Bài 88 trang 103 SGK Toán 9 tập 2. Hãy nêu tên mỗi góc trong các hình dưới đây: (Ví dụ.góc trên hình 66b) là góc nội tiếp). Hướng dẫn làm bài: a) Góc ở tâm. b) Góc nội tiếp. c) Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. d) Góc có đỉnh bên trong đường tròn. e) Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn. Bài 89 trang 104 SGK Toán 9 tập 2. Trong hình 67, cung \(AmB\) có số đo là \(66^0\). Hãy: a) Vẽ góc ở tâm chắn cung \(AmB\). Tính góc \(AOB\). b) Vẽ góc nội tiếp đỉnh \(C\) chắn cung \(AmB\). Tính góc \(ACB\). c) Vẽ góc tạo bởi tia tiếp tuyến \(Bt\) và dây cung \(BA\). Tính góc \(ABt\). d) Vẽ góc \(ADB\) có đỉnh \(D\) ở bên trong đường tròn. So sánh \(\widehat {A{\rm{D}}B}\) với \(\widehat {ACB}\) . e) Vẽ góc \(AEB\) có đỉnh \(E\) ở bên ngoài đường tròn (\(E\) và \(C\) cùng phía đối với \(AB\)). So sánh \(\widehat {A{\rm{E}}B}\) với \(\widehat {ACB}\) Hướng dẫn trả lời: a) Từ \(O\) nối với hai đầu mút của cung \(AB\) Ta có \(\widehat {AOB}\) là góc ở tâm chắn cung \(AB\) Vì \(\widehat {AOB}\) là góc ở tân chắn cung \(AB\) nên \(\widehat {AOB}\) =\(sđ\overparen{AmB}=60^0\) b) Lấy một điểm \(C\) bất kì trên \((O)\). Nối \(C\) với hai đầu mút của cung \(AmB\). Ta được góc nội tiếp \(\widehat {ACB}\) Khi đó: \(\widehat {ACB} = {1 \over 2}sđ\overparen{AmB}={1 \over 2}{60^0} = 30\) c) Vẽ bán kính \(OB\). Qua \(B\) vẽ \(Bt\bot OB\). Ta được góc \(ABt\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến \(Bt\) với dây cung \(BA\). Ta có: \(\widehat {ABt} = {1 \over 2}sđ\overparen{AmB} = {30^0}\) d) Lấy điểm \(D\) bất kì ở bên trong đường tròn \((O)\). Nối \(D\) với \(A\) và \(D\) với \(B\). ta được góc là góc ở bên trong đường tròn \((O)\) Ta có: \(\eqalign{ & \widehat {ACB} = {1 \over 2}sđ\overparen{AmB}\cr & \widehat {A{\rm{D}}B} = {1 \over 2}\left( sđ\overparen{AmB}+ sđ\overparen{CK} \right) \cr} \) Mà \(sđ\overparen{AmB}+sđ\overparen{CK}>sđ\overparen{AmB}\)(do \(sđ\overparen{CK}>0\)) nên \(\widehat {A{\rm{D}}B} > \widehat {ACB}\) e) Lấy điểm \(E\) bất kì ở bên ngoài đường tròn, nối \(E\) với \(A\) và \(E\) với \(B\), chúng cắt đường tròn lần lượt tại \(J\) và \(I\). Ta có góc \(AEB\) là góc ở bên ngoài đường tròn \((O)\) Có: \(\eqalign{ & \widehat {ACB} = {1 \over 2}sđ\overparen{AmB} \cr & \widehat {A{\rm{E}}B} = {1 \over 2}\left( sđ\overparen{AmB} - sđ\overparen{IJ} \right) \cr}\) Mà \(sđ\overparen{AmB}\)– \(sđ \overparen{IJ}< sđ\overparen{AmB}\) (do \(sđ\overparen{IJ}> 0\)) Nên \(\widehat {A{\rm{E}}B} < \widehat {ACB}\). Bài 90 trang 104 SGK Toán 9 tập 2. a) Vẽ hình vuông cạnh \(4cm\). b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó. Tính bán kính \(R\) của đường tròn này. c) Vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông đó. Tính bán kính \(r\) của đường tròn này. Hướng dẫn trả lời: a) Dùng êke ta vẽ hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(4cm\) như sau: - Vẽ \(AB = 4cm\). - Vẽ \(BC \bot AB\) và \(BC = 4cm\) - Vẽ \(DC\bot BC\) và \(DC = 4cm\) - Nối \(D\) với \(A\), ta có \(AD\bot DC\) và \(AD = 4cm\) b) Tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân nên \(AB = BC\). Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC\), ta có: \(\eqalign{ & A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 2{\rm{A}}{B^2} \Leftrightarrow A{C^2} = {2.4^2} = 32 \cr & \Rightarrow AC = \sqrt {32} = 4\sqrt 2 \cr}\) Vậy \(AO = R = {{AC} \over 2} = {{4\sqrt 2 } \over 2} = 2\sqrt 2 \) Vậy \(R = 2\sqrt{2}\) \(cm\) c) Vẽ \(OH \bot DC\). Vẽ đường tròn tâm \(O\), bán kính \(OH\). Đó là đường tròn nội tiếp hình vuông \(ABCD\) Ta có: \(OH = {{A{\rm{D}}} \over 2} = 2(cm)\) Vậy \(r = OH = 2cm\) Bài 91 trang 104 SGK Toán 9 tập 2. Trong hình 68, đường tròn tâm O có bán kính \(R = 2cm\), góc \(AOB = 75^0\). a) Tính số đo cung \(ApB\). b) Tính độ dài hai cung \(AqB\) và \(ApB\). c) Tính diện tích hình quạt tròn \(OAqB\) Hướng dẫn trả lời: a) Ta có \(\widehat {AOB}\) là góc nội tiếp chắn cung \(AqB\) nên: \(\widehat {AOB}\) = \(sđ\overparen{AqB}\) hay \(sđ\overparen{AqB}=75^0\) Vậy \(sđ\overparen{ApB}\)= \(360°- \overparen{AqB}\) = \(360^0 - 75^0 = 285^0\) b) \({l_{\overparen{AqB}}}\) là độ dài cung \(AqB\), ta có: \({l_{\overparen{AqB}}}\) = \({{\pi Rn} \over {180}} = {{\pi .2.75} \over {180}} = {5 \over 6}\pi (cm)\) Gọi \({l_{\overparen{ApB}}}\) là độ dài cung \(ApB\) ta có: \({l_{\overparen{ApB}}} = {{\pi Rn} \over {180}} = {{\pi .2.285} \over {180}} = {{19\pi } \over 6}(cm)\) c) Diện tích hình quạt tròn \(OAqB\) là: \({S_{OAqB}} = {{\pi {R^2}n} \over {360}} = {{\pi {2^2}.75} \over {360}} = {{5\pi } \over 6}(c{m^2})\) Bài 92 trang 104 SGK Toán 9 tập 2. Hãy tính diện tích miền gạch sọc trong các hình 69, 70, 71 (đơn vị độ dài: cm). Hướng dẫn trả lời: a) Hình 69 Đối với hình tròn bán kính \(R= 1,5\) là: \({S_1} = πR^2 = π. 1,5^2 = 2,25π\) Đối với hình tròn bán kính \(r = 1\) là: \({S_2} = πr^2= π. 1^2 = π\) Vậy diện tích miền gạch sọc là: \(S = {S_1} – {S_2} = 2,25 π – π = 1,25 π\) (đvdt) b) Hình 70 Diện tích hình quạt có bán kính \(R = 1,5\); \(n^0 = 80^0\) \({S_1} = {{\pi {R^2}n} \over {360}} = {{\pi 1,{5^2}.80} \over {360}} = {\pi \over 2}\) Diện tích hình quạt có bán kính \(r = 1\); \(n^0 = 80^0\) \({S_2} = {{\pi {r^2}n} \over {360}} = {{\pi {{.1}^2}.80} \over {360}} = {{2\pi } \over 9}\) Vậy diện tích miền gạch sọc là: \(S = {S_1} - {S_2} = {\pi \over 2} - {{2\pi } \over 9} = {{9\pi - 4\pi } \over {18}} = {{5\pi } \over {18}}\) c) Hình 71 Diện tích hình vuông cạnh \(a = 3\) là: \({S_1} = a^2 = 3^2 =9\) Diện tích hình tròn có \(R = 1,5\) là: \({S_2} = πR^2 = π.1,5^2 = 2,25π = 7,06\) Vậy diện tích miền gạch sọc là: \(S = {S_1} – {S_2} = 9 – 7,06 = 1,94\) (đvdt). Bài 93 trang 104 SGK Toán 9 tập 2. Có ba bánh xe răng cưa \(A, B, C\) cùng chuyển độn ăn khớp với nhau. Khi một bánh xe quay thì hai bánh xe còn lại cũng quay theo. Bánh xe \(A\) có \(60\) răng, bánh xe B có \(40\) răng, bánh xe \(C\) có \(20\) răng. Biết bán kính bánh xe \(C\) là \(1\)cm. Hỏi: a) Khi bánh xe \(C\) quay \(60\) vòng thì bánh xe \(B\) quay mấy vòng? b) Khi bánh xe \(A\) quay \(80\) vòng thì bánh xe \(B\) quay mấy vòng? c) Bán kính của các bánh xe \(A\) và \(B\) là bao nhiêu? Hướng dẫn trả lời: Ta có bánh xe \(A\) có \(60\) răng, bánh xe \(B\) có \(40\) răng, bánh xe \(C\) có \(20\) răng nên suy ra chu vi của bánh xe \(B\) gấp đôi chu vi bánh xe \(C\), chu vi bánh xe \(A\) gấp ba chu vi bánh xe \(C\). Chu vi bánh xe \(C\) là: \(2. 3,14 . 1 = 6,28 (cm)\) Chu vi bánh xe \(B\) là: \(6,28 . 