BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN Khi xét bất đẳng thức trên tập số nguyên chúng ta cần lưu ý hai nhận xét sau: 1) Số chiều $n$ của bất đẳng thức có liên quan đến các biến số nguyên 2) Dấu đẳng thức xảy ra tại các điểm nguyên I. Bất đẳng thức Cauchy trên tập số nguyên Xét bất đẳng thức $x_{i}>0 (i=\overline{1,n})$ $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{1}\geq \left ( \prod_{i=1}^{n} \right)^{\frac{1}{n}}$ Chọn $n=a+b+c;a,b,c\in \mathbb{N}^{*}$ $x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=a$ $x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=b$ $x_{a+b+1}=x_{a+b+2}=...=x_{a+b+c}=c$ Ta thu được: Ví dụ 1. Với $a,b,c$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}\geq (a^{a}.b^{b}.c^{c})^{\frac{1}{a+b+c}}$ Chọn $n=a+b+c;a,b,c\in \mathbb{N}^{*}$ $x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=b$ $x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=c$ $x_{a+b+1}=x_{a+b+2}=...=x_{a+b+c}=a$ Ta thu được: Ví dụ 2. Với $a,b,c$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: $\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}\geq b^{\frac{a}{a+b+c}}.c^{\frac{b}{a+b+c}}.a^{\frac{c}{a+b+c}}$ ~O)Xét bất đẳng thức: $x_{i}>0 (i=\overline{1,n})$ $\prod_{i=1}^{n}(1+x_{1})\geq \left ( 1+( \prod_{i=1}^{n}x_{i})^{\frac{1}{n}} \right )^{n}$Chọn $n=a+b;a,b\in \mathbb{N}^{*}$ $x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=b$ $x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=b$ Ta thu được: Ví dụ 3. Với $a,b,c$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: $(1+a)^{\frac{a}{a+b}}.(1+b)^{\frac{b}{a+b}}\geq 1+a^{\frac{a}{a+b}}.b^{\frac{b}{a+b}}$ Chọn $n=a+b;a,b\in \mathbb{N}^{*}$ $x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=b$ $x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=a$ Ta thu được: Ví dụ 4. Với $a,b,c$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: $(1+a)^{\frac{a}{a+b}}.(1+b)^{\frac{b}{a+b}}\geq 1+a^{\frac{b}{a+b}}.b^{\frac{a}{a+b}}$ ~O)Xét bất đẳng thức: $x_{i}>1(i=\overline{1,n})$ $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+x_{i}}\geq \frac{n}{1+\left ( \prod_{i=1}^{n} \right )}^{\frac{1}{n}}$ Chọn $n=a+b+c;a,b,c\in \mathbb{N}^{*}$ $x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=a$ $x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=b$ $x_{a+b+1}=x_{a+b+2}=...=x_{a+b+c}=c$ Ta thu được: Ví dụ 5. Với $a,b,c$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: $\left ( 1+a^{\frac{a}{a+b+c}}.b^{\frac{a}{a+b+c}}.c^{\frac{a}{a+b+c}} \right )\left ( \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c} \right )\geq a+b+c$ Chọn $n=a+b;a,b\in \mathbb{N}^{*}$ $x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=b$ $x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=a$ Ta thu được: Ví dụ 6. Với $a,b,c$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: $\left ( 1+a^{\frac{b}{a+b}}.b^{\frac{a}{a+b}} \right )\left ( \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b} \right )\geq a+b$ Xét bất đẳng thức: $x_{i}>0(i=\overline{1,n})$ $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{k}\geq \left ( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i} \right )^{k}$ Chọn $n=a+b+c;a,b,c\in \mathbb{N}^{*},k=3$ $x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=a$ $x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=b$ $x_{a+b+1}=x_{a+b+2}=...