ĐẲNG THỨC TỔ HỢP KHAI TRIỂN VÀ ỨNG DỤNG 1. Lời giới thiệu. Phương pháp nhóm và tách hay nói cách khác là thêm và bớt cùng một lượng ít được quan tâm và chú ý trong việc chứng minh và sáng tạo Bất Đẳng Thức. Dùng phương pháp nhóm và tách đơn giản ta có thể chứng minh Bất đẳng thức Jensen, ChauChy, Holder, và Minskowki từ trường hợp $n=2$. Tuy nhiên trong bài báo này tác giả giới thiệu đến các bạn phương pháp nhóm và tách có dùng đến kiến thức tổ hợp để sáng tạo ra một loạt các bất đẳng thức kẹp giữa hai vế của bất đẳng thức Jensen, Chauchy và Holder. 2. Đẳng thức khai triển tổ hợp và một số bất đẳng thức kinh điển 2.1 Đẳng thức khai triển tổ hợp * Cho tập $A$ gồm $n$ phần tử ${{a}_{1}},{{a}_{2}},.....,{{a}_{n}}$ ta gọi tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử của tập $A$ là một tập gồm $k$ phần tử bất kỳ của $A$ không kể thứ tự. * Theo lý thuyết tổ hợp có $C_{n}^{k}$ tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử. Ta ký hiệu là ${{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{C_{n}^{k}}}$ , và có $C_{n}^{m}$ tổ hợp chập $m$ của $n$ phần tử của $A$ ký hiệu là ${{B}_{1}},{{B}_{2}},...,{{B}_{C_{n}^{m}}}$ giờ trong mỗi bộ ${{B}_{j}}\begin{matrix} , & j=1,2....,C_{n}^{m} \\\end{matrix}$ sẽ có $C_{m}^{k}$ tổ hợp gồm $k$ phần tử của , ta ký hiệu và liệt kê tất cả các tổ hợp gồm $k$ phần tử tách ra từ ${{B}_{j}}$ như sau: \[{{B}_{11}},{{B}_{12}},....,{{B}_{1C_{m}^{k}}},{{B}_{21}},{{B}_{22}},....,{{B}_{2C_{m}^{k}}},...,{{B}_{C_{n}^{m}1}},{{B}_{C_{n}^{m}2}},....,{{B}_{C_{n}^{m}C_{m}^{k}}}\] * Ta cũng nhắc lại khái niệm hai tập hợp trùng nhau nếu các phần tử trên mỗi tập là trùng nhau. Ta có thể dễ dàng nhận thấy một bộ ${{A}_{j}}$ sẽ trùng với $\frac{C_{n}^{m}C_{m}^{k}}{C_{n}^{k}}$ bộ ${{B}_{jh}}$ Qua những nhận xét trên ta thấy rằng với là một hàm số $k$ biến thì ta có định lý sau gọi là định lý khai triển tổ hợp sau: \[\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{m}}{\sum\limits_{h=1}^{C_{m}^{k}}{{{H}_{k}}({{B}_{jh}})=\frac{C_{n}^{m}C_{m}^{k}}{C_{n}^{k}}\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{{{H}_{k}}({{A}_{j}})}}}\] \[\prod\limits_{j=1}^{C_{n}^{m}}{\prod\limits_{h=1}^{C_{m}^{k}}{{{H}_{k}}({{B}_{jh}})}}={{\prod\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{\left( {{H}_{k}}({{A}_{j}}) \right)}}^{\frac{C_{n}^{m}C_{m}^{k}}{C_{n}^{k}}}}\] Trong bài báo này sẽ áp dụng khai triển trên với $m=k+1$ \[\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{\sum\limits_{h=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{H}_{k}}({{B}_{jh}})=\frac{C_{n}^{k+1}C_{k+1}^{k}}{C_{n}^{k}}\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{{{H}_{k}}({{A}_{j}})}}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 1.1a \right)\] \[\prod\limits_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{\prod\limits_{h=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{H}_{k}}({{B}_{jh}})}}={{\prod\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{\left({{H}_{k}}({{A}_{j}}) \right)}}^{\frac{C_{n}^{k+1}C_{k+1}^{k}}{C_{n}^{k}}}}\,\,\,\,\,\,\,(1.1b)\] 2.2 Một số bất đẳng thức kinh điển 2.2.1 Bất đẳng thức Jensen Hàm số $f(x)$ lồi trên $(a,b)$; ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}\in (a,b),\,\,{{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},...,{{\lambda }_{n}}>0$, ta có: \[({\lambda _1} + {\lambda _2} + ... + {\lambda _n})f\left( {\frac{{{\lambda _1}{x_1} + {\lambda _2}{x_2} + ... + {\lambda _n}{x_n}}}{{{\lambda _1} + {\lambda _2} + ... + {\lambda _n}}}} \right) \le \] \[ \le {\lambda _1}f({x_1}) + {\lambda _2}f({x_2}) + ... + {\lambda _n}f({x_n}){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\,\,(1.2)\] Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}=....={{x}_{n}}$ 2.2.2 Bất đẳng thức Cauchy Cho${{a}_{i}}>0,{{b}_{i}}>0,i=1,2,..n$ ta có bất đẳng thức: \[{{\left( \frac{{{b}_{1}}{{a}_{1}}+{{b}_{2}}{{a}_{2}}+....+{{b}_{n}}{{a}_{n}}}{{{b}_{1}}+{{b}_{2}}+....+{{b}_{n}}} \right)}^{{{b}_{1}}+{{b}_{2}}+....+{{b}_{n}}}}\ge {{a}_{1}}^{{{b}_{1}}}{{a}_{2}}^{{{b}_{2}}}...{{a}_{n}}^{{{b}_{n}}}\,\, (1.3)\] Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow{{a}_{1}}={{a}_{2}}=....={{a}_{n}}$ 2.2.3 Bất đẳng thức Holder Bất đẳng thức Holder trên trường số thực được phát biểu là với $\forall {{a}_{i}},{{b}_{i}}\in R,i=1,2,...,n$ và $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Ta có: \[\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{a_i}{b_i}} \right|} \le {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{a_i}} \right|}^p}} } \right)^{\frac{1}{p}}}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{b_i}} \right|}^q}} } \right)^{\frac{1}{q}}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\mkern 1mu} (1.4)\] Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=...