Bài 27 trang 79 sgk Toán lớp 9 tập 2. Cho đường tròn tâm \((O)\), đường kính \(AB\). Lấy điểm khác \(A\) và \(B\) trên đường tròn. Gọi \(T\) là giao điểm của \(AP\) với tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn. Chứng minh \(\widehat{APO}\) =\(\widehat{PBT}\). Hướng dẫn giải: \(\widehat{PBT}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến \(BT\) và dây cung \(BP\). \(\widehat{PBT}\) = \(\frac{1}{2}\)sđ \(\overparen{PmB}\) (1) \(\widehat{PAO}\) là góc nội tiếp chắn cung \(\overparen{PmB}\) \(\widehat{PAO}\) = \(\frac{1}{2}\) sđ \(\overparen{PmB}\) (2) Lại có \(\widehat{PAO}\) = \(\widehat{APO}\) (\(∆OAP\) cân) (3) Từ (1), (2), (3), suy ra \(\widehat{APO}\) =\(\widehat{PBT}\) Bài 28 trang 79 sgk Toán lớp 9 tập 2. Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) cắt nhau tại \(A\) và \(B\). Tiếp tuyến \(A\) của đường tròn \((O')\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm thứ hai \(P\). Tia \(PB\) cắt đường tròn \((O')\) tại \(Q\). Chứng minh đường thẳng \(AQ\) song song với tiếp tuyến tại \(P\) của đường tròn \((O)\). Hướng dẫn giải: Nối \(AB\). Ta có: \(\widehat {AQB} = \widehat {PAB}\) (1) ( cùng chắn cung và có số đo bằng \(\frac{1}{2}\) sđ \(\overparen{AmB}\)) \(\widehat {PAB} = \widehat {BPx}\) (2) (cùng chắn cung nhỏ \(\overparen{PB}\) và có số đo bằng \(\frac{1}{2}sđ\overparen{PB}\)) TỪ (1) và (2) có \(\widehat {AQB} = \widehat {BPx}\) từ đó \(AQ // Px \)(có hai góc so le trong bằng nhau) Bài 29 trang 79 sgk Toán lớp 9 tập 2. Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) cắt nhau tại \(A\) và \(B\). Tiếp tuyến kẻ từ \(A\) đối với đường tròn (O') cắt (O) tại \(C\) đối với đường tròn \((O)\) cắt \((O')\) tại \(D\). Chứng minh rằng \(\widehat {CBA} = \widehat {DBA}\). Hướng dẫn giải: Ta có \(\widehat {CAB} = \frac{1}{2}\widehat {AmB}\) (1) ( vì \(\widehat {CAB}\) là góc tạo bởi một tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm A của (O')). \(\widehat {ADB} = \widehat {AmB}\) (2) góc nội tiếp của đường tròn (O') chắn \(\overparen{AmB}\) Từ (1), (2) suy ra \(\widehat {CAB} = \widehat {ADB}\) (3) Chứng minh tương tự với đường tròn \((O)\), ta có: \(\widehat {ACB} = \widehat {DAB}\) (4) Hai tam giác \(ABD\) và \(ABC\) thỏa (3), (4) suy ra cặp góc thứ 3 của chúng bằng nhau, vậy \(\widehat {CBA} = \widehat {DBA}\) Bài 30 trang 79 sgk Toán lớp 9 tập 2. Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là: Nếu \(\widehat{ BAx}\) (với đỉnh \(A\) nằm trên một đường tròn, một cạnh chứa dây cung \(AB\)), có số đo bằng nửa số đo của \overparen{AB} căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh \(Ax\) là một tia tiếp tuyến của đường tròn (h.29). Hướng dẫn giải: Cách 1( hình a). Chứng minh trực tiếp Theo giả thiết, Suy ra: \(\widehat {BAx} = \widehat {{O_1}}\) Hai góc nhọn này đã có một cặp cạnh vuông góc với nhau ( \(OC \bot AB\) ). Vậy cặp cạnh kia cũng phải vuông góc, tức là \(OA \bot Ax\). Vậy \(Ax\) phải là tiếp tuyến của \((O)\) tại \(A\) Cách 2 (hình b) Chứng minh bằng phản chứng. Nếu cạnh kia không phải là tiếp tuyến tại \(A\) mà là cát tuyến đi qua \(A\) và giả sử nó cắt \((O)\) tại \(C\) thì \(\widehat {BAC} \) là góc nội tiếp Điều này trái với giả thiết. Vậy cạnh kia không thể là cát tuyến, mà phải là tiếp tuyến \(Ax\) Bài 31 trang 79 