=x_{a+b+c}=c$ Ta thu được: Ví dụ 7. Với $a,b,c$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: $(a+b+c)^{2}(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$ Chọn $n=a+b+c;a,b,c\in \mathbb{N}^{*},k=3$ $x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=a$ $x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=b$ $x_{a+b+1}=x_{a+b+2}=...=x_{a+b+c}=c$ Ta thu được: Ví dụ 8. Với $a,b,c$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: $(a+b+c)^{2}(ab^{3}+bc^{3}+ca^{3})\geq (ab+bc+ca)^{3}$ ~O) Xét bất đẳng thức: $\sum_{i=1}^{n}(1+x_{i=1}^{2})^{\frac{1}{2}}\geq \left ( n^{2}+(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2} \right )^{\frac{1}{2}}$ Chọn $n=a+b+c;a,b,c\in \mathbb{N}^{*}$ $x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=b$ $x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=c$ $x_{a+b+1}=x_{a+b+2}=...=x_{a+b+c}=a$ Ta thu được: Ví dụ 9. Với $a,b,c$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: $a\sqrt{1+a^{2}}+b\sqrt{1+b^{2}}+c\sqrt{1+c^{2}}\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}$ Chọn $n=a+b;a,b\in \mathbb{N}^{*}$ $x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=b$ $x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=a$ Ta thu được: Ví dụ 10. Với $a,b$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: $a\sqrt{1+b^{2}}+b\sqrt{1+a^{2}}\geq \sqrt{(a+b)^{2}+4a^{2}b^{2}}$ ~O)Xét bất đẳng thức: $x_{i}>0$ $\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{1+x_{i}}\leq \frac{n\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n+\sum_{i=1}^{n}x_{i}}$ Chọn $n=a+b+c;a,b,c\in \mathbb{N}^{*}$ $x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=a$ $x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=b$ $x_{a+b+1}=x_{a+b+2}=...=x_{a+b+c}=c$ Ta thu được Ví dụ 11. Với $a,b$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^{2}}{1+a}\leq \frac{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)+(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$ Chọn $n=a+b;a,b\in \mathbb{N}^{*}$ $x_{1}=x_{2}=...=x_{a}=b$ $x_{a+1}=x_{a+2}=...=x_{a+b}=a$ Ta thu được Ví dụ 12. Với $a,b$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: $ab\left ( \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b} \right )\leq \frac{2ab(a+b)}{a+b+2ab}$ II. Bất đẳng thức tổ hợp cơ bản Trước hết ta xét bài tập cơ bản sau: Ví dụ 13. Với $a,b\in \mathbb{N}^{*}$, $a+b=n$ cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=a!b!$ GiảiTa chứng minh Nếu $a+b=n,a-b\geq 2$ thì $a!b!$ không đạt giá trị nhỏ nhất Thật vậy, ta xây dựng: $a_{1}=a-1,b_{1}=b+1\Rightarrow a_{1}+b_{1}=n$ Ta chứng minh: $a!b!