Bài 30 trang 124 - Sách giáo khoa toán 9 tập 2. Nếu thể tích của một hình cầu là \(113\frac{1}{7}\) thì trong các kết quả sau đây, kết quả nào là bán kính của nó (lấy \(\pi = {{22} \over 7}\))? (A) \(2 cm\) (B) \(3 cm\) (C) \(5 cm\) (D) \(6 cm\) ; (E) Một kết quả khác. Giải: Từ công thức: \(V = {4 \over 3}\pi {R^3} \Rightarrow R = {{3V} \over {4\pi }} \Rightarrow R = 27\) Suy ra: \(R = 3\) Vậy chọn B. Bài 31 trang 124 - Sách giáo khoa toán 9 tập 2. Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau: Giải ÁP dụng công thức tính diện tích mặt cầu: \(S = 4\pi {R^2}\) và công thức tính thể tích mặt cầu: \(V = {4 \over 3}\pi {R^3}\) Thay bán kính mặt cầu vào ta tính được bảng sau: Bài 32 trang 125 - Sách giáo khoa toán 9 tập 2. Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đường tròn là \(r\), chiều cao \(2r\) (đơn vị: cm) Người ta khoẻt rỗng hai nửa hình cầu như hình 108. Hãy tính diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại(diện tích cả ngoài lần trong). Giải: Diện tích phần cần tính gồm diện tích xung quanh hình trụ bán kính đường tròn đáy là \(r\) (cm), chiều cao là \(2r\) (cm) và một mặt cầu bán kính \(r\) (cm). Diện tích xung quanh của hình trụ: \(S_{xq} = 2 \pi r h = 2 \pi r. 2 r= 4 \pi r^2\) (\(cm^2\)) Diện tích mặt cầu: \(S= 4 \pi r^2\)(\(cm^2\)) Diện tích cần tính là: \(4 \pi r^2\) + \(4 \pi r^2\) = \(8 \pi r^2\) (\(cm^2\)). Bài 33 trang 125 - Sách giáo khoa toán 9 tập 2. Dụng cụ thể thao Các loại bóng cho trong bảng đều có dạng hình cầu. Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai): Giải: Dòng thứ nhất: Từ \(C = \pi .d \Rightarrow d = {C \over \pi } = {\rm{ }}{{23} \over {{{22} \over 7}}} = 7,32\) Dòng thứ hai: Áp dụng công thức \(C = π.d\), thay số vào ta được \(d = 42,7mm \Rightarrow C = {{22} \over 7}.42,7 = 134,08mm\) \(d = 6,6cm \Rightarrow C = {\rm{ }}{{22} \over 7}.6,6 = 20,41cm\) \(d = 40mm \Rightarrow C = {\rm{ }}{{22} \over 7}.40 = 125,6mm\) \(d = 61mm \Rightarrow C = {{22} \over 7}.61 = 191,71mm\) Dòng thứ ba: ÁP dụng công thức \(S{\rm{ }} = {\rm{ }}\pi {d^2}\), thay số vào ta được: \(d = 42,7mm \Rightarrow S = {{22} \over 7}.42,{7^2} \approx 5730,34(m{m^2})\) \({\rm{ }} \approx 57,25(c{m^2})\) \(d = 6,5cm \Rightarrow S = {{22} \over 7}.6,{5^2} = 132,65(c{m^2})\) \(d = 40mm \Rightarrow S = {{22} \over 7}{.40^2} = 5024(m{m^2})\) \(d = 61mm \Rightarrow S = {{22} \over 7}.612 = 11683,94(m{m^2})\) Dòng thứ 4: áp dụng công thức \(V = {4 \over 3}\pi {R^3}\) , thay số vào ta được các kết quả ghi vào bảng dưới đây: Bài 34 trang 125 - Sách giáo khoa toán 9 tập 2. Khinh khí cầu của nhà Mông gôn fi ê Ngày 4 - 6 - 1783, anh em nhà Mông gôn fi ê(người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu dùng không khí nóng. Coi khí cầu này là hình cầu có đường kính \(11\) m. Hãy tính diện tích mặt khinh khí cầu đó( làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). Giải: Diện tích của khinh khí cầu: \(\pi {d^{2}} = {\rm{ }}3,14.{\rm{ }}11.