Lý thuyết chung về số phức

LTTK CTV · 4/1/19

LÝ THUYẾT CHUNG VỀ SỐ PHỨC
1. Khái niệm số phức
· Tập hợp số phức: $\displaystyle \mathbb{C}$
· Số phức (dạng đại số) : $\displaystyle z = a + bi$
($\displaystyle a,b \in \mathbb{R}$, $\displaystyle a$ là phần thực, $\displaystyle b$ là phần ảo, $\displaystyle i$ là đơn vị ảo, $\displaystyle {i^2} = - 1$)
· $\displaystyle z$ là số thực $\displaystyle \Leftrightarrow $ phần ảo của $\displaystyle z$ bằng 0 ($\displaystyle b\; = \;0$)
$\displaystyle z$ là thuần ảo $\displaystyle \Leftrightarrow $ phần thực của $\displaystyle z$ bằng 0 ($\displaystyle a = 0$ )
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
· Hai số phức bằng nhau: \[a + bi = a' + b'i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\quad (a,b,a',b' \in \mathbb{R})\]
Chú ý: $\displaystyle {i^{4k}} = 1;\,\,\,{i^{4k + 1}} = i;\,\,\,\,{i^{4k + 2}} = - 1;\,\,\,\,{i^{4k + 3}} = - i$
$(1+i)^2=2i\Rightarrow (1+i)^n=...$; $(1-i)^2=-2i\Rightarrow (1-i)^n=...$.

2. Biểu diễn hình học:
Số phức $\displaystyle z = a + bi$ ($\displaystyle a,b \in \mathbb{R}$) được biểu diễn bởi điểm $\displaystyle M(a;b)$ hay bởi $\displaystyle \vec u = (a;\;b)$ trong mp($\displaystyle Oxy$) (mp phức)

3. Cộng và trừ số phức:
· $\displaystyle \left( {a + bi} \right) + \left( {a' + b'i} \right) = \left( {a + a'} \right) + \left( {b + b'} \right)i$
· $\displaystyle \left( {a + bi} \right) - \left( {a' + b'i} \right) = \left( {a - a'} \right) + \left( {b - b'} \right)i$
· Số đối của $\displaystyle z = a + bi$ là $\displaystyle - z = - a - bi$
· $\displaystyle \vec u$ biểu diễn $\displaystyle z$, $\displaystyle \vec u'$ biểu diễn $\displaystyle z'$ thì $\displaystyle \vec u + \vec u'$ biểu diễn $\displaystyle z + z'$ và $\displaystyle \vec u - \vec u'$ biểu diễn $\displaystyle z - z'$.

4. Nhân hai số phức:
· $\displaystyle \left( {a + bi} \right)\left( {a' + b'i} \right) = \;\left( {aa'-bb'} \right) + \left( {ab'{{ }} + {{ }}ba'} \right)i$
· $\displaystyle k(a + bi) = ka + kbi\,\,(k \in \mathbb{R})$

5. Số phức liên hợp của số phức $\displaystyle z = a + bi$ là $\displaystyle \bar z = a - bi$
· $\displaystyle \bar{\bar z} = z\;$; $ \overline{z \pm z'} = \bar z \pm \bar {z'}$; $\overline {z.z'} = \bar z .\bar {z'}$; $\displaystyle \overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)} = \dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$; $\displaystyle z.\bar z = {a^2} + {b^2}$
· $\displaystyle z$ là số thực $\displaystyle \Leftrightarrow $$\displaystyle z = \bar z$ ; $\displaystyle z$ là số ảo $\displaystyle \Leftrightarrow $$\displaystyle z = - \bar z$

6. Môđun của số phức : $\displaystyle z = a + bi$
· $\displaystyle \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {z\bar z} = \left| {\overrightarrow {OM} } \right|$
· $\displaystyle \left| z \right| \ge 0,\;\forall z \in\mathbb C\;, \; \left| z \right| = 0 \Leftrightarrow z = 0$
· $\displaystyle \left| {z.z'} \right| = \left| z \right|.\left| {z'} \right|$
· $\displaystyle \left| {\frac{z}{{z'}}} \right| = \frac{{\left| z \right|}}{{\left| {z'} \right|}}$
· $\displaystyle \left| {\left| z \right| - \left| {z'} \right|} \right| \le \left| {z \pm z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|$