=\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}$ 3. Ứng dụng định lý khai triển tổ hợp sáng tạo các bất đẳng thức kẹp giữa hai vế của bất đẳng thức Jensen, Chauchy, và Holder 3.1. Các bất đẳng thức kẹp giữa hai vế của bất đẳng thức Jensen Định lý: Hàm $f(x)$ là hàm lồi trên miền $(a,b)$; các số ${{x}_{1}},{{x}_{2}},....,{{x}_{n}}$ thuộc khoảng $(a,b)$ ; các số thực dương ${{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},....,{{\lambda }_{n}}$. Đặt: ${{J}_{k}}=\frac{1}{kC_{n}^{k}}{{\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{\left\{ {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}f\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{j}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}} \right) \right\}}}_{n}}$. Khi đó ta có bất đẳng thức: ${{J}_{k+1}}\le {{J}_{k}},\forall k=1,2,...,n-1\,\,\,\,\,\,(2.1)$ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=....={{x}_{n}}$ Ví dụ cùng giả thiết như trên với $n=3$ ta có: \[\left( {{\lambda _1} + {\lambda _2} + {\lambda _3}} \right)f\left( {\frac{{{\lambda _1}{x_1} + {\lambda _2}{x_2} + {\lambda _3}{x_3}}}{{{\lambda _1} + {\lambda _2} + {\lambda _3}}}} \right) \le \] \[ \le \frac{1}{2}\left\{ {({\lambda _1} + {\lambda _2})f\left( {\frac{{{\lambda _1}{x_1} + {\lambda _2}{x_2}}}{{{\lambda _1} + {\lambda _2}}}} \right) + ({\lambda _1} + {\lambda _3})f\left( {\frac{{{\lambda _1}{x_1} + {\lambda _3}{x_3}}}{{{\lambda _1} + {\lambda _3}}}} \right) + ({\lambda _2} + {\lambda _3})f\left( {\frac{{{\lambda _2}{x_2} + {\lambda _3}{x_3}}}{{{\lambda _2} + {\lambda _3}}}} \right)} \right\} \] \[ \le {\lambda _1}f({x_1}) + {\lambda _2}f({x_2}) + {\lambda _3}f({x_3})\] Chứng minh: $${{\left\{ {{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}f\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{j}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}} \right) \right\}}_{n}}=$$ $${{\left\{ \frac{1}{k}{{\left( {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{1}}+....+{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{C_{k+1}^{k}}} \right)}_{j}}f\left( \frac{{{\left( {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{1}}+....+{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{C_{k+1}^{k}}} \right)}_{j}}}{{{\left( {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{1}}+....+{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{C_{k+1}^{k}}} \right)}_{j}}} \right) \right\}}_{n}}\,\,\,\, (2.1a)$$ Áp dụng bất đẳng thức Jensen $(1.2)$ ta có: $$VP(2.1a)\le \frac{1}{k}{{\left\{ {{\left\{ {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{1}}f\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{1}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{1}}} \right)+....+{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{C_{k+1}^{k}}}f\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{C_{k+1}^{k}}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{C_{k+1}^{k}}}} \right) \right\}}_{j}} \right\}}_{n}}$$ $$=\frac{1}{k}{{\left\{ \sum\limits_{h=1}^{k+1}{{{\left\{ {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}}f\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{h}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}}} \right) \right\}}_{j}}} \right\}}_{n}}$$ Do đó: $$\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{{{\left\{ {{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}f\left( \frac{{{(\sum\limits_{1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{j}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}} \right) \right\}}_{n}}}\le \frac{1}{k}\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{{{\left\{ \sum\limits_{h=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left\{ {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}}f\left( \frac{{{(\sum\limits_{1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{h}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}}} \right) \right\}}_{j}}} \right\}}_{n}}}$$ Theo khai triển $(1.1a)$ $$\frac{1}{k}\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{{{\left\{ \sum\limits_{h=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left\{ {{(\sum\limits_{1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}}f\left( \frac{{{(\sum\limits_{1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{h}}}{{{(\sum\limits_{1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}}} \right) \right\}}_{j}}} \right\}}_{n}}}=\frac{1}{k}\frac{C_{n}^{k+1}C_{k+1}^{k}}{C_{n}^{k}}{{\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{\left\{ {{(\sum\limits_{1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}f\left( \frac{{{(\sum\limits_{1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{j}}}{{{(\sum\limits_{1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}} \right) \right\}}}_{n}}$$ $$\Leftrightarrow {{J}_{k+1}}\le {{J}_{k}}$$ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=....={{x}_{n}}$. Suy ra điều phải chứng minh. 3.2. Các bất đẳng thức kẹp giữa hai vế của bất đẳng thức Chauchy Định lý: ${{a}_{1}},{{a}_{2}},....,{{a}_{n}}\ge 0$ và ${{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},....,{{\lambda }_{n}}>0$. Đặt: ${{C}_{k}}={{\prod\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{\left\{ {{\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{a}_{i}}})}_{j}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}} \right)}^{\frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}}{kC_{n}^{k}}}} \right\}}}_{n}}$. Khi đó ta có bất đẳng thức sau: ${{C}_{k+1}}\ge {{C}_{k}},\forall k=1,2,...,n-1\,\,\,\,\,(2.2)$ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ${{a}_{1}}={{a}_{2}}=....={{a}_{n}}$ Chứng minh: $${{\left\{ {{\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}{{a}_{i}}})}_{j}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}} \right)}^{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}}} \right\}}_{n}}=$$ $${{\left( \frac{{{\left( {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{a}_{i}}})}_{1}}+....+{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{a}_{i}}})}_{C_{k+1}^{k}}} \right)}_{j}}}{{{\left( {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{1}}+....+{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{C_{k+1}^{k}}} \right)}_{j}}} \right)}_{n}}^{{{\left\{ \frac{1}{k}{{\left( {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{1}}+....+{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{C_{k+1}^{k}}} \right)}_{j}} \right\}}_{n}}}\,(2.2a)$$ Áp dụng bất đẳng thức Chauchy $(1.3)$ ta có: $$VP(2.2a)={{\left\{ \prod\limits_{h=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{a}_{i}}})}_{h}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}}} \right)}_{j}}^{\frac{1}{k}{{\left( {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}} \right)}_{j}}}}. \right\}}_{n}}$$ Do vậy: $$\prod\limits_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{{{\left\{ {{\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}{{a}_{i}}})}_{j}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}} \right)}^{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}}} \right\}}_{n}}}\ge \prod\limits_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{{{\left\{ \prod\limits_{h=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{a}_{i}}})}_{h}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}}} \right)}_{j}}^{\frac{1}{k}{{\left( {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}} \right)}_{j}}}} \right\}}_{n}}}$$ Theo khai triển $(1.1b)$ $$\prod\limits_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{{{\left\{ \prod\limits_{h=1}^{k+1}{{{\left( \frac{{{(\sum\limits_{1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{a}_{i}}})}_{h}}}{{{(\sum\limits_{1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}}} \right)}_{j}}^{\frac{1}{k}{{\left( {{(\sum\limits_{1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}} \right)}_{j}}}} \right\}}_{n}}}={{\prod\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{\left\{ {{\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{a}_{i}}})}_{j}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}} \right)}^{\frac{(k+1)C_{n}^{k+1}}{kC_{n}^{k}}{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}}} \right\}}}_{n}}$$ Do vậy: $${{\prod\limits_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{\left\{ {{\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}{{a}_{i}}})}_{j}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}} \right)}^{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}}} \right\}}}_{n}}\ge {{\prod\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{\left\{ {{\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{a}_{i}}})}_{j}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}} \right)}^{\frac{(k+1)C_{n}^{k+1}}{kC_{n}^{k}}{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}}} \right\}}}_{n}}$$ $$ \Leftrightarrow {{C}_{k+1}}\ge {{C}_{k}}$$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ${{a}_{1}}={{a}_{2}}=....