1. Phép cộng hai số phức cho hai số phức z = a + bi và z' = a' + b'i z + z' = (a + a') + (b + b')i Tính chất: - Kết hơp: (z + z') + z'' = z + (z' + z'') - Giao hoán: z + z' = z' + z - Số đối của z = a + bi là số -z = -a -bi 2. Phép trừ hai số phức cho hai số phức z = a + bi và z' = a' + b'i z - z' = (a - a') + (b - b')i 3. Phép nhân hai số phức Cho z = a + bi và z' = a' + b'i, lấy tích của hai số và chú ý i2 = -1 ta có: z . z' = (a + bi)(a' + b'i) = aa' + ab'i + a'bi + bb'i2 = aa' + ab'i + a'bi + bb'(-1) = aa' - bb' + (ab' + a'b)i Tính chất: - với k là số thực thì k.z = ka + kbi - Giao hoán: z.z' = z'.z - Kết hợp: (z.z').z'' = z.(z'.z'') - Phân phối của phép nhân đối với phép cộng z.(z' + z'') = z.z' + z.z'' 4. Phép chia cho số phức khác 0 - Mô đun (kí hiệu là |z|) của số phức z = a + bi là một số thực \(\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}\) - Số phức liên hợp (kí hiệu là \(\overline{z}\)) của số phức z = a + bi là số phức \(\overline{z}=a-bi\) - Nghịch đảo (kí hiệu z-1) của số phức z là số phức sao cho tích với z thì bằng 1. Ta dễ nhận thấy: \(z^{-1}=\frac{1}{\left|z\right|^2}\overline{z}=\frac{1}{a^2+b^2}\left(a-bi\right)\) Vì \(\frac{1}{a^2+b^2}\left(a-bi\right)\left(a+bi\right)=\frac{a^2-b^2i^2}{a^2+b^2}=1\) - Chia số phức z' = a' + b'i cho số phức z = a + bi là lấy z' nhân với z-1 \(\frac{z'}{z}=z'.z^{-1}=\left(a'+b'i\right)\frac{1}{a^2+b^2}\left(a-bi\right)=\frac{a'a+bb'}{a^2+b^2}+\frac{ab'-a'b}{a^2+b^2}i\) 5. Mô đun của tích, thương hai số phức - Mô đun của một tích bằng tích hai mô đun: \(\left|z_1.z_2\right|=\left|z_1\right|.\left|z_2\right|\) - Mô đun của một thương bằng thương hai mô đun: \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}\) Chứng minh: Giả sử \(z_1=a+bi;z_2=x+yi\) - Tích \(z_1.z_2=\left(ax-by\right)+\left(bx+ay\right)i\) \(\left|z_1.z_2\right|=\sqrt{\left(ax-by\right)^2+\left(bx+ay\right)^2}\) \(=\sqrt{a^2x^2+b^2y^2+b^2x^2+a^2y^2}=\sqrt{a^2\left(x^2+y^2\right)+b^2\left(x^2+y^2\right)}\) \(=\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\) \(=\left|z_1\right|.\left|z_2\right|\) - Thương \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{x+yi}=\frac{\left(a+bi\right)\left(x-yi\right)}{\left(x+yi\right)\left(x-yi\right)}=\frac{ax+by}{x^2+y^2}+\frac{\left(bx-ay\right)}{x^2+y^2}i\) => \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\sqrt{\frac{\left(ax+by\right)^2+\left(bx-ay\right)^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}}=\sqrt{\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}}\) \(=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{x^2+y^2}}=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}\)
Cho số phức \(z=-3+2i\), tìm số \(z'\) sao cho \(z+z'=0\). \(z'=-3-2i\) \(z'=3+2i\) \(z'=3-2i\) \(z'=-2i\) Hướng dẫn giải: \(z+z'=0\) \(\Rightarrow z'=0-z=0-\left(-3+2i\right)=3-2i\)
Kết quả phép nhân \(\left(a+bi\right)i\) bằng: \(a-bi\) \(a+bi\) \(-a-bi\) \(-b+ai\) Hướng dẫn giải: \(\left(a+bi\right)i=ai+bi^2=ai-b=-b+ai\) (do \(i^2=-1\))