7. Chia hai số phức:
· Chia hai số phức: $\displaystyle \frac{{{{a + bi}}}}{{{{a' + b'i}}}} = \frac{{{{aa' - bb'}}}}{{a{'^2} + b{'^2}}} + \frac{{ab' + a'b}}{{a{'^2} + b{'^2}}}i$.
.$\displaystyle {z^{ - 1}} = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\bar z$ (z ¹ 0)
· $\displaystyle \frac{{z'}}{z} = z'{z^{ - 1}} = \frac{{z'.\bar z}}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{z'.\bar z}}{{z.\bar z}}$
· $\displaystyle \frac{{z'}}{z} = w \Leftrightarrow z' = wz$

8. Căn bậc hai của số phức:
· $\displaystyle z = x + yi$ là căn bậc hai của số phức $\displaystyle w = a + bi$$\displaystyle \Leftrightarrow {z^2} = w$$\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}{x^2} - {y^2} = a\\2xy = b\end{array} \right.$
· $\displaystyle w = 0$ có đúng 1 căn bậc hai là $\displaystyle z = 0$
· $\displaystyle w$$ \ne 0$ có đúng hai căn bậc hai đối nhau
· Hai căn bậc hai của $\displaystyle a > 0$ là $\displaystyle \pm \sqrt a $
· Hai căn bậc hai của $\displaystyle a < 0$ là $\displaystyle \pm \sqrt { - a} .i$

9. Phương trình bậc hai $\displaystyle A{x^2} + Bx + C = 0$(A, B, C là các số phức cho trước, A $\displaystyle \ne 0$).
\[\Delta = {B^2} - 4AC\]
· $\displaystyle \Delta \ne 0$: (*) có hai nghiệm phân biệt $\displaystyle {z_{1,2}} = \frac{{ - B \pm \delta }}{{2A}}$, ($\displaystyle \delta $ là 1 căn bậc hai của $\displaystyle \Delta $ ).
· $\displaystyle \Delta = 0$: (*) có 1 nghiệm kép: $\displaystyle {z_1} = {z_2} = - \frac{B}{{2A}}$
Chú ý:
+ Nếu $\displaystyle {z_0}$ là một nghiệm của (*) thì $\displaystyle {\bar z_0}$ cũng là một nghiệm của (*).
+ Có $|z_1|^2=|z_2|^2=\dfrac{c}{a}$

10. Dạng lượng giác của số phức (dành cho chương trình nâng cao)
a) Acgumen của số phức $\displaystyle z \ne 0$:
Cho số phức $\displaystyle z \ne 0$. Gọi M là điểm biểu diễn số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z. Nếu $\displaystyle \varphi $ là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng $\displaystyle \varphi + k2\pi \;(k \in \mathbb{Z})$.
b) Dạng lượng giác của số phức :
Dạng $\displaystyle z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\;(r > 0)$là dạng lượng giác của $\displaystyle z=a+bi\;\left( {a,\;b\in \mathbb{R}} \right)\;\left( {z\; \ne \;0} \right)$
$\Leftrightarrow \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\c{{os}}\varphi = \frac{a}{r}\\\sin \varphi = \frac{b}{r}\end{array} \right.$ ($\displaystyle \varphi $là acgumen của $\displaystyle z$,$\displaystyle \varphi = (Ox,OM)$

c) Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác :
Nếu $\displaystyle z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$, $\displaystyle z' = r'\left( {\cos \varphi ' + i\sin \varphi '} \right)$thì:
\[z.z' = r.r'\left[ {\cos \left( {\varphi + \varphi '} \right) + i\sin \left( {\varphi + \varphi '} \right)} \right]\]
\[\frac{{z}}{{{z'}}} = \frac{r}{{r'}}\left[ {c{{os}}(\varphi - \varphi ') + {{i}}\sin (\varphi - \varphi ')} \right]\].
d) Công thức Moa-vrơ :
Với $\displaystyle n$ là số nguyên, $\displaystyle n \ge 1$: $\displaystyle {\left[ {r(c{{os}}\varphi + {{i}}\sin \varphi )} \right]^n} = {r^n}(\cos n\varphi + {{i}}\sin n\varphi )$
Khi $\displaystyle r = 1$, ta được : $\displaystyle {(c{{os}}\varphi + {{i}}\sin \varphi )^n} = (\cos n\varphi + {{i}}\sin n\varphi )$
e) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :
Các căn bậc hai của số phức $\displaystyle z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$ là : $\displaystyle \sqrt r \left( {c{{os}}\frac{\varphi }{2} + {{i}}\sin \frac{\varphi }{2}} \right)$ và $\displaystyle - \sqrt r \left( {c{{os}}\frac{\varphi }{2} + {{i}}\sin \frac{\varphi }{2}} \right) = \sqrt r \left[ {c{{os}}\left( {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right) + {{i}}\sin \left( {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right)} \right]$.

Lý thuyết chung về số phức

Xem các chủ đề cùng chuyên mục