Bài 36 trang 82 sgk Toán lớp 9 tập 2. Cho đường tròn \((O)\) và hai dây \(AB\), \(AC\). Gọi \(M, N\) lần lượt là điểm chính giữa của cung \(AB\) và cung \(AC\). Đường thẳng \(MN\) cắt dây \(AB\) tại \(E\) và cắt dây \(AC\) tại \(H\). Chứng minh rằng tam giác \(AEH\) là tam giác cân. Hướng dẫn giải: Ta có: \(\widehat {AHM}\)= \(\frac{sđ\overparen{AM}+sđ\overparen{NC}}{2}\) (1) \(\widehat {AEN}\)= \(\frac{sđ\overparen{MB}+sđ\overparen{AN}}{2}\) (2) (Vì \widehat {AHM}\)và \(\widehat {AEN}\)là các góc có đỉnh cố định ở bên trong đường tròn). Theo gỉả thiết thì: \(\overparen{AM}=\overparen{MB} (3)\) \(\overparen{NC}=\overparen{AN} (4)\) Từ (1),(2), (3), (4), suy ra \(\widehat {AHM}\)= \(\widehat {AEN}\) do đó \(∆AEH\) là tam giác cân. Bài 37 trang 82 sgk Toán lớp 9 tập 2. Cho đường tròn \((O)\) và hai dây \(AB\), \(AC\) bằng nhau. Trên cung nhỏ \(AC\) lấy một điểm \(M\). Gọi \(S\) là giao điểm của \(AM\) và \(BC\). Chứng minh: \(\widehat {ASC}\)=\(\widehat {MCA}\) Hướng dẫn giải: Ta có: \(\widehat {ASC}\)= \(\frac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{MC}}{2}\) (1) (\(\widehat {ASC}\) là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn \((O)\)) và \(\widehat {MCA}\)=\(\frac{sđ\overparen{AM}}{2}\) (2) (góc nội tiếp chắn cung \(\overparen{AM}\)) Theo giả thiết thì: \(AB = AC =>\)\(\overparen{AB}=\overparen{AC}\) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: \(\overparen{AB}-\overparen{MC}=\overparen{AC}-\overparen{MC}=\overparen{AM}\) Từ đó \(\widehat {ASC}=\widehat {MCA}\). Bài 38 trang 82 sgk Toán lớp 9 tập 2. Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung \(AC, CD, DB\) sao cho \(sđ\overparen{AC}\)=\(sđ\overparen{CD}\)=\(sđ\overparen{DB}\)=\(60^0\). Hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(E\). Hai tiếp tuyến của đường tròn tại \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(T\). Chứng minh rằng: a) \(\widehat {AEB}=\widehat {BTC}\); b) \(CD\) là phân giác của \(\widehat{BTC}\) Hướng dẫn giải: a) Ta có \(\widehat{AEB}\) là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên: \(\widehat{AEB}\)=\(\frac{sđ\overparen{AB}-sđ\overparen{CD}}{2}\)=\({{{{180}^0} - {{60}^0}} \over 2} = {60^0}\) và \(\widehat{BTC}\) cũng là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn ( hai cạnh đều là tiếp tuyến của đường tròn) nên: \(\widehat{BTC}\)=\(\frac{\widehat {BAC}-\widehat {BDC}}{2}\)=\({{({{180}^0} + {{60}^0}) - ({{60}^0} + {{60}^0})} \over 2} = {60^0}\) Vậy \(\widehat {AEB} =\widehat {BTC}\) b) \(\widehat {DCT} \) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung nên: \(\widehat {DCT}=\frac{sđ\overparen{CD}}{2}\) \(\widehat {DCB}\) là góc nội tiếp trên \(\widehat {DCB}=\frac{sđ\overparen{DB}}{2}={{{{60}^0}} \over 2} = {30^0}\) Vậy \(\widehat {DCT}=\widehat {DCB}\) hay \(CD\) là phân giác của \(\widehat {BCT} \) Bài 39 trang 83 sgk Toán lớp 9 tập 2. Cho \(AB\) và \(CD\) là hai đường kính vuông góc của đường tròn \((O)\). Trên cung nhỏ \(BD\) lấy một điểm \(M\). Tiếp tuyến tại \(M\) cắt tia \(AB\) ở \(E\), đoạn thẳng \(CM\) cắt \(AB\) ở \(S\).Chứng minh \(ES = EM\). Hướng dẫn giải: Ta có \(\widehat{MSE}\) = \(\frac{sđ\overparen{CA}+sđ\overparen{BM}}{2}\) (1) ( vì \(\widehat{MSE}\) là góc có đỉnh S ở trong đường tròn (O)) \(\widehat{CME}\) = \(\frac{sđ\overparen{CM}}{2}\)= \(\frac{sđ\overparen{CB}+sđ\overparen{BM}}{2}\) (2) (\(\widehat{CME}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung). Theo giả thiết \(\overparen{CA}=\overparen{CB}\) (3) Từ (1), (2), (3) ta có: \(\widehat{MSE}\) = \(\widehat{CME}\) từ đó \(∆ESM\) là tam giác cân và \(ES = EM\) Bài 40 trang 83 sgk Toán lớp 9 tập 2. Qua điểm S nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC của đường tròn. Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D. Chứng minh SA = SD Trả lời: Có: \(\widehat {ADS}=\frac{sđ\overparen{AB}-sđ\overparen{CE}}{2}\) (định lí góc có đỉnh ở ngoài đường tròn). \(\widehat {SAD}=\frac{1}{2} sđ\overparen{AE}\) (định lí góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung). Có: \(\widehat {BAE} = \widehat {EAC}\) \(\Rightarrow \) \(\overparen{BE}=\overparen{EC}\) \(\Rightarrow\) \(sđ\overparen{AB}\)+\(sđ\overparen{EC}\)=\(sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{BE}\)= \(sđ\overparen{AE}\) nên \(\widehat {ADS}=\widehat {SAD}\)\(\Rightarrow\) tam giác \(SDA\) cân tại \(S\) hay \(SA=SD\). Bài 41 trang 83 sgk Toán lớp 9 tập 2. Qua điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn \((O)\) vẽ hai cát tuyến \(ABC\) và \(AMN\) sao cho hai đường thẳng \(BN\) và \(CM\) cắt nhau tại một điểm \(S\) nằm bên trong đường tròn. Chứng minh: \(\widehat A + \widehat {B{\rm{S}}M} = 2\widehat {CMN}\) Hướng dẫn giải: Ta có : \(\widehat{A}\)+\(\widehat {BSM} = 2\widehat {CMN}\) \(\widehat A\)=\(\frac{sđ\overparen{CN}-sđ\overparen{BM}}{2}\) (góc \(A\) là góc ngoài \((0)\)) (1) \(\widehat {BSM}\)=\(\frac{sđ\overparen{CN}+sđ\overparen{BM}}{2}\) (góc \(S\) là góc trong \((0)\)) (2) \(\widehat {CMN}\)=\(\frac{sđ\overparen{CN}}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(2\widehat {CMN}\)=\(sđ\overparen{CN}\). (3) Cộng (1) và(2) theo vế với vế: \(\widehat{A}\)+\(\widehat {BSM}\) =\(\frac{2sđ\overparen{CN}+(sđ\overparen{BM}-sđ\overparen{BM)}}{2}\)=\(\overparen{CN}\) Từ (3) và (4) ta được: \(\widehat A + \widehat {B{\rm{S}}M} = 2\widehat {CMN}\) Bài 42 trang 83 sgk Toán lớp 9 tập 2. Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn. \(P, Q, R\) theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung bị chắn \(BC, CA, AB\) bởi các góc \(A, B, C\). a) Chứng minh \(AP \bot QR\) b) \(AP\) cắt \(CR\) tại \(I\). Chứng minh tam giác \(CPI\) là tam giác cân Hướng dẫn giải: a) Gọi giao điểm của \(AP\) và \(QR\) là \(K\). \(\widehat{AKR}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên \(\widehat{AKR}\) = \(\frac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{QC}+sđ\overparen{CP}}{2}\)=\(\frac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{BC}}{4}=90^0\) Vậy \(\widehat{AKR} = 90^0\) hay \(AP \bot QR\) b) \(\widehat{CIP}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên: \(\widehat{CIP}\) = \(\frac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{CP}}{2}\) (1) \(\widehat {PCI}\) góc nội tiếp, nên \(\widehat {PCI}\)= \(\frac{sđ\overparen{RB}+sđ\overparen{BP}}{2}\) (2) Theo giả thiết thì cung \(\overparen{AR} = \overparen{RB}\) (3) Cung \(\overparen{CP} = \overparen{BP}\) (4) Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: \(\widehat {CIP}=\widehat {PCI}\). Do đó \(∆CPI\) cân. Bài 43 trang 83 sgk Toán lớp 9 tập 2. Cho đường tròn \((O)\) và hai dây cung song song \(AB, CD\) (\(A\) và \(C\) nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ \(BD\)); \(AD\) cắt \(BC\) tại \(I\) Chứng minh \(\widehat{AOC }\) = \(\widehat{AIC }\). Hướng dẫn giải: Theo giả thiết: \(\overparen{AC}\)=\(\overparen{BD}\) (vì \(AB // CD\)) (1) \(\widehat{AIC }\) = \(\frac{sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{BD}}{2}\) (2) Theo (1) suy ra \(\widehat{AIC }\) = \(sđ\overparen{AC}\) (3) \(\widehat{AOC }\) = \(sđ\overparen{AC}\) (góc ở tâm chắn cung \(\overparen{AC}\)) (4) So sánh (3), (4), ta có \(\widehat{AOC }\) = \(\widehat{AIC }\).
