Bài 61 trang 91 sgk Toán lớp 9 tập 2. a) Vẽ đường tròn tâm \(O\), bán kính \(2cm\). b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn \((O)\) ở câu a) c) Tính bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn \((O;r)\). Hướng dẫn giải: a) Chọn điểm \(O\) làm tâm , mở compa có độ dài \(2cm\) vẽ đường tròn tâm \(O\), bán kính \(2cm\): \((O; 2cm)\) Vẽ bằng eke và thước thẳng. b) Vẽ đường kính \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau. Nối \(A\) với \(B\), \(B\) với \(C\), \(C\) với \(D\), \(D\) với \(A\) ta được tứ giác \(ABCD\) là hình vuông nội tiếp đường tròn \((O;2cm)\) c) Vẽ \(OH \bot AD\) \(OH\) là bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp hình vuông \(ABCD\). \(r = OH = AH\). \({r^2} + {r^2} = O{A^2} = {2^2} \Rightarrow 2{r^2} = 4 \Rightarrow r = \sqrt 2 (cm)\) Vẽ đường tròn \((O;\sqrt2cm)\). Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc bốn cạnh hình vuông tại các trung điểm của mỗi cạnh Bài 62 trang 91 sgk Toán lớp 9 tập 2. a) Vẽ tam giác \(ABC\) cạnh \(a = 3cm\). b) Vẽ đường tròn \((O;R)\) ngoại tiếp tam giác đều \(ABC\). Tính \(R\). c) Vẽ đường tròn \((O;r)\) nội tiếp tam giác đều \(ABC\). Tính \(r\). d) Vẽ tiếp tam giác đều \(IJK\) ngoại tiếp đường tròn \((O;R)\). Hướng dẫn giải: a) Vẽ tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(3cm\) (dùng thước có chia khoảng và compa) b) Tâm \(O\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \(ABC\) là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời là ba đường cao, ba trung tuyến, ba phân giác của tam giác đều \(ABC\)). Ta có: \(R= OA =\) \(\frac{2}{3}\)\(AA'\) = \(\frac{2}{3}\). \(\frac{AB\sqrt{3}}{2}\) = \(\frac{2}{3}\) . \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\) = \(\sqrt3 (cm)\). c) Đường tròn nội tiếp \((O;r)\) tiếp xúc ba cạnh của tam giác đều \(ABC\) tại các trung điểm \(A', B', C'\) của các cạnh. \(r = OA' = \)\(\frac{1}{3}\)\( AA'\) =\(\frac{1}{3}\) \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}(cm)\) d) Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn \((O;R)\) tại \(A,B,C\). Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại \(I, J, K\). Ta có \(∆IJK\) là tam giác đều ngoại tiếp \((O;R)\). Bài 63 trang 92 sgk Toán lớp 9 tập 2. Vẽ các hình lục giác đều, hình vuông, hình tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn \((O;R)\) rồi tính cạnh của các hình đó theo \(R\). Hướng dẫn giải: Hình a. Gọi \({a_i}\) là cạnh của đa giác đều i cạnh. a) \({a_6}= R\) (vì \(O{A_1}{A_2}\) là tam giác đều) Cách vẽ: vẽ đường tròn \((O;R)\). Trên đường tròn ta đặt liên tiếp các cung \(\overparen{{A_1}{A_2}}\), \(\overparen{{A_2}{A_3}}\),...,\(\overparen{{A_6}{A_1}}\) mà căng cung có độ dài bằng \(R\). Nối \({A_1}\) với \({A_2}\), \({A_2}\) với \({A_3}\),…, \({A_6}\) với \({A_1}\) ta được hình lục giác đều \({A_1}\)\({A_2}\)\({A_3}\)\({A_4}\)\({A_5}\)\({A_6}\) nội tiếp đường tròn b) Hình b Trong tam giác vuông \(O{A_1}{A_2}\): \({a^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2} \Rightarrow a = R\sqrt 2 \) Cách vẽ như ở bài tập 61. c) Hình c \({A_1}H\) =\( R\) +\(\frac{R}{2}\) = \(\frac{3R}{2}\) \({A_3}H\) = \(\frac{a}{2}\) \({A_1}\)\({A_3}\)= \(a\) Trong tam giác vuông \({A_1}H{A_3}\) ta có: \({A_1}{H^2} = {A_1}{A_3}^2 - {A_3}{H^2}\). Từ đó \(\frac{9R^{2}}{4}\) = \(a^2\) - \(\frac{a^{2}}{4}\). \(\Rightarrow{a^2} = 3{R^2} \Rightarrow a = R\sqrt 3 \) Cách vẽ như câu a) hình a. Nối các điểm chia cách nhau một điểm thì ta được tam giác đều chẳng hạn tam giác \({A_1}{A_3}{A_5}\) như trên hình c Bài 64 trang 92 sgk Toán lớp 9 tập 2.Trên đường tròn bán kính \(R\) lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm \(A\), ba cung \(\overparen{AB}\), \(\overparen{BC}\), \(\overparen{CD}\) sao cho: \(sđ\overparen{AB}\)=\(60^0\), \(sđ\overparen{BC}\)=\(90^0\), \(sđ\overparen{CD}\)=\(120^0\) a) Tứ giác \(ABCD\) là hình gì? b) Chứng minh hai đường chéo của tứ giác \(ABCD\) vuông góc với nhau. c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác \(ABCD\) theo \(R\). Hướng dẫn giải: \(\widehat {BA{\rm{D}}} = {{{{90}^0} + {{120}^0}} \over 2} = {105^0}\) (góc nội tiếp chắn \(\overparen{BCD}\)) (1) \(\widehat {A{\rm{D}}C} = {{{{60}^0} + {{90}^0}} \over 2} = {75^0}\) ( góc nội tiếp chắn\(\overparen{ABC}\) ) (2) Từ (1) và (2) có: \(\widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}C} = {105^0} + {75^0} = {180^0}\) (3) \(\widehat {BA{\rm{D}}}\) và \(\widehat {A{\rm{D}}C}\) là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến \(AD\) và hai đường thẳng \(AB, CD\). Đẳng thức (3) chứng tỏ \(AB // CD\). Do đó tứ giác \(ABCD\) là hình thang, mà hình thang nội tiếp là hình thang cân. Vậy \(ABCD\) là hình thang cân (\(BC = AD\) và \(sđ\overparen{BC}\)=\(sđ\overparen{AD}\)=\(90^0\)) b) Giả sử hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(I\). \(\widehat {CI{\rm{D}}}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên: \(\widehat {CI{\rm{D}}}\) = \(\frac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{CD}}{2}\)=\({{{{60}^0} + {{120}^0}} \over 2} = {90^0}\) Vậy \(AC \bot BD\) c) Vì \(sđ\overparen{AB}\) = \(60^0\) nên \(\widehat {AIB} = {60^0}\) \(=> ∆AIB\) đều, nên \(AB = R\) Vì \(sđ\overparen{BC}\)= \(90^0\) nên \(BC = R\sqrt2\) \( AD = BC = R\sqrt2\) nên \(sđ\overparen{CD}\)= \(120^0\) nên \(CD = R\sqrt3\)
