C\) đến \(D\). Ta có 2 đường tròn bằng nhau \(=> AC = AD\) \(=> ∆ ACD\) cân tại \(A\) Lại có \(\widehat{ABC} = 90^0\); do có \(OB = OC = OA = R\) ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền ) Tương tự có \(\widehat{ABD} = 90^0\) \(=> \widehat{ABC} + \widehat{ABD} = 180^0\) \(=> C; B; D\) thẳng hàng và \(AB \bot CD\) \(=> BC = BD\) => \(\overparen{BC}\) = \(\overparen{BD}\) b) Nối \(E\) đến \(D\); từ \(B\) hạ \(BH \bot ED\) Ta có góc \(\widehat{DEA} = 90^0\) ( chứng minh tương tự theo (a) ) \(=> BH // EC\) Mà theo (a) ta có \(BE = BD\) \(=> BH\) là đường trung bình tam giác \(CDE\) \(=> HE = HD\) mà \(BH \bot ED => B\) là điểm chính giữa \(\overparen{EBD}\) Bài 12 trang 72 sgk Toán lớp 9 tập 2. Cho tam giác \(ABC\). Trên tia đối của tia \(AB\) lấy một điểm \(D\) sao cho \(AD = AC\). Vẽ đường tròn tâm \(O\) ngoại tiếp tam giác \(DBC\). Từ \(O\) lần lượt hạ các đường vuông góc \(OH\), \(OK\) với \(BC\) và \(BD\) \((H \in BC, K \in BD)\). a) Chứng minh rằng \(OH > OK\). b) So sánh hai cung nhỏ \(\overparen{BD}\) và \(\overparen{BC}\). Hướng dẫn giải: a) Trong \(∆ABC\), có \(BC < BA + AC\). Mà \(AC = AD\) suy ra \(BC < BD\). Theo định lí về dây cung và khoảng cách từ dây đến tâm, ta có \(OH > OK\). b) Ta có \(BC < BD\) (cmt) nên suy ra \(\overparen{BC}\) nhỏ hơn \(\overparen{BD}\) ( liên hệ cung và dây) Bài 13 trang 72 sgk Toán lớp 9 tập 2. Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. Hướng dẫn giải: Giả sử \(AB\) và \(CD\) là các dây song song của đường tròn \((O)\). Kẻ \(OI \bot AB\) \((I \in AB)\) và \(OK \bot CD (K\in CD)\). Do \(AB //CD\) nên \(I,O,K\) thẳng hàng. Do các tam giác \(OAB, OCD\) là các tam giác cân đỉnh \(O\) nên các đường cao kẻ từ đỉnh đồng thời là phân giác. Vì vậy ta có: \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}} = \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\) Giả sử \(AB\) nằm ngoài \(\widehat{COD}\), ta có: \(\widehat {AOC} = {180^0} - \widehat {{O_1}} - \widehat {{O_3}} = {180^0} - \widehat {{O_2}} - \widehat {{O_4}} = \widehat {BOD}\) Suy ra \(\overparen{AC}\)= \(\overparen{BD}\). Nghĩa là hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. Các trường hợp khác ta chứng minh tương tự. Bài 14 trang 72 sgk Toán lớp 9 tập 2. a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng. b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại Hướng dẫn giải: a. Vì \(I\) là điểm chính giữa của \(\overparen{AB}\), suy ra \(\overparen{IA}\) = \(\overparen{IB}\) \(⇒ IA = IB\) Ta có: \(OA = OB =\) bán kính. Suy ra đường kính \(IK\) là đường trung trực của dây \(AB\). Vậy \(HA = HB\) (đpcm) Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó. Chứng minh: Vì \(∆ AOB\) cân tại \(O\) và \(HA = HB\) nên \(OH\) là đường phân giác của góc \(\widehat{AOB}\). Suy ra \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) Từ đó suy ra \(\overparen{IA}\) = \(\overparen{IB}\) Tuy nhiên điều này không thể xảy ra khi dây \(AB\) đi qua tâm \(O\) của đường tròn. Vậy phải thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng là: Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó. b. Ta có: \(\overparen{IA}\) = \(\overparen{IB}\) (gt) \(⇒ IA = IB\) Điều này chứng tỏ rằng điểm \( I\) nằm trên đường trung trực của \(AB\) (1) Ta có \(OA = OB =\) bán kính Điều này chứng tỏ rằng điểm \(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB\) (2) Từ (1) và (2) chứng tỏ rằng \(OI\) hay \(IK\) là đường trung trực của dây \(AB\). Suy ra \(IK \bot AB\). * Điều ngược lại: Đường kính vuông góc ở dây khi qua tâm thì đi qua hai điểm chính giữa của cung căng dây đó. Kẻ đường kính \(KOI\) vuông góc với \(AB\). Ta có \(OA = OB ⇒ ∆OAB\) cân tại \(O\) Mà \(OH \bot AB\) nên \(OH\) là đường phân giác của \(\widehat{AOB}\) suy ra \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) Ta có \(∆OAI = ∆OBI\) (c.g.c). Do đó \(AI = IB\). Suy ra \(\overparen{AI}\) = \(\overparen{IB}\). Vậy \(I\) là điểm chính giữa của \(\overparen{AB}\)