Cho số phức \(z=a+bi\) (với \(a,b\in\mathbb{R}\) và \(a,b\) không đồng thời bằng 0, tìm số phức \(z'\) sao cho \(z.z'=1\)? \(z'=a-bi\) \(z'=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}i\) \(z'=\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{b}{a^2+b^2}i\) \(z'=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\) Hướng dẫn giải: Gọi số phức \(z'=x+yi;x,y\in\mathbb{R}\) sao cho \(z.z'=1\). Ta có: \(\left(a+bi\right)\left(x+yi\right)=1\) \(\Leftrightarrow ax-by+\left(bx+ay\right)i=0\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}ax-by=1\\bx+ay=0\end{cases}\) Vì a, b không đồng thời bằng 0 nên xét hai trường hợp: - Nếu a khác 0, từ phương trình thứ hai của hệ suy ra \(y=-\frac{b}{a}x\) rồi thay vào phương trình thứ nhất ta tìm được x như sau: \(x=\frac{a}{a^2+b^2}\) Suy ra \(y=-\frac{b}{a}x=-\frac{b}{a}\left(\frac{a}{a^2+b^2}\right)=-\frac{b}{a^2+b^2}\) - Nếu b khác 0, làm tương tự, rút x từ phương trình dưới \(x=-\frac{a}{b}y\) rồi thay vào phương trình thứ nhất ta tìm được y như sau: \(y=\frac{-b}{a^2+b^2}\) Suy ra \(x=-\frac{a}{b}y==-\frac{a}{b}\left(\frac{-b}{a^2+b^2}\right)=\frac{a}{a^2+b^2}\) Như vậy trong cả hai trường hợp, ta tìm được x, y như sau: \(\begin{cases}x=\frac{a}{a^2+b^2}\\y=-\frac{b}{a^2+b^2}\end{cases}\) Vậy số phức z' cần tìm là: \(z'=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\)
Chọn câu đúng : \(i^n=0,\forall n.\) \(i^{4k}=1,\forall k\in\mathbb{N}^{\circledast}\) \(i^{2k}=1,\forall k\in\mathbb{N}\) \(i^{2k}=-1,\forall k\in\mathbb{N}\) Hướng dẫn giải: Ta có: \(i^2=-1\) => \(i^4=\left(i^2\right)^2=\left(-1\right)^2=1\) => \(i^{4k}=1,\forall k\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
Cho số phức z thoả mãn (1 + i)z = 3 - i. Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M, N, P, Q ở hình sau? Điểm P Điểm Q Điểm M Điểm N Hướng dẫn giải: (1 + i)z = 3 - i \(\Rightarrow z=\frac{3-i}{1+i}=\frac{\left(3-i\right)\left(1-i\right)}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)}=\frac{3-4i+i^2}{1-i^2}=\frac{3-4i-1}{1-\left(-1\right)}=1-2i\) Điểm biểu diễn là \(\left(1;-2\right)\) => Điểm Q
Cho hai số phức \(z_1=1+i\) và \(z_2=2-3i\) . Tính mô đun của số phức \(z_1+z_2\) . \(\left|z_1+z_2\right|=\sqrt{13}\) \(\left|z_1+z_2\right|=\sqrt{5}\) \(\left|z_1+z_2\right|=1\) \(\left|z_1+z_2\right|=5\) Hướng dẫn giải: \(z_1+z_2=1+i+2-3i=3-2i\) => \(\left|z_1+z_2\right|=\sqrt{3^2+\left(-2\right)^2}=\sqrt{13}\)
Môđun của số phức \(-3iz\) bằng -3 \(3.\left|z\right|\) \(\sqrt{3}.\left|z\right|\) \(-3.\left|z\right|\) Hướng dẫn giải: Giả sử \(z=a+bi\), khi đó \(-3iz=-3i\left(a+bi\right)=-3ai-3bi^2=3b-3ai\) (vì \(i^2=-1\)). => \(\left|-3iz\right|=\sqrt{\left(3b\right)^2+\left(-3a\right)^2}=3\sqrt{b^2+a^2}=3\left|z\right|\)
Tính: \(\left(\sqrt{3}+i\right)^2+\left(\sqrt{3}-i\right)^2\) 4 2i 6 \(4+2\sqrt{3}i\) Hướng dẫn giải: \(\left(\sqrt{3}+i\right)^2+\left(\sqrt{3}-i\right)^2=3+2\sqrt{3}i+i^2+3-2\sqrt{3}i+i^2\) \(=6+2i^2=6-2=4\) (chú ý \(i^2=-1\))
Xác định phần thực và phần ảo trong số phức sau: \(\left(1+i\right)^3-\left(1-i\right)^3\) Phần thực là: 0, phần ảo là 4. Phần thực là: 4, phần ảo là 0. Phần thực là: 4, phần ảo là 4. Phần thực là: 2, phần ảo là -2. Hướng dẫn giải: \(\left(1+i\right)^3-\left(1-i\right)^3=\left(1+3i+3i^2+i^3\right)-\left(1-3i+3i^2-i^3\right)\) \(=6i+2i^3=6i+2i.\left(i^2\right)=6i-2i=4i\)