sgk Toán lớp 9 tập 2. Cho đường tròn \((O; R)\) và dây cung \(BC = R\). Hai tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) tại \(B, C\) cắt nhau tại \(A\). Tính \(\widehat {ABC},\widehat {BAC}\). Hướng dẫn giải: \(\widehat {ABC}\) là góc tạo bởi hai tiếp tuyến \(BA\) và dây cung \(BC\) của \((O)\). Dây \(BC = R\) suy ra \(\overparen{BC}=60^0\) và \(\widehat {ABC}=30^0\). \(\widehat {BAC} = {180^0} - \widehat {BOC} = {180^0} - {60^0} = {120^0}\) (tổng các góc của một tứ giác bằng \(360^0\)). Bài 32 trang 80 sgk Toán lớp 9 tập 2. Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB\). Một tiếp tuyến của đường tròn tại \(P\) cắt đường thẳng \(AB\) tại \(T\) (điểm \(B\) nằm giữa \(O\) và \(T\)) Chứng minh: \(\widehat {BTP} + 2.\widehat {TPB} = {90^0}\). Hướng dẫn giải: Ta có \(\widehat {TPB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến \(PT\) và dây cung \(PB\) của đường tròn \((O)\) nên \(\widehat {TPB}=\frac{1}{2}sđ\overparen{BP}\)(cung nhỏ \(\overparen{BP}\)) (1) Lại có: \(\widehat {BOP}=sđ\overparen{BP}\) (2) (góc ở tâm và cung bị chắn có cùng số đo) Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {BOP} = 2.\widehat {TPB}\). Trong tam giác vuông \(TPO\) ( \(OP \bot TP\) vì \(TP\) là tiếp tuyến) ta có \(\widehat {BOP} = \widehat {BTP}\) hay \(\widehat {BTP} + 2.\widehat {TPB} = {90^0}\). Bài 33 trang 80 sgk Toán lớp 9 tập 2. Cho \(A, B, C\) là ba điểm của một đường tròn. \(At\) là tiếp tuyến của đường tròn tại \(A\). Đường thẳng song song với \(At\) cắt \(Ab\) tại \(M\) và cắt \(AC\) tại \(N\). Chứng minh: \(AB. AM = AC . AN\) Hướng dẫn giải: Ta có \(\widehat M = \widehat {BAt}\) (so le trong) (1) \(\widehat {BAt} = \widehat C\) (2) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, chắn cung \(AB\), \(\widehat C\) là góc nội tiếp chắn cung \(AB\)) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat M = \widehat C\) (3) Xét hai tam giác \(AMN\) và \(ACB\). chúng có: \(\widehat A\) chung \(\widehat M = \widehat C\) Vậy \(∆AMN\) đồng dạng \(∆ACB\), từ đó \({{AN} \over {AB}} = {{AM} \over {AC}}\), suy ra \(AB. AM = AC . AN\) Bài 34 trang 80 sgk Toán lớp 9 tập 2. Cho đường tròn \((O)\) và điểm \(M\) nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua điểm \(M\) kẻ tiếp tuyến \(MT\) và cát tuyến \(MAB\) Chứng minh \(MT^2 = MA. MB\). Hướng dẫn giải: Xét hai tam giác \(BMT\) và \(TMA\), chúng có: \(\widehat{M}\) chung \(\widehat{B}\) = \(\widehat{T}\) (cùng chắn cung nhỏ \(\overparen{AT}\)) nên \(∆BMT\) đồng dạng \(∆TMA\), suy ra \(\frac{MT}{MA}\) = \(\frac{MB}{MT}\) hay \(MT^2 = MA. MB\) Bài 35 trang 80 sgk Toán lớp 9 tập 2. Trên bờ biển có ngọn hải đăng cao \(40m\). Với khoảng cách bao nhiêu kilomet thì người quan sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này biết rằng mắt người quan sát ở độ cao \(10 m\) so với mực nước biển và kính Trái Đất gần bằng \(6 400 km\) (h.30)? Hướng dẫn giải: Áp dụng kết quả bài tập 34 ta có: \(MT^2 = MA. MB\) \(MT^2 = MA.(MA + 2R)\) Thay số vào đẳng thức trên và lấy đơn vị là km, ta có: \(MT^2 = 0,04 (0,04 + 12.800)\) \(MT ≈ 23 (km)\) Cũng tương ta có; \(MT^2 = 0,01(0,01 +12.800)\) \(MT ≈ 11 (km)\) Từ đó: \(MM' = MT + M'T = 23+11= 34(km)\) Vậy khi ngọn hải đăng khoảng \(34 km\) thì người thủy thủ bắt đầu trông thấy ngọn hải đăng.