={{a}_{n}}$ 3.3. Các bất đẳng thức kẹp giữa hai vế của bất đẳng thức Holder Định Lý: $\forall {{a}_{i}},{{b}_{i}}\in R,i=1,2,...,n$ và $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Đặt: ${{H}_{k}}=\frac{1}{kC_{n}^{k}}\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{{{\left( \sum\limits_{i=1}^{k}{{{\left| {{a}_{i}} \right|}^{p}}} \right)}_{j}}^{1/p}{{\left( \sum\limits_{i=1}^{k}{{{\left| {{b}_{i}} \right|}^{q}}} \right)}_{j}}^{1/q}}$. Khi đó ta có bất đẳng thức sau: ${{H}_{k+1}}\le {{H}_{k}},\forall k=1,2,...,n-1\,\,\, (2.4)$ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=...=\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}$ Chứng minh: $${{\left( \sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\left| {{a}_{i}} \right|}^{p}}} \right)}_{j}}^{1/p}{{\left( \sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\left| {{b}_{i}} \right|}^{q}}} \right)}_{j}}^{1/q}=$$ $$=\frac{1}{k}{{\left( {{\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{a}_{i}} \right|}^{p}}} \right)}_{1}}+...+{{\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{a}_{i}} \right|}^{p}}} \right)}_{C_{k+1}^{k}}} \right)}_{j}}^{1/p}{{\left( {{\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{b}_{i}} \right|}^{q}}} \right)}_{1}}+...+{{\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{b}_{i}} \right|}^{q}}} \right)}_{C_{k+1}^{k}}} \right)}_{j}}^{1/q}$$ \[ = \frac{1}{k}{\left( {\left( {{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^{C_{k + 1}^k} {{{\left| {{a_i}} \right|}^p}} } \right)}^{1/p}}} \right)_1^p + ... + \left( {{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^{C_{k + 1}^k} {{{\left| {{a_i}} \right|}^p}} } \right)}^{1/p}}} \right)_{C_{k + 1}^k}^p} \right)_j}^{1/p}\] \[{\left( {\left( {{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^{C_{k + 1}^k} {{{\left| {{b_i}} \right|}^q}} } \right)}^{1/p}}} \right)_1^p + ... + \left( {{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^{C_{k + 1}^k} {{{\left| {{b_i}} \right|}^q}} } \right)}^{1/p}}} \right)_{C_{k + 1}^k}^p} \right)_j}^{1/q}(2.4a)\] Áp dụng bất đẳng thức Holder $(1.4)$ $$VP(2.4)\le \frac{1}{k}{{\left\{ {{\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{a}_{i}} \right|}^{p}}} \right)}_{1}}^{1/p}{{\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{b}_{i}} \right|}^{q}}} \right)}_{1}}^{1/p}+...+\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{a}_{i}} \right|}^{p}}} \right)_{C_{k+1}^{k}}^{k}\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{b}_{i}} \right|}^{q}}} \right)_{C_{k+1}^{k}}^{k} \right\}}_{j}}$$ Do vậy: $$\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{{{\left( \sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\left| {{a}_{i}} \right|}^{p}}} \right)}_{j}}^{1/p}{{\left( \sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\left| {{b}_{i}} \right|}^{q}}} \right)}_{j}}^{1/q}\le }$$ $$\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{\frac{1}{k}{{\left\{ {{\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{a}_{i}} \right|}^{p}}} \right)}_{1}}^{1/p}{{\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{b}_{i}} \right|}^{q}}} \right)}_{1}}^{1/p}+...+\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{a}_{i}} \right|}^{p}}} \right)_{C_{k+1}^{k}}^{k}\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{b}_{i}} \right|}^{q}}} \right)_{C_{k+1}^{k}}^{k} \right\}}_{j}}}\,\,\,\,(2.4b)$$ Áp dụng khai triển $(1.1a)$ ta có: $${VP(2.4b)=\frac{C_{n}^{k+1}C_{k+1}^{k}}{kC_{n}^{k}}.\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{{{\left\{ {{\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{a}_{i}} \right|}^{p}}} \right)}_{1}}^{1/p}{{\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{b}_{i}} \right|}^{q}}} \right)}_{1}}^{1/p}+...+\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{a}_{i}} \right|}^{p}}} \right)_{C_{k+1}^{k}}^{k}\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{b}_{i}} \right|}^{q}}} \right)_{C_{k+1}^{k}}^{k} \right\}}_{j}}}}$$ Do đó ta có: ${{H}_{k+1}}\le {{H}_{k}}$ Dấu "=" xảy ra $\frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=...=\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}$. Suy ra điều phải chứng minh.
