Nguyên hàm - Tích phân từng phần

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN​

Ta biết \(\displaystyle (u.v)' = uv' + u'v\), do đó \(\displaystyle \boxed{uv = \int {uv' + \int {u'v \Rightarrow \int {uv' = uv - \int {u'v} } } }} \)
Vậy, khi ta cần tính một nguyên hàm (tích phân) dạng tích mà không phải dạng hàm hợp \(\displaystyle \int {f(x).g(x)dx} \) thì ta nghĩ đến phương pháp từng phần nhằm đưa nguyên hàm (tích phân) cần tính thành nguyên hàm (tích phân) khác dễ hơn, bằng cách:
- Coi \(\displaystyle f(x) = u \Rightarrow u' = f'(x)\): Lúc này \(\displaystyle u'\) phải đơn giản hơn hàm \(\displaystyle f(x)\) ban đầu.
- Coi \(\displaystyle g(x) = v' \Rightarrow v = \int {g(x)dx} = G(x)\)
- Vậy \(\displaystyle \int {f(x).g(x)dx} = f(x).G(x) - \int {G(x)f'(x)dx} \)
Như vậy, quy tắc được mô tả trong hình sau:

​

- Coi \(\displaystyle f(x)\) là \(\displaystyle u\) thì nhấc nó sang vế phải, còn lại chính là \(\displaystyle v'\) .
- Lấy tay che \(\displaystyle f(x)\) và tính nguyên hàm \(\displaystyle \int {g(x)dx} \) được bao nhiêu (được \(\displaystyle v\)) viết nó ngay cạnh \(\displaystyle u\).
- Trừ đi nguyên hàm của: Nhấc \(\displaystyle v\) sang nhân với \(\displaystyle u'\).

Đặt	\(\displaystyle \mathop \int \limits_a^b P\left( x \right).{e^x}dx\)	\(\displaystyle \mathop \int \limits_a^b P\left( x \right).\cos xdx\)	\(\displaystyle \mathop \int \limits_a^b P\left( x \right).\sin xdx\)	\(\displaystyle \mathop \int \limits_a^b P\left( x \right).\ln xdx\)
\(\displaystyle u\)	\(\displaystyle P\left( x \right)\)	\(\displaystyle P\left( x \right)\)	\(\displaystyle P\left( x \right)\)	\(\displaystyle \ln x\)
\(\displaystyle dv\)	\(\displaystyle {e^x}dx\)	\(\displaystyle \cos xdx\)	\(\displaystyle \sin xdx\)	\(\displaystyle P\left( x \right)dx\)

Ví dụ:
1, \(\displaystyle \int {x.\sin 2x.dx = x.\frac{{ - \cos 2x}}{2} + \int {\frac{{\cos 2x}}{2}dx = - \frac{1}{2}x.\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C} } \)
2, \(\displaystyle \int {x.{e^{2x}}dx = x.\frac{{{e^{2x}}}}{2} - \frac{1}{2}\int {{e^{2x}}dx = \frac{1}{2}x.{e^{2x}} - \frac{1}{4}{e^{2x}} + C} } \)
3, \(\displaystyle \int {\ln ({x^2} - x)dx = } \ln ({x^2} - x).x - \int {x.\frac{{2x - 1}}{{{x^2} - x}}dx} \) =\(\displaystyle x.\ln ({x^2} - x) - \int {\frac{{2x - 1}}{{x - 1}}dx = x.\ln ({x^2} - x) - \int {(2 + \frac{1}{{x - 1}})dx} } \) =\(\displaystyle x.\ln ({x^2} - x) - 2x - \ln \left| {x - 1} \right| + C\).
4, \(\displaystyle I = \int {\cos x.{e^{2x}}dx = \cos x.\frac{{{e^{2x}}}}{2} - \frac{1}{2}\int {( - \sin x).{e^{2x}}dx} } \) = \(\displaystyle \frac{1}{2}\cos x.{e^{2x}} + \frac{1}{2}\left( {\sin x.\frac{{{e^{2x}}}}{2} - \frac{1}{2}\int {\cos x.{e^{2x}}dx} } \right)\) =\(\displaystyle \frac{1}{2}\cos x.{e^{2x}} + \frac{1}{4}\sin x.{e^{2x}} - \frac{1}{4}I\)\(\displaystyle \Rightarrow \frac{5}{4}I = \frac{1}{2}\cos x.{e^{2x}} + \frac{1}{4}\sin x.{e^{2x}}\)\(\displaystyle \Rightarrow I = \frac{2}{5}\cos x.{e^{2x}} + \frac{1}{5}\sin x.{e^{2x}} + C\)
5, \(\displaystyle \int {{{\ln }^2}xdx = {{\ln }^2}x.x - \int {x.2\ln x.\frac{1}{x}dx} } \) = \(\displaystyle x.{\ln ^2}x - 2\int {\ln xdx = } x.{\ln ^2}x - 2\left( {x.\ln x - \int {x.\frac{1}{x}dx} } \right)\) = \(\displaystyle x.{\ln ^2}x - 2x.\ln x + 2x + C\) = \(\displaystyle x\left( {{{\ln }^2}x - 2\ln x + 2} \right) + C\) .