>a_{1}!b_{1}!=(a-1)!(b+1)!$ $\Leftrightarrow a>b+1$ (Hiển nhiên đúng vì $a\geq b+2>b+1$)Vậy giá trị nhỏ nhất của $a!b!$ chỉ đạt được khi $a-b$ nhân một trong hai giá trị $0$ và $1$. Nếu $n=2k$. Suy ra: $a=b=k$ và $P_{min}=(k!)^{2}$ Nếu $n=2k+1$. Suy ra: $a=k+1,b=k$ và $P_{min}=k!(k+1)!$ Dễ dàng chứng mở rộng cho trường hợp nhiều biến: Ví dụ 14. Với $x_{i}\in \mathbb{N}^{*}(i=\overline{1,m})$, $\sum_{i=1}^{m}x_{i}=n$ cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P=\prod_{i=1}^{m}(x_{i}!)$ GiảiTa chứng minh Nếu $\sum_{i=1}^{m}x_{i}=n$ và tồn tại $x_{p}-x_{q}\geq 2$ thì $\prod_{i=1}^{m}(x_{i}!)$ không đạt giá trị nhỏ nhất Thật vậy, ta xây dựng $y_{i}=x_{i}(i\neq p,i\neq q)$ $y_{p}=x_{p}-1,y_{q}=x_{q}-1$Khi đó: $\sum_{i=1}^{m}y_{i}=n$ (thỏa mãn điều kiện của bài toán), và: $\prod_{i=1}^{m}(x_{i}!)> \prod_{i=1}^{m}(y_{i}!)$ $\Leftrightarrow x_{p}!x_{q}!>y_{p}!y_{q}!=(x_{p}-1)!(x_{q}+1)!$ $\Leftrightarrow x_{p}>x_{q}+1$ (Hiển nhiên đúng vì $x_{p}\geq x_{q}+2>x_{q}+1$)Vậy giá trị nhỏ nhất của $\prod_{i=1}^{m}(x_{i}!)$ chỉ đạt được khi $x_{p}-x_{q}$ nhận một trong hai giá trị $0$ và $1$, $p,q$ bất kì Nếu $n=km$, suy ra $x_{1}=x_{2}=...=x_{m}=k$ $P_{min}=(k!)^{m}$Nếu $n=km+l$ ($1\leq l\leq m-1$ Suy ra $x_{1}=x_{2}=...=x_{l}=k+1$ $x_{l+1}=x_{l+2}=...=x_{l+n}=k$Và $P_{min}=((k+1)!)^{l}.(k!)^{n-l}$ Với cách giải tương tự ta có thể giải dễ dàng các bài toán sau: Ví dụ 15. Với $a,b$ là các số tự nhiên dương thỏa mãn $a+b=n$ cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=a!+b!$ $Q=(a!)^{2}+(b!)^{2}$ $T=\sqrt{a!}+\sqrt{b!}$ GiảiGiả sử $a+b=n,a-b\geq 2$ Khi đó ta chứng minh các biểu thức trên không đạt giá trị nhỏ nhất Thật vậy Đặt $a_{1}=a-1,b_{1}=b+1$ ta có $a_{1}+b_{1}=n$ và chứng minh 1) $a!+b!>a_{1}!+b_{1}!=(a-1)!+(b+1)!$ $\Leftrightarrow (a-1)!(a-1)!>b!b!$ (Đúng) 2) $(a!)^{2}+(b!)^{2}>(a_{1}!)^{2}+(b_{1}!)^{2}=((a-1)!)^{2}+((b+1)!^{2}$ $\Leftrightarrow ((a-1)!)^{2}(a^{2}-1)>(b!)^{2}((b+1)^{2}-1)$ (Hiển nhiên đúng) 3) $\sqrt{a!}+\sqrt{b}!>\sqrt{a_{1}!}+\sqrt{b_{1}}=\sqrt{(a-1)!}+\sqrt{(b+1)!}$ $\Leftrightarrow \sqrt{(a-1)!}(\sqrt{a}-1)>\sqrt{b!}(\sqrt{b+1}-1)$ (Hiển nhiên đúng) III. Bài tập đề nghị: 1. Với $a,b$ là các số tự nhiên dương thỏa mãn $a+2b=n$ cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1) $P=(a!)(b!)^{2}$ 2) $Q=(a!)^{2}+2(b!)^{2}$ 3) $T=\sqrt{a!}+2\sqrt{b!}$ 2. Với $0<k<500$, tìm giá trị nhỏ nhất của 1) $P=(k!)^{2}.(1000-2k)!$ 2) $Q=2(k!)^{2}((1000-2k)!)^{2}$ 3) $T=2\sqrt{k!}+\sqrt{(1000-2k)!}$ 3. Với $a,b$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: $a\sqrt{a}+b\sqrt{b}\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2})(a+b)}$ 4. Với $a,b,c$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng $a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\leq \sqrt{(ab+bc+ca)(a+b+c)}$ 5. Với $a,b,c$ là những số tự nhiên dương, chứng minh rằng $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}$