2 = 12,56 (cm)\) Chu vi bánh xe \(A\) là: \(6,28 . 3 = 18,84 (cm)\) a) Khi bánh xe \(C\) quay được \(60\) vòng thì quãng đường đi được là: \(60 . 6,28 = 376,8 (cm)\) Khi đó số vòng quay của bánh xe \(B\) là: \(376,8 : 12,56 = 30\) (vòng) b) Khi bánh xe \(A\) quay được \(80\) vòng thì quãng đường đi được là: \(80 . 18,84 = 1507,2\) (cm) Khi đó số vòng quay của bánh xe \(B\) là: \(1507,2 : 12,56 = 120\) (vòng) c) Bán kính bánh xe \(B\) là: \(12,56 : (2π) = 12,56 : 6,28 = 2(cm)\) Bán kính bánh xe \(A\) là: \(18,84 : (2π) = 18,84 : 6,28 = 3(cm)\) Bài 94 trang 105 SGK Toán 9 tập 2. Hãy xem biểu đồ hình quạt biểu diễn sự phân phối học sinh của một trường THCS theo diện ngoại trú, bán trú, nội trú (h.72). Hãy trả lời các câu hỏi sau: a) Có phải \({1 \over 2}\) số học sinh lầ học sinh ngoại trú không? b) Có phải \({1 \over 3}\) số học sinh là học sinh bán trú không? c) Số học sinh nội trú chiếm bao nhiêu phần trăm? d) Tính số học sinh mỗi loại, biết tổng số học sinh là \(1800\) em. Hướng dẫn trả lời: Theo cách biểu diễn dự phân phối học sinh như biểu đồ thì: a) Đúng \(\left( {{1 \over 2} = 50\% } \right)\) b) Đúng \(\left( {{1 \over 3} \approx 33,3\% } \right)\) c) Số học sinh nội trú chiếm \(100\)% - (\(50\)% + \(33,3\)%) = \(16,7\)% d) Số học sinh ngoại trú: \(1800.{1 \over 2} = 900\) (em) Số học sinh bán trú: \(1800.{1 \over 3} =600\)(em) Số học sinh nội trú: \(1800 – (900 + 600) = 300\) (em) Bài 95 trang 105 SGK Toán 9 tập 2. Các đường cao hạ từ \(A\) và \(B\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\) (góc \(C\) khác \(90^0\)) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) lần lượt tại \(D\) và \(E\). Chứng minh rằng: a) \(CD = CE\) ; b) \(ΔBHD\) cân ; c) \(CD = CH\). Hướng dẫn trả lời: Ta có: \(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {A{\rm{E}}B}\) (cùng chắn cung \(AB\)) \( \Rightarrow \widehat {CB{\rm{D}}} = \widehat {CA{\rm{E}}}\) (cùng phụ với hai góc bằng nhau) ⇒ \(sđ\overparen{CD}\)= \(sđ\overparen{CE}\) Suy ra \(CD = CE\) b) Ta có \(\widehat {EBC}\) và \(\widehat {CB{\rm{D}}}\) là góc nội tiếp trong đường tròn \(O\) nên : \(\widehat {EBC} = {1 \over 2} sđ\overparen{CE}\) và \(\widehat {CB{\rm{D}}} = {1 \over 2}sđ\overparen{CD}\) Mà \(sđ\overparen{CD}\)= \(sđ\overparen{CE}\) nên \(\widehat {EBC} = \widehat {CB{\rm{D}}}\) Vậy \(∆BHD\) cân tại \(B\) c) Vì \(∆BHD\) cân và \(BK\) là đường cao cũng là đường trung trực của \(HD\). Điểm \(C\) nằm trên đường trung trực của \(HD\) nên \(CH = CD\) Bài 96 trang 105 SGK Toán 9 tập 2. Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O)\) và tia phân giác của góc \(A\) cắt đường tròn tại \(M\). Vẽ đường cao \(AH\). Chứng minh rằng: a) \(OM\) đi qua trung điểm của dây \(BC\). b) \(AM\) là tia phân giác của góc \(OAH\). Hướng dẫn trả lời: a) Vì \(AM\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {BAM} = \widehat {MAC}\) Mà \(\widehat {BAM}\) và \(\widehat {MAC}\) đều là góc nội tiếp của \((O)\) nên \(\overparen{BM}\)=\(\overparen{MC}\) ⇒ \(M\) là điểm chính giữa cung \(BC\) Vậy \(OM \bot BC\) và \(OM\) đi qua trung điểm của \(BC\) b) Ta có : \(OM \bot BC\) và \(AH\bot BC\) nên \(AH//OM\) \( \Rightarrow \widehat {HAM} = \widehat {AM{\rm{O}}}\) (so le trong) (1) Mà \(∆OAM\) cân tại \(O\) nên \(\widehat {AM{\rm{O}}} = \widehat {MAO}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {HA{\rm{M}}} = \widehat {MAO}\) Vậy \(AM\) là đường phân giác của góc \(OAH\) Bài 97 trang 105 SGK Toán 9 tập 2. Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\). Trên \(AC\) lấy một điểm \(M\) và vẽ đường tròn đường kính \(MC\). Kẻ \(BM\) cắt đường tròn tại \(D\). Đường thẳng \(DA\) cắt đường tròn tại \(S\). Chứng minh rằng: a) \(ABCD\) là một tứ giác nội tiếp; b) \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{D}}}\) ; c) \(CA\) là tia phân giác của góc \(SCB\) Hướng dẫn trả lời: a) Ta có góc \(\widehat {MDC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \((O)\) nên \(\widehat {MDC} = {90^0}\) ⇒ \(∆CDB\) là tam giác vuông nên nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\) . Ta có \(∆ABC\) vuông tại \(A\). Do đó \(∆ABC\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(I\) đường kính \(BC\). Ta có \(A\) và \(D\) cùng nhìn \(BC\) dưới một góc \(90^0\) không đổi nên tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\) b) Ta có \(\widehat {AB{\rm{D}}}\) là góc nội tiếp trong đường tròn \((I)\) chắn cung \(AD\). Tương tự góc \(\widehat {AC{\rm{D}}}\) là góc nội tiếp trong đường tròn \((I)\) chắn cung \(AD\) Vậy \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{D}}}\) c) Ta có: \(\widehat {S{\rm{D}}M} = \widehat {SCM}\) (vì góc nội tiếp cùng chắn cung \(MS\) của đường tròn \((O)\)) \(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {ACB}\) (là góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\) của đường tròn \((I)\) Mà \(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {S{\rm{D}}M} \Rightarrow \widehat {SCM} = \widehat {ACB}\) Vậy tia \(CA\) là tia phân giác của góc \(SCB\) Bài 98 trang 105 SGK Toán 9 tập 2. Cho đường tròn \((O)\) và một điểm \(A\) cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm \(M\) của dây \(AB\) khi điểm \(B\) di động trên đường tròn đó. Hướng dẫn trả lời: +) Phần thuận: Giả sử \(M\) là trung điểm của dây \(AB\). Do đó, \(OM \bot AB\). Khi \(B\) di động trên đường tròn \((O)\) điểm \(M\) luôn nhìn đoạn \(OA\) cố định dưới một góc vuông. Vậy quỹ tích của điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I\) đường kính \(OA\). +) Phần đảo: Lấy điểm \(M’\) bất kì trên đường tròn \((I)\). Nối \(M’\) với \(A\), đường thẳng \(M’A\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(B’\). Nối \(M’\) với \(O\), ta có \(\widehat {AM'O} = {90^0}\) hay \(OM’ \bot AB’ \) ⇒ \(M\) là trung điểm của \(AB’\) Kết luận: Tập hợp các trung điểm \(M\) của dây \(AB\) là đường tròn đường kính \(OA\). Bài 99 trang 105 SGK Toán 9 tập 2. Dựng \(ΔABC\), biết \(BC = 6cm\), góc \(\widehat{BAC} = 80^0\), đường cao \(AH\) có độ dài là \(2cm\). Hướng dẫn trả lời: Cách dựng như sau: - Đầu tiên dựng đoạn \(BC = 6cm\) - Dựng cung chứa góc \(80^0\) trên đoạn \(BC\). - Dựng đường thằng \(xy // BC\) và cách \(BC\) một khoảng là \(2cm\). Đường thẳng \(xy\) cắt cung chứa góc \(80^0\) tại hai điểm \(A\) và \(A’\) - Tam giác \(ABC\) là tam giác phải dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài Bài toán có hai nghiệm hình (\(∆ABC\) và \(∆A’BC\))
