Luyện tập cộng trừ nhân chia Số phức

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    1. Phép cộng hai số phức

    cho hai số phức z = a + bi và z' = a' + b'i
    z + z' = (a + a') + (b + b')i
    Tính chất:
    - Kết hơp: (z + z') + z'' = z + (z' + z'')
    - Giao hoán: z + z' = z' + z
    - Số đối của z = a + bi là số -z = -a -bi

    2. Phép trừ hai số phức


    cho hai số phức z = a + bi và z' = a' + b'i
    z - z' = (a - a') + (b - b')i

    3. Phép nhân hai số phức


    Cho z = a + bi và z' = a' + b'i, lấy tích của hai số và chú ý i2 = -1 ta có:
    z . z' = (a + bi)(a' + b'i) = aa' + ab'i + a'bi + bb'i2 = aa' + ab'i + a'bi + bb'(-1) = aa' - bb' + (ab' + a'b)i
    Tính chất:
    - với k là số thực thì k.z = ka + kbi
    - Giao hoán: z.z' = z'.z
    - Kết hợp: (z.z').z'' = z.(z'.z'')
    - Phân phối của phép nhân đối với phép cộng
    z.(z' + z'') = z.z' + z.z''

    4. Phép chia cho số phức khác 0


    - Mô đun (kí hiệu là |z|) của số phức z = a + bi là một số thực \(\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)
    - Số phức liên hợp (kí hiệu là \(\overline{z}\)) của số phức z = a + bi là số phức \(\overline{z}=a-bi\)
    - Nghịch đảo (kí hiệu z-1) của số phức z là số phức sao cho tích với z thì bằng 1. Ta dễ nhận thấy:
    \(z^{-1}=\frac{1}{\left|z\right|^2}\overline{z}=\frac{1}{a^2+b^2}\left(a-bi\right)\)
    Vì \(\frac{1}{a^2+b^2}\left(a-bi\right)\left(a+bi\right)=\frac{a^2-b^2i^2}{a^2+b^2}=1\)
    - Chia số phức z' = a' + b'i cho số phức z = a + bi là lấy z' nhân với z-1
    \(\frac{z'}{z}=z'.z^{-1}=\left(a'+b'i\right)\frac{1}{a^2+b^2}\left(a-bi\right)=\frac{a'a+bb'}{a^2+b^2}+\frac{ab'-a'b}{a^2+b^2}i\)

    5. Mô đun của tích, thương hai số phức


    - Mô đun của một tích bằng tích hai mô đun: \(\left|z_1.z_2\right|=\left|z_1\right|.\left|z_2\right|\)
    - Mô đun của một thương bằng thương hai mô đun: \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}\)
    Chứng minh:
    Giả sử \(z_1=a+bi;z_2=x+yi\)
    - Tích \(z_1.z_2=\left(ax-by\right)+\left(bx+ay\right)i\)
    \(\left|z_1.z_2\right|=\sqrt{\left(ax-by\right)^2+\left(bx+ay\right)^2}\)
    \(=\sqrt{a^2x^2+b^2y^2+b^2x^2+a^2y^2}=\sqrt{a^2\left(x^2+y^2\right)+b^2\left(x^2+y^2\right)}\)
    \(=\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\)
    \(=\left|z_1\right|.\left|z_2\right|\)
    - Thương \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{x+yi}=\frac{\left(a+bi\right)\left(x-yi\right)}{\left(x+yi\right)\left(x-yi\right)}=\frac{ax+by}{x^2+y^2}+\frac{\left(bx-ay\right)}{x^2+y^2}i\)
    => \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\sqrt{\frac{\left(ax+by\right)^2+\left(bx-ay\right)^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}}=\sqrt{\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}}\)
    \(=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{x^2+y^2}}=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}\)
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho số phức \(z=a+bi\) (với \(a,b\in\mathbb{R}\) và \(a,b\) không đồng thời bằng 0, tìm số phức \(z'\) sao cho \(z.z'=1\)?
    • \(z'=a-bi\)
    • \(z'=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}i\)
    • \(z'=\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{b}{a^2+b^2}i\)
    • \(z'=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\)
    Hướng dẫn giải:

    Gọi số phức \(z'=x+yi;x,y\in\mathbb{R}\) sao cho \(z.z'=1\).
    Ta có: \(\left(a+bi\right)\left(x+yi\right)=1\)
    \(\Leftrightarrow ax-by+\left(bx+ay\right)i=0\)
    \(\Leftrightarrow\begin{cases}ax-by=1\\bx+ay=0\end{cases}\)
    Vì a, b không đồng thời bằng 0 nên xét hai trường hợp:
    - Nếu a khác 0, từ phương trình thứ hai của hệ suy ra \(y=-\frac{b}{a}x\) rồi thay vào phương trình thứ nhất ta tìm được x như sau:
    \(x=\frac{a}{a^2+b^2}\)
    Suy ra \(y=-\frac{b}{a}x=-\frac{b}{a}\left(\frac{a}{a^2+b^2}\right)=-\frac{b}{a^2+b^2}\)
    - Nếu b khác 0, làm tương tự, rút x từ phương trình dưới \(x=-\frac{a}{b}y\) rồi thay vào phương trình thứ nhất ta tìm được y như sau:
    \(y=\frac{-b}{a^2+b^2}\)
    Suy ra \(x=-\frac{a}{b}y==-\frac{a}{b}\left(\frac{-b}{a^2+b^2}\right)=\frac{a}{a^2+b^2}\)
    Như vậy trong cả hai trường hợp, ta tìm được x, y như sau:
    \(\begin{cases}x=\frac{a}{a^2+b^2}\\y=-\frac{b}{a^2+b^2}\end{cases}\)
    Vậy số phức z' cần tìm là:
    \(z'=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\)
     
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  7. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  8. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  9. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  10. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