{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}379,94{\rm{ }}({m^2})\) Bài 35 trang 126 - Sách giáo khoa toán 9 tập 2. Một cái bồn chứa xăng gồm hai cửa hình cầu và hình trụ (h110) Hãy tính thể tích của bồn chưa theo kích thước cho trên hình vẽ. Giải: Thể tích cần tính gồm một hình trụ và một hình cầu. - Bán kính đáy của hình trụ là \(0,9m\), chiều cao là \(3,62m\). - Bán kính của hình cầu là \(0,9 m\) Thể tích của hình trụ là : \({V_{tru}} = {\rm{ }}\pi {r^2}h{\rm{ }} = {\rm{ }}3,14{\rm{ }}{\left( {0,9} \right)^2}.3,62 = 9,215{\rm{ }}({m^3})\) Thể tích của hình cầu là: \({V_{cau}} = {4 \over 3}\pi {R^3} = {4 \over 3}.3,14{(0,9)^3} = 3,055({m^3})\) Thể tích của bồn chứa xăng: \(V = {V_{tru}} + {\rm{ }}{V_{cau}} = {\rm{ }}9,215{\rm{ }} + {\rm{ }}3,055{\rm{ }} = {\rm{ }}12,27({m^3})\) Bài 36 trang 126 - Sách giáo khoa toán 9 tập 2. Một chi tiết máy gồm một hình trù và hai nửa hình cầu với các kích thước đã cho trên hình 111 (đơn vị: cm) a) Tìm một hệ thức giữa \(x\) và \(h\) khi \(AA'\) có độ dài không đổi và bằng \(2a\). b) Với điều kiện ở a) hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết theo \(x\) và \(a\). Giải: a) Ta có \(h + 2x = 2a\) b) - Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy là \(x\), chiều cao là \(h\) và diện tích mặt cầu có bán kính là \(x\). - Diện tích xung quanh của hình trụ: \({S_{tru}} = {\rm{ }}2\pi xh\) - Diện tích mặt cầu:\({S_{cau}} = {\rm{ }}4\pi {x^2}\) Nên diện tích bề mặt của chi tiết máy là: \(S{\rm{ }} = {\rm{ }}{S_{tru}} + {S_{cau}}\) \(= 2\pi xh{\rm{ }} + 4\pi {x^{2}} = 2\pi x\left( {h + 2x} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}4\pi ax\) Thể tích cần tìm gồm thể tích hình trụ và thể tích hình cầu. Ta có: \({V_{tru}}{\rm{ }} = \pi {x^2}h\) \({V_{cau}} = {4 \over 3}\pi {x^3}\) Nên thể tích của chi tiết máy là: \(V = {V_{tru}} + {V_{cau}} = \pi {x^2}h + {4 \over 3}\pi {x^3}\) \(= 2\pi {x^2}(a - x) + {4 \over 3}\pi {x^3} = 2\pi {x^2}\left( {a - {1 \over 3}x} \right)\) Bài 37 trang 126 - Sách giáo khoa toán 9 tập 2. Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB = 2R\), \(Ax\) và \(By\) là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại \(A\) và \(B\). Lấy trên tia \(Ax\) điểm \(M\) rồi vẽ tiếp tuyến \(MP\) cắt \(By\) tại \(N\). a) Chứng minh rằng \(MON\) và \(APB\) là hai tam giác vuông đồng dạng. b) Chứng minh rằng \(AM.BN = R^2\) c) Tính tỉ số \(\frac{S_{MON}}{S_{APB}}\)khi \(AM\) = \(\frac{R}{2}\) d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn \(APB\) quay quanh \(AB\) sinh ra. Giải: a) Ta có \(OM\), \(ON\) lần lượt là tia phân giác của \(\widehat {AOP}\) và \(\widehat {BOP}\) Mà \(\widehat {AOP}\) kể bù \(\widehat {BOP}\) nên suy ra \(OM\) vuông góc với \(ON\). Vậy \(∆MON\) vuông tại \(O\). Lại có \(∆APB\) vuông vì có góc \(\widehat{APB}\) vuông (góc nội tiếp chắn nửa cung tròn) Tứ giác \(AOPM\) nội tiếp đường tròn vì có \(\widehat{MAP}\) + \(\widehat{MPO}\) = \(180^0\). Nên \(\widehat{PMO}\) = \(\widehat{PAO}\) (cùng chắn cung \(OP\)). Vậy hai tam giác vuông \(MON\) và \(APB\) đồng dạng vì có cặp góc nhọn bằng nhau. b) Tam giác \(AM = MP, BN = NP\) (1) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Tam giác vuông \(MON\) có \(OP\) là đường cao nên: \(MN.PN = OP^2\) (2) Từ 1 và 2 suy ra \(AM.BN = O{P^2} = {R^2}\) c) Từ tam giác \(MON\) đồng dạng với tam giác \(APB\) ta có : \(\frac{S_{MON}}{S_{APB}}= \frac{MN^2}{AB^2}\) Khi \(AM\) = \(\frac{R}{2}\) thi do \(AM.BN = {R^{2{\rm{ }}}}\) suy ra \(BN = 2R\) Do đó \(MN = MP + PN = AM + BN\) = \(\frac{R}{2}\) + \(2R\) = \(\frac{5R}{2}\) Suy ra \(MN^2\) = \(\frac{25R^2}{4}\) Vậy \(\frac{S_{MON}}{S_{APB}}\) = \(\frac{ \frac{25R^2}{4}}{(2R)^2}= \frac{25}{16}\) d) Nửa hình tròn \(APB\) quay quanh đường kính \(AB = 2R\) sinh ra một hình cầu có bán kính \(R\). Vậy \(V\) = \(\frac{4}{3}\)\(πR^3